Aufnahme

Seien und , dann ist eine Teilmenge von .

{\ Anzeigestil A = \ {1,2,3,5,11 \}}

{\ Anzeigestil B = \ {1,2,3 \}}

B \ Teilmenge A

ZU

In der Mathematik und insbesondere in der Mengenlehre ist Inklusion , bezeichnet mit , eine binäre Beziehung zwischen Mengen , die wie folgt definiert ist: „Die Menge ist in der Menge enthalten oder eingeschlossen, wenn für jedes Element , wenn es gehört, dann gehört zu “. In Symbolen haben wir bei zwei gegebenen Sätzen und : $\ subseteq$ $B.$ $ZU$ $x$ $x$ $B.$ $x$ $ZU$ $ZU$ $B.$

B \ subseteq A \ iff \ für alle x: x \ in B \ Rightarrow x \ in A.

^[1]

Die Menge heißt Teilmenge von . $B.$ $ZU$

Wir sprechen genauer von strikter Inklusion , um anzuzeigen, dass jedes Element von auch ein Element von ist , aber dass es Elemente von gibt, die keine Elemente von sind . $B.$ $ZU$ $ZU$ $B.$

Falls alle Elemente von auch zu gehören, sprechen wir von einer uneigentlichen Teilmenge (mit anderen Worten, jede Menge ist eine uneigentliche Teilmenge von sich selbst). Von einer echten Teilmenge spricht man , wenn mindestens ein Element von nicht im Ganzen enthalten ist, also bei strikter Inklusion. $ZU$ $B.$ $ZU$ $B.$

Das Symbol zur Bezeichnung einer Teilmenge ist , während das Symbol zur Bezeichnung einer richtigen Teilmenge . Es wird jedoch häufig eine alternative Notation verwendet, um mit einer Teilmenge und mit einer richtigen Teilmenge anzugeben (letztere wird auch verwendet, wenn Sie hervorheben möchten, dass sie nicht mit übereinstimmt ). $\ subseteq$ $\ Teilmenge$ $\ Teilmenge$ $\ subsetneq$ $B.$ $ZU$

In ähnlicher Weise wird das Konzept der Obermenge definiert ; das verwendete Symbol ist (oder ) für die Obermenge und (oder ) für die richtige Obermenge . $\ supseteq$ $\ verärgert$ $\ verärgert$ $\supsetneq$

Eigenschaften

Inklusion ist eine Relation einer breiten Ordnung , das heißt, es ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation; daher gelten:

A \ subsetq A

( Reflexivität )

{\ displaystyle B \ subseteq A \ land A \ subseteq B \ Rightarrow B = A}

( Antisymmetrie )

{\ displaystyle C \ subseteq B \ land B \ subseteq A \ Rechtspfeil C \ subseteq A}

( Transitivität )

Insbesondere wird die Antisymmetrie der Relation typischerweise ausgenutzt, um die Gleichheit von und zu definieren : $ZU$ $B.$

" ist genau dann dasselbe , wenn es enthalten ist und enthalten ist in ",

ZU

B.

ZU

B.

B.

ZU

das ist:

{\ displaystyle A = B \ iff A \ subseteq B \ land B \ subseteq A.}

Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder anderen Menge, dh "für jede Menge haben wir das ". $\ varnichts$ $ZU$ $\ varnothing \ subseteq A$

Sind es wert

B \ Teilmenge A \ Leftrightarrow A \ Teilmenge B;

B \ subseteq A \ Leftrightarrow A \ supseteq B.

Wenn , dann: $B \ subsetq A$

B \ Tasse A = A;

B \ Kappe A = B.

Unterscheidung zwischen Inklusion und Zugehörigkeit

Wir müssen sehr darauf achten, das Konzept der Inklusion nicht mit dem der Zugehörigkeit zu verwechseln .

Beispiele:

es ist genau: - das heißt, es gehört zum Ganzen $2 \ in \ {1,2,3 \}$ $2$ $\ {1,2,3 \}$
es ist falsch : - das heißt, es kann nicht gesagt werden, dass es im Ganzen enthalten ist $2 \ Teilmenge \ {1,2,3 \}$ $2$ $\ {1,2,3 \}$
ist genau: - das heißt, das Unterhemd von ist im Set enthalten $\ {2 \} \ Teilmenge \ {1,2,3 \}$ $2$ $\ {1,2,3 \}$