Kreuzung - Intersection

In diesem Artikel geht es um ein breites mathematisches Konzept. Den Punkt, an dem sich Straßen treffen, finden Sie unter Kreuzung (Straße) . Für andere Verwendungen siehe Schnittpunkt (Begriffsklärung) .
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Der Kreis (schwarz) schneidet die Linie (lila) in zwei Punkten (rot). Die Scheibe (gelb) schneidet die Linie im Liniensegment zwischen den beiden roten Punkten.
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Der Schnittpunkt (rot) zweier Scheiben (weiß und rot mit schwarzen Rändern).
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Der Schnittpunkt von D und E ist grauviolett dargestellt. Der Schnittpunkt von A mit einem von B, C, D oder E ist die leere Menge .

In der Mathematik ist der Schnittpunkt von zwei oder mehr Objekten ein anderes, normalerweise "kleineres" Objekt. Intuitiv ist die Schnittmenge von Objekten das, was zu allen gehört. Wenn beispielsweise in der euklidischen Geometrie zwei Geraden in einer Ebene nicht parallel sind, ist ihr Schnittpunkt der Punkt, an dem sie sich treffen. Allgemeiner wird in der Mengenlehre der Schnittpunkt von Mengen als die Menge der Elemente definiert, die zu allen gehören. Anders als die euklidische Definition setzt dies nicht voraus, dass die betrachteten Objekte in einem gemeinsamen Raum liegen .

Schnittpunkt ist eines der Grundkonzepte der Geometrie . Ein Schnittpunkt kann verschiedene geometrische Formen haben , aber ein Punkt ist in einer ebenen Geometrie am häufigsten . Incidence Geometrie definiert einen Schnittpunkt ( in der Regel, von Wohnungen ) als ein Objekt der unteren Dimension , das ist Vorfall zu jedem der ursprünglichen Objekten. Bei diesem Ansatz kann ein Schnittpunkt manchmal undefiniert sein, beispielsweise bei parallelen Linien . In beiden Fällen beruht das Konzept der Schnittmenge auf der logischen Konjunktion . Die algebraische Geometrie definiert Schnittmengen auf ihre eigene Weise mit der Schnittmengentheorie .

Einzigartigkeit

Es kann mehr als ein primitives Objekt geben, z. B. Punkte (siehe oben), die einen Schnittpunkt bilden. Der Schnittpunkt kann kollektiv als alle der gemeinsamen Objekte betrachtet werden (dh die Schnittoperation führt zu einem Satz , möglicherweise leeren) oder als mehrere Kreuzungs Objekte ( möglicherweise Null ).

In der Mengenlehre

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Unter der Annahme, dass eine Straße der Menge all ihrer Orte entspricht, entspricht eine Straßenkreuzung (cyan) zweier Straßen (grün, blau) der Kreuzung ihrer Mengen.
Hauptartikel: Schnittmenge (Mengentheorie)

Der Schnittpunkt zweier Mengen A und B ist die Menge der Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind . Bei Symbolen,

.

Wenn beispielsweise A = {1, 3, 5, 7} und B = {1, 2, 4, 6} , dann A ∩ B = {1}. Ein ausführlicheres Beispiel (mit unendlichen Mengen) ist:

A = { x ist eine gerade ganze Zahl }
B = { x ist eine ganze Zahl, die durch 3 teilbar ist}

Als weiteres Beispiel ist die Zahl 5 nicht im Schnittpunkt der Menge der Primzahlen {2, 3, 5, 7, 11, …} und der Menge der geraden Zahlen {2, 4, 6, 8, 10, … enthalten. }, denn obwohl 5 ist eine Primzahl ist , ist es nicht einmal. Tatsächlich ist die Zahl 2 die einzige Zahl im Schnittpunkt dieser beiden Mengen. In diesem Fall hat der Schnitt eine mathematische Bedeutung: Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl.

In der euklidischen Geometrie

Weitere Informationen: Schnittpunkt (Euklidische Geometrie)

Notation

Schnittpunkt wird durch die bezeichnete U + 2229 ∩ DURCHSCHNITT von Unicode Mathematical Operators .

Das Symbol U+2229 ∩ wurde erstmals von Hermann Grassmann in Die Ausdehnungslehre von 1844 als allgemeines Operationssymbol verwendet, nicht auf Schnittpunkt spezialisiert. Von dort wurde es von Giuseppe Peano (1858-1932) für die Kreuzung verwendet, 1888 in Calcolo geometrischeo secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann .

Peano schuf auch die großen Symbole für die allgemeine Schnittmenge und Vereinigung von mehr als zwei Klassen in seinem 1908 erschienenen Buch Formulario mathematico .

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Wereschtschagin, Nikolai Konstantinowitsch; Shen, Alexander (2002-01-01). Grundlegende Mengenlehre . Amerikanische Mathematische Soc. ISBN 9780821827314.
  2. ^ Peano, Giuseppe (1888-01-01). Calcolo geometrischer zweiter L'Ausdehnungslehre von H. Grassmann: preceduto dalle operazioni della logica dedutiva (in italienischer Sprache). Turin: Fratelli Bocca.
  3. ^ Cajori, Florian (2007-01-01). Eine Geschichte der mathematischen Notationen . Turin: Cosimo, Inc. ISBN 9781602067141.
  4. ^ Peano, Giuseppe (1908-01-01). Formulario Mathematico, Tomo V (auf Italienisch). Torino: Edizione cremonese (Faksimile-Nachdruck in Rom, 1960). P. 82. OCLC  23485397 .
  5. ^ Früheste Verwendungen von Symbolen der Mengenlehre und Logik

Externe Links