Moniratkaisuanalyysi - Multiresolution analysis

Multiresoluutioanalyysi ( MRA ) tai Multiscale approksimaatio ( MSA ) on suunnittelun menetelmä useimpien käytännössä asiaa diskreetti aallokemuunnoksia (DWT) ja perustelut algoritmi on nopea aallokemuunnoksen (FWT). Sen esittivät tässä yhteydessä vuosina 1988/89 Stephane Mallat ja Yves Meyer, ja sillä on edeltäjiä mikrolokaalisessa analyysissä differentiaaliyhtälöiden teoriassa ( silitysmenetelmä ) ja kuvankäsittelyn pyramidimenetelmissä , jotka Peter J esitteli vuonna 1981/83. Burt, Edward H. Adelson ja James L. Crowley .

Määritelmä

Multiresoluutioanalyysi on Lebesgue tila koostuu sekvenssin sisäkkäisiä subspaces${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle \ {0 \} \ pisteet \ osajoukko V_ {1} \ osajoukko V_ {0} \ osajoukko V _ {- 1} \ osajoukko \ pisteet \ osajoukko V _ {- n} \ osajoukko V _ {- (n + 1) } \ osajoukko \ pisteet \ osajoukko L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

joka tyydyttää tietyt itse-samankaltaisuussuhteet aika-avaruudessa ja asteikko-taajuus sekä täydellisyys- ja säännöllisyyssuhteet.

• Itsesimilaarinen in ajan vaatii, että kukin aliavaruus V _k on invariantti siirtymät mukaan kokonaisluku kerrannaisia on 2 ^k . Toisin sanoen jokaiselle funktiolle g, joka on määritelty myös . ${\ displaystyle f \ sisään V_ {k}, \; m \ sisään \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g (x) = f (x-m2 ^ {k})}$${\ displaystyle V_ {k}}$
• Itsesimilaarinen in mittakaavassa vaatii, että kaikki aliavaruudet ovat ajan skaalataan versioita toisistaan, ja skaalaus vastaavasti laajentuma tekijä 2 ^k-l . Eli kunkin on kanssa . ${\ displaystyle V_ {k} \ osajoukko V_ {l}, \; k> l,}$${\ displaystyle f \ sisään V_ {k}}$${\ displaystyle g \ sisään V_ {l}}$${\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}: \; g (x) = f (2 ^ {kl} x)}$
• Sekvenssissä aliavaruuksien, ja k > l tilaan resoluutio 2 ^l ja l : nnen aliavaruus on suurempi kuin resoluutio 2 ^k on k : nnen aliavaruuden.
• Säännöllisyys vaatii, että malli aliavaruus V ₀ syntyy kuin lineaarinen rungon ( algebrallisesti tai jopa topologisesti suljettu ) kokonaisluvun siirtyy yhden tai rajallinen määrä tuottaa toimintoja tai . Näiden kokonaisluvunsiirtojen tulisi ainakin muodostaa kehys alitilalle , joka asettaa tietyt olosuhteet äärettömyyden hajoamiselle . Generointitoiminnot tunnetaan myös nimellä skaalausfunktiot tai isän aallot . Useimmissa tapauksissa yksi vaatimuksista näiden toimintojen olevan paloittain jatkuva kanssa kompakti tukea . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ pisteet, \ phi _ {r}}$${\ displaystyle V_ {0} \ osajoukko L ^ {2} (\ mathbb {R})}$
• Täydellisyys vaatii, että ne sisäkkäisiä aliavaruuksiin täyttää koko tilan, eli niiden unionin pitäisi olla tiheä vuonna , ja että ne eivät ole liian tarpeeton, eli niiden risteyksessä pitäisi sisältää ainoastaan nolla elementti . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Tärkeät johtopäätökset

Yhden jatkuvan (tai ainakin rajoitetun vaihtelun) kompaktisti tuetun skaalausfunktion, jossa on ortogonaaliset siirtymät, tapauksessa voidaan tehdä useita vähennyksiä. Todiste tämän luokan toimintojen olemassaolosta johtuu Ingrid Daubechiesista .

Olettaen, että skaalausfunktio on kompakti tukea, sitten merkitsee sitä, että on olemassa rajallinen sekvenssi kertoimien varten , ja sillä , että ${\ displaystyle V_ {0} \ osajoukko V _ {- 1}}$${\ displaystyle a_ {k} = 2 \ langle \ phi (x), \ phi (2x-k) \ rangle}$${\ displaystyle | k | \ leq N}$${\ displaystyle a_ {k} = 0}$${\ displaystyle | k |> N}$

${\ displaystyle \ phi (x) = \ summa _ {k = -N} ^ {N} a_ {k} \ phi (2x-k).}$

Määritetään toinen toiminto, joka tunnetaan nimellä äiti-aalto tai vain aalto

${\ displaystyle \ psi (x): = \ summa _ {k = -N} ^ {N} (- 1) ^ {k} a_ {1-k} \ phi (2x-k),}$

voidaan osoittaa, että avaruus , joka määritellään emolainan kokonaisluvun (suljetuksi) lineaariseksi rungoksi, on ortogonaalinen täydennys sisäpuolelle . Tai toisin sanoen on ortogonaalinen summa (merkitty ) ja . By itsesimilaarinen on skaalataan versioita sekä ja täydellisyyden yksi on ${\ displaystyle W_ {0} \ osajoukko V _ {- 1}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle V _ {- 1}}$${\ displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle W_ {0}}$${\ displaystyle V_ {0}}$${\ displaystyle W_ {k}}$${\ displaystyle W_ {0}}$

${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}) = {\ mbox {}} \ bigoplus _ {k \ sulkeminen \ mathbb {Z}} W_ {k},}$

siis asetettu

${\ displaystyle \ {\ psi _ {k, n} (x) = {\ sqrt {2}} ^ {- k} \ psi (2 ^ {- k} xn): \; k, n \ sisään \ mathbb {Z} \}}$

on laskettavissa oleva täydellinen orthonormal wavelet - pohja . ${\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$

Katso myös

• Monikokoinen mallinnus
• Skaalaa tilaa
• Aika-taajuusanalyysi
• Aalto

Viitteet

• Chui, Charles K. (1992). Johdatus aaltoihin . San Diego: Academic Press. ISBN   0-585-47090-1 .
• Akansu, AN ; Haddad, RA (1992). Moniratkaisusignaalin hajoaminen: muunnokset, alikaistat ja aallot . Akateeminen lehdistö. ISBN   978-0-12-047141-6 .
• Crowley, JL (1982). Visuaalisen tiedon esitykset , väitöskirja, Carnegie-Mellon University, 1982.
• Burrus, CS ; Gopinath, RA; Guo, H. (1997). Johdatus aallokkeisiin ja muunnoksiin: pohjamaali . Prentice-Hall. ISBN   0-13-489600-9 .
• Mallat, SG (1999). Wavelet-kierros signaalinkäsittelystä . Akateeminen lehdistö. ISBN   0-12-466606-X .