Analýza více řešení - Multiresolution analysis

Analýza vícenásobných ( MRA ) nebo multiměřítkový aproximace ( MSA ) je způsob provedení většiny z prakticky příslušných diskrétní vlnková transformace (DWT) a zdůvodnění pro algoritmus k půstu vlnkové transformace (FWT). To bylo představeno v tomto kontextu, v 1988/89 od Stephane Mallat a Yves Meyer a má předchůdce v microlocal analýzy v teorii diferenciálních rovnic (dále metoda žehlení ) a pyramidových metod pro zpracování obrazu jak jsou uvedeny v 1981/83 Peter J Burt, Edward H. Adelson a James L. Crowley .

Definice

Multirezoluční analýza prostoru Lebesgue sestává ze sekvence vnořených podprostorů${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ {0 \} \ tečky \ podmnožina V_ {1} \ podmnožina V_ {0} \ podmnožina V _ {- 1} \ podmnožina \ tečky \ podmnožina V _ {- n} \ podmnožina V _ {- (n + 1) } \ podmnožina \ tečky \ podmnožina L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

který uspokojuje určité vztahy sebepodobnosti v časoprostoru a měřítko-frekvence, jakož i vztahy úplnosti a pravidelnosti.

• Self-podobnost v časové náročnosti, že každý podprostor V _K je invariantní posunů celočíselné násobky z 2 ^k . To znamená, že pro každou funkci g definovanou jako také obsaženou v . ${\ displaystyle f \ ve V_ {k}, \; m \ v \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g (x) = f (x-m2 ^ {k})}$${\ displaystyle V_ {k}}$
• Self-podobnost v měřítku vyžaduje, aby všechny podprostory byly časově odstupňované verze navzájem, s měřítkem, respektive dilatačním faktorem 2 ^k-l . Tedy pro každého je zde s . ${\ displaystyle V_ {k} \ podmnožina V_ {l}, \; k> l,}$${\ displaystyle f \ ve V_ {k}}$${\ displaystyle g \ ve V_ {l}}$${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}: \; g (x) = f (2 ^ {kl} x)}$
• Ve sledu podprostorů, pro k > l prostor Rozlišení 2 ^l z l -tý podprostoru je vyšší, než je rozlišení 2 ^k z k -tý podprostoru.
• Pravidelnost vyžaduje, aby byl podprostor modelu V ₀ generován jako lineární trup ( algebraicky nebo dokonce topologicky uzavřený ) celočíselných posunů jedné nebo konečného počtu generujících funkcí nebo . Tyto celočíselné posuny by měly alespoň tvořit rámec pro podprostor , který ukládá určité podmínky pro rozpad v nekonečnu . Generující funkce jsou také známé jako škálovací funkce nebo otcovy vlnky . Ve většině případů je potřeba, aby tyto funkce byly po částech spojité s kompaktní podporou . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ tečky, \ phi _ {r}}$${\ displaystyle V_ {0} \ podmnožina L ^ {2} (\ mathbb {R})}$
• Úplnost požaduje, aby tyto vnořené podprostory vyplňují celý prostor, tj jejich svazek by měl být hustá v , a že nejsou příliš redundantní, tedy jejich průnik by měl obsahovat pouze nulové prvek . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Důležité závěry

V případě jedné spojité (nebo alespoň s omezenou variací) kompaktně podporované škálovací funkce s ortogonálními posuny lze provést řadu dedukcí. O existenci této třídy funkcí svědčí Ingrid Daubechies .

Za předpokladu, že má funkce škálování kompaktní podporu, znamená to, že existuje konečná posloupnost koeficientů pro a pro takové, že ${\ displaystyle V_ {0} \ podmnožina V _ {- 1}}$${\ displaystyle a_ {k} = 2 \ langle \ phi (x), \ phi (2x-k) \ rangle}$${\ displaystyle | k | \ leq N}$${\ displaystyle a_ {k} = 0}$${\ displaystyle | k |> N}$

${\ displaystyle \ phi (x) = \ součet _ {k = -N} ^ {N} a_ {k} \ phi (2x-k).}$

Definování další funkce, známé jako mateřská vlnka nebo jen vlnka

${\ displaystyle \ psi (x): = \ součet _ {k = -N} ^ {N} (- 1) ^ {k} a_ {1-k} \ phi (2x-k),}$

lze ukázat, že prostor , který je definován jako (uzavřený) lineární trup celočíselných posunů mateřské wavelety, je ortogonálním doplňkem uvnitř . Nebo řečeno jinak, je ortogonální součet (označený ) z a . Self-podobnost, jsou tam zmenšen verze z a tím úplnost má člověk ${\ displaystyle W_ {0} \ podmnožina V _ {- 1}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle W_ {0}}$

${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) = {\ mbox {uzavření}} \ bigoplus _ {k \ in \ mathbb {Z}} W_ {k},}$

tedy souprava

${\ displaystyle \ {\ psi _ {k, n} (x) = {\ sqrt {2}} ^ {- k} \ psi (2 ^ {- k} xn): \; k, n \ v \ mathbb {Z} \}}$

je spočetný úplný základ ortonormálních vlnek v systému Windows . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Viz také

• Víceúrovňové modelování
• Měřítko prostoru
• Časově-frekvenční analýza
• Wavelet

Reference

• Chui, Charles K. (1992). Úvod do vlnky . San Diego: Academic Press. ISBN   0-585-47090-1 .
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Rozklad signálu ve více rozlišeních: transformace, dílčí pásma a vlnky . Akademický tisk. ISBN   978-0-12-047141-6 .
• Crowley, JL, (1982). Reprezentace pro vizuální informace , disertační práce, Carnegie-Mellon University, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Úvod do waveletů a vlnkových transformací: Primer . Prentice-Hall. ISBN   0-13-489600-9 .
• Mallat, SG (1999). Waveletová prohlídka zpracování signálu . Akademický tisk. ISBN   0-12-466606-X .