Multiresolution-Analyse - Multiresolution analysis

Eine Multiresolution-Analyse ( MRA ) oder Multiskalen-Approximation ( MSA ) ist die Entwurfsmethode der meisten praktisch relevanten diskreten Wavelet-Transformationen (DWT) und die Begründung für den Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation (FWT). Es wurde in diesem Zusammenhang 1988/89 von Stephane Mallat und Yves Meyer eingeführt und hat Vorgänger in der mikrolokalen Analyse in der Theorie der Differentialgleichungen (der Bügelmethode ) und den Pyramidenmethoden der Bildverarbeitung, wie sie 1981/83 von Peter J eingeführt wurden Burt, Edward H. Adelson und James L. Crowley .

Definition

Eine Multiresolution-Analyse des Lebesgue-Raums besteht aus einer Folge verschachtelter Teilräume${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ {0 \} \ dots \ subset V_ {1} \ subset V_ {0} \ subset V _ {- 1} \ subset \ dots \ subset V _ {- n} \ subset V _ {- (n + 1) } \ subset \ dots \ subset L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

das erfüllt bestimmte Selbstähnlichkeitsrelationen in Zeit-Raum- und Skalenfrequenz sowie Vollständigkeits- und Regelmäßigkeitsrelationen.

• Selbstähnlichkeit in der Zeit erfordert, dass jeder Unterraum V _k unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von 2 ^k invariant ist . Das heißt, für jede die Funktion g, die als auch in definiert ist . ${\ displaystyle f \ in V_ {k}, \; m \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g (x) = f (x-m2 ^ {k})}$${\ displaystyle V_ {k}}$
• Selbstähnlichkeit in der Skalierung erfordert, dass alle Teilräume zeitskalierte Versionen voneinander sind, mit Skalierung bzw. Dilatationsfaktor 2 ^k-l . Dh für jeden gibt es ein mit . ${\ displaystyle V_ {k} \ Teilmenge V_ {l}, \; k> l,}$${\ displaystyle f \ in V_ {k}}$${\ displaystyle g \ in V_ {l}}$${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}: \; g (x) = f (2 ^ {kl} x)}$
• In der Folge von Teilräumen ist für k > l die Raumauflösung 2 ^l des l- ten Unterraums höher als die Auflösung 2 ^k des k- ten Unterraums.
• Regularität verlangt , dass der Modell - Unterraum V ₀ als erzeugt werden lineare Hülle ( algebraisch oder sogar topologisch geschlossen ) der ganzzahligen Verschiebung von einer oder einer endlichen Anzahl von Erzeugungsfunktionen oder . Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest einen Rahmen für den Unterraum bilden , der dem Zerfall im Unendlichen bestimmte Bedingungen auferlegt . Die Erzeugungsfunktionen werden auch als Skalierungsfunktionen oder Vater-Wavelets bezeichnet . In den meisten Fällen verlangt man von diesen Funktionen, dass sie stückweise kontinuierlich mit kompakter Unterstützung sind . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ dots, \ phi _ {r}}$${\ displaystyle V_ {0} \ subset L ^ {2} (\ mathbb {R})}$
• Vollständigkeits Anforderungen , dass diese verschachtelten Unterräume den ganzen Raum zu füllen, das heißt, sollte ihre Vereinigung sein dicht in , und dass sie nicht zu redundant sind, dh deren Schnittpunkt sollte nur enthalten den Nullelement . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Wichtige Schlussfolgerungen

Im Fall einer kontinuierlichen (oder zumindest mit begrenzten Variation) kompakt unterstützten Skalierungsfunktion mit orthogonalen Verschiebungen kann man eine Reihe von Abzügen vornehmen. Der Nachweis der Existenz dieser Funktionsklasse geht auf Ingrid Daubechies zurück .

Unter der Annahme, dass die Skalierungsfunktion eine kompakte Unterstützung hat, impliziert dies, dass es eine endliche Folge von Koeffizienten für und für gibt , so dass ${\ displaystyle V_ {0} \ subset V _ {- 1}}$${\ displaystyle a_ {k} = 2 \ langle \ phi (x), \ phi (2x-k) \ rangle}$${\ displaystyle | k | \ leq N}$${\ displaystyle a_ {k} = 0}$${\ displaystyle | k |> N}$

${\ displaystyle \ phi (x) = \ sum _ {k = -N} ^ {N} a_ {k} \ phi (2x-k).}$

Definieren einer anderen Funktion, die als Mutter-Wavelet oder nur als Wavelet bezeichnet wird

${\ displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {k = -N} ^ {N} (- 1) ^ {k} a_ {1-k} \ phi (2x-k),}$

man kann zeigen, dass der Raum , der als (geschlossene) lineare Hülle der ganzzahligen Verschiebungen des Mutter-Wavelets definiert ist, das orthogonale Komplement nach innen ist . Oder anders ausgedrückt, ist die orthogonale Summe (bezeichnet mit ) von und . Durch Selbstähnlichkeit gibt es skalierte Versionen von und nach Vollständigkeit, die man hat ${\ displaystyle W_ {0} \ subset V _ {- 1}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle W_ {0}}$

${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) = {\ mbox {Schließung von}} \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} W_ {k},}$

also das set

${\ displaystyle \ {\ psi _ {k, n} (x) = {\ sqrt {2}} ^ {- k} \ psi (2 ^ {- k} xn): \; k, n \ in \ mathbb {Z} \}}$

ist eine zählbare vollständige orthonormale Wavelet- Basis in . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Siehe auch

• Multiskalenmodellierung
• Raum skalieren
• Zeit-Frequenz-Analyse
• Wavelet

Verweise

• Chui, Charles K. (1992). Eine Einführung in Wavelets . San Diego: Akademische Presse. ISBN   0-585-47090-1 .
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Signalzerlegung mit mehreren Auflösungen: Transformationen, Teilbänder und Wavelets . Akademische Presse. ISBN   978-0-12-047141-6 .
• Crowley, JL (1982). Eine Darstellung für visuelle Information , Doktorarbeit, Carnegie-Mellon University, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Einführung in Wavelets und Wavelet-Transformationen: Eine Grundierung . Prentice-Hall. ISBN   0-13-489600-9 .
• Mallat, SG (1999). Eine Wavelet-Tour zur Signalverarbeitung . Akademische Presse. ISBN   0-12-466606-X .