Theta -funktion - Theta function

I matematik , Theta funktioner er specielle funktioner af flere komplekse variabler . De er vigtige på mange områder, herunder teorierne om abelske sorter og moduli -rum og kvadratiske former . De er også blevet anvendt på soliton -teorien. Når de generaliseres til en Grassmann -algebra , forekommer de også i kvantefeltteori .

Den mest almindelige form for theta -funktion er den, der forekommer i teorien om elliptiske funktioner . Med hensyn til en af ​​de komplekse variabler (konventionelt kaldet z ) har en theta -funktion en egenskab, der udtrykker sin adfærd med hensyn til tilføjelsen af ​​en periode af de tilhørende elliptiske funktioner, hvilket gør den til en quasiperiodisk funktion . I den abstrakte teori kommer denne quasiperiodicitet fra cohomology -klassen i et linjebundt på en kompleks torus , en betingelse for nedstigning .

Jacobi theta funktion

Der er flere nært beslægtede funktioner kaldet Jacobi theta -funktioner og mange forskellige og inkompatible notationssystemer til dem. En Jacobi theta-funktion (opkaldt efter Carl Gustav Jacob Jacobi ) er en funktion defineret for to komplekse variabler z og τ , hvor z kan være et hvilket som helst komplekst tal og τ er halvperiode-forholdet , begrænset til det øvre halvplan , hvilket betyder den har en positiv imaginær del. Det er givet ved formlen

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (z; \ tau) & = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ exp \ left (\ pi in^{2} \ tau +2 \ pi inz \ right) \\ & = 1+2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ left (e^{\ pi i \ tau} \ right)^{n^{2}} \ cos (2 \ pi nz) \\ & = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} q^{n^{2}} \ eta^{n} \ end {align}}}$

hvor q = exp ( πiτ ) er nome og η = exp (2 πiz ) . Det er en Jacobi -form . Ved fast τ er dette en Fourier-serie til en 1-periodisk hel funktion af z . Derfor er theta-funktionen 1-periodisk i z :

${\ displaystyle \ vartheta (z+1; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau).}$

Det viser sig også at være τ -quasiperiodisk i z , med

${\ displaystyle \ vartheta (z +\ tau; \ tau) = \ exp {\ bigl (}-\ pi i (\ tau +2z) {\ bigr)} \ vartheta (z; \ tau).}$

Således generelt,

${\ displaystyle \ vartheta (z+a+b \ tau; \ tau) = \ exp \ left ( -\ pi ib^{2} \ tau -2 \ pi ibz \ right) \ vartheta (z; \ tau)}$

for alle heltal a og b .

Hjælpefunktioner

Den Jacobi theta -funktion, der er defineret ovenfor, overvejes undertiden sammen med tre hjælpe -theta -funktioner, i hvilket tilfælde den er skrevet med et dobbelt 0 -abonnement:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (z; \ tau) = \ vartheta (z; \ tau)}$

Hjælpefunktionerne (eller halvperioden) er defineret af

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {01} (z; \ tau) & = \ vartheta \ left (z+{\ tfrac {1} {2}}; \ tau \ right) \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z; \ tau) & = \ exp \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ pi i \ tau +\ pi iz \ right) \ vartheta \ left (z +{\ tfrac {1} {2}} \ tau; \ tau \ right) \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z; \ tau) & = \ exp \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ pi i \ tau +\ pi i \ venstre (z +{\ tfrac {1} {2}} \ højre) \ højre) \ vartheta \ venstre (z +{\ tfrac {1} {2}} \ tau +{\ tfrac {1} {2}}; \ tau \ højre). \ Slut {justeret}}}$

Denne notation følger Riemann og Mumford ; Jacobi oprindelige formulering var i form af nome q = e ^iπτ snarere end τ . I Jacobis notation er θ -funktionerne skrevet:

${\ displaystyle {\ begin {justeret} \ theta _ {1} (z; q) & = \ theta _ {1} (\ pi z, q) =-\ vartheta _ {11} (z; \ tau) \ \\ theta _ {2} (z; q) & = \ theta _ {2} (\ pi z, q) = \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \\\ theta _ {3} (z ; q) & = \ theta _ {3} (\ pi z, q) = \ vartheta _ {00} (z; \ tau) \\\ theta _ {4} (z; q) & = \ theta _ { 4} (\ pi z, q) = \ vartheta _ {01} (z; \ tau) \ end {justeret}}}$

Ovenstående definitioner af Jacobi theta -funktionerne er på ingen måde unikke. Se Jacobi theta -funktioner (notationsvariationer) for yderligere diskussion.

Hvis vi indstiller z = 0 i ovenstående theta-funktioner, får vi kun fire funktioner af τ , defineret på det øverste halvplan. Alternativt opnår vi kun fire funktioner af q , defineret på enhedsdisken . De kaldes undertiden theta -konstanter: ${\ displaystyle | q | <1}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {11} (0; \ tau) & =-\ theta _ {1} (q) =-\ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} (-1)^{n-1/2} q^{(n+1/2)^{2}} \\\ vartheta _ {10} (0; \ tau) & = \ theta _ {2} ( q) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} q^{(n+1/2)^{2}} \\\ vartheta _ {00} (0; \ tau) & = \ theta _ {3} (q) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} q^{n^{2}} \\\ vartheta _ {01} (0; \ tau) & = \ theta _ {4} (q) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} (-1)^{n} q^{n^{2}} \ end {align}}}$

med q = e ^iπτ .

Disse kan bruges til at definere en række modulære former og til at parametrisere bestemte kurver; navnlig Jacobi identitet er

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (0; \ tau)^{4} = \ vartheta _ {01} (0; \ tau)^{4}+\ vartheta _ {10} (0; \ tau)^ {4}}$

som er Fermat -kurven for grad fire.

Jacobi identiteter

Jacobis identiteter beskriver, hvordan theta -funktioner transformeres under den modulære gruppe , som genereres af τ ↦ τ + 1 og τ ↦ - 1/τ. Ligninger for den første transformation findes let, da tilføjelse af en til τ i eksponenten har samme effekt som at tilføje1/2til z ( n ≡ n ² mod 2 ). For det andet, lad

${\ displaystyle \ alpha = (-i \ tau)^{\ frac {1} {2}} \ exp \ left ({\ frac {\ pi} {\ tau}} iz^{2} \ right).}$

Derefter

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} \! \ left ({\ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) & = \ alfa \, \ vartheta _ {00} (z; \ tau) \ quad & \ vartheta _ {01} \! \ venstre ({\ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ højre) & = \ alpha \, \ vartheta _ {10} (z; \ tau) \\ [3pt] \ vartheta _ {10} \! \ venstre ({\ frac {z} {\ tau} }; {\ frac {-1} {\ tau}} \ højre) & = \ alpha \, \ vartheta _ {01} (z; \ tau) \ quad & \ vartheta _ {11} \! \ venstre ({ \ frac {z} {\ tau}}; {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) & =-i \ alpha \, \ vartheta _ {11} (z; \ tau). \ end { justeret}}}$

Theta fungerer med hensyn til nomen

I stedet for at udtrykke Theta -funktionerne i form af z og τ , kan vi udtrykke dem i form af argumenter w og nomen q , hvor w = e ^πiz og q = e ^πiτ . I denne form bliver funktionerne

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} (w, q) & = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ left (w^{2} \ right)^{ n} q^{n^{2}} \ quad & \ vartheta _ {01} (w, q) & = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} (-1)^{n} \ venstre (w^{2} \ højre)^{n} q^{n^{2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (w, q) & = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ venstre (w^{2} \ højre)^{n+{\ frac {1} {2}}} q^{\ venstre (n+{\ frac {1} {2}} \ højre)^{2}} \ quad & \ vartheta _ {11} (w, q) & = i \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} (-1)^{n} \ venstre ( w^{2} \ højre)^{n+{\ frac {1} {2}}} q^{\ venstre (n+{\ frac {1} {2}} \ højre)^{2}}. \ end {align}}}$

Vi ser, at theta -funktionerne også kan defineres i form af w og q , uden en direkte henvisning til den eksponentielle funktion. Disse formler kan derfor bruges til at definere Theta -funktionerne frem for andre felter, hvor den eksponentielle funktion muligvis ikke er defineret overalt, f.eks. Felter med p -adiske tal .

Produktrepræsentationer

Det tredobbelte produkt fra Jacobi (et specielt tilfælde af Macdonald -identiteterne ) fortæller os, at for komplekse tal w og q med | q | <1 og w ≠ 0 har vi

${\ displaystyle \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{2m} \ højre) \ venstre (1+w^{2} q^{2m-1} \ højre) \ venstre (1+w^{-2} q^{2m-1} \ højre) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} w^{2n} q^{n^{2}} .}$

Det kan bevises med elementære midler, som for eksempel i Hardy og Wrights An Introduction to the Theory of Numbers .

Hvis vi udtrykker theta -funktionen i form af ^nomen q = e ^πiτ (noterer nogle forfattere i stedet for q = e ^{2 πiτ} ) og tager w = e ^πiz derefter

${\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ exp (\ pi i \ tau n^{2}) \ exp (2 \ pi izn) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} w^{2n} q^{n^{2}}.}$

Vi får derfor en produktformel for theta -funktionen i formen

${\ displaystyle \ vartheta (z; \ tau) = \ prod _ {m = 1}^{\ infty} {\ big (} 1- \ exp (2m \ pi i \ tau) {\ big)} {\ Big (} 1+ \ exp {\ big (} (2m-1) \ pi i \ tau +2 \ pi iz {\ big)} {\ Big)} {\ Big (} 1+ \ exp {\ big (} (2m -1) \ pi i \ tau -2 \ pi iz {\ big)} {\ Big)}.}$

Med hensyn til w og q :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (z; \ tau) & = \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ left (1-q^{2m} \ right) \ left (1+ q^{2m-1} w^{2} \ højre) \ venstre (1+{\ frac {q^{2m-1}} {w^{2}}} \ højre) \\ & = \ venstre ( q^{2}; q^{2} \ højre) _ {\ infty} \, \ venstre (-w^{2} q; q^{2} \ højre) _ {\ infty} \, \ venstre ( -{\ frac {q} {w^{2}}}; q^{2} \ højre) _ {\ infty} \\ & = \ venstre (q^{2}; q^{2} \ højre) _ {\ infty} \, \ theta \ venstre (-w^{2} q; q^{2} \ højre) \ end {justeret}}}$

hvor (;) _∞ er q -Pochhammer -symbolet og θ (;) er q -theta -funktionen . Ved at udvide vilkårene kan Jacobi triple -produktet også skrives

${\ displaystyle \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{2m} \ højre) {\ Big (} 1+ \ venstre (w^{2}+w^{-2 } \ højre) q^{2m-1}+q^{4m-2} {\ Big)},}$

som vi også kan skrive som

${\ displaystyle \ vartheta (z \ mid q) = \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{2m} \ højre) \ venstre (1+2 \ cos (2 \ pi z) q^{2m-1}+q^{4m-2} \ højre).}$

Denne formular er generelt gyldig, men har tydeligvis særlig interesse, når z er reel. Lignende produktformler for hjælpeteta -funktionerne er

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {01} (z \ mid q) & = \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ left (1-q^{2m} \ right) \ venstre (1-2 \ cos (2 \ pi z) q^{2m-1}+q^{4m-2} \ højre), \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z \ mid q) & = 2q^{\ frac {1} {4}} \ cos (\ pi z) \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{2m} \ højre) \ venstre (1 +2 \ cos (2 \ pi z) q^{2m}+q^{4m} \ right), \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z \ mid q) & =-2q^{\ frac {1} {4}} \ sin (\ pi z) \ prod _ {m = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{2m} \ højre) \ venstre (1-2 \ cos (2 \ pi z) q^{2m}+q^{4m} \ højre). \ slut {justeret}}}$

Integrerede repræsentationer

Jacobi theta -funktionerne har følgende integrerede repræsentationer:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta _ {00} (z; \ tau) & =-i \ int _ {i- \ infty}^{i+\ infty} e^{i \ pi \ tau u^ {2}} {\ frac {\ cos (2uz+\ pi u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {01} (z; \ tau ) & =-i \ int _ {i- \ infty}^{i+\ infty} e^{i \ pi \ tau u^{2}} {\ frac {\ cos (2uz)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {10} (z; \ tau) & =-ie^{iz+{\ frac {1} {4}} i \ pi \ tau } \ int _ {i- \ infty}^{i+\ infty} e^{i \ pi \ tau u^{2}} {\ frac {\ cos (2uz+\ pi u+\ pi \ tau u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u; \\ [6pt] \ vartheta _ {11} (z; \ tau) & = e^{iz+{\ frac {1} {4}} i \ pi \ tau} \ int _ {i- \ infty}^{i+\ infty} e^{i \ pi \ tau u^{2}} {\ frac {\ cos (2uz+\ pi \ tau u)} {\ sin (\ pi u)}} \ mathrm {d} u. \ end {align}}}$

Eksplicitte værdier

Se Yi (2004).

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi \ left (e^{-\ pi x} \ right) & = \ vartheta (0; ix) = \ theta _ {3} \ left (0; e^{- \ pi x} \ right) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} e^{-x \ pi n^{2}} \\ [8pt] \ varphi \ left (e^{- \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-2 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {6+4 {\ sqrt {2}}}} {2}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-3 \ pi } \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt [ {4}] {27+18 {\ sqrt {3}}}} {3}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-4 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {{\ sqrt [{4}] {8}}+2} {4}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-5 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({ \ frac {3} {4}} \ right)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {225+100 {\ sqrt {5}}}} {5}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-6 \ pi} \ højre) & = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {3 {\ sqrt {2}}+3 {\ sqrt [{4}] {3}} +2 {\ sqrt {3}}-{\ sqrt [{4}] {27}}+{\ sqrt [{4}] {1728}}-4}} \ cdot {\ sqrt [{8}] { 243 {\ pi}^{2}}}} { 6 {\ sqrt [{6}] {1+{\ sqrt {6}}-{\ sqrt {2}}-{\ sqrt {3}}}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} { 4}} \ højre)}}} = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {1}}+{\ sqrt [{4}] {3}}+{\ sqrt [{4}] {4}}+{\ sqrt [{4} ] {9}}}} {\ sqrt [{8}] {1728}}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-7 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [ {4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ sqrt {{\ frac {{\ sqrt {13+{\ sqrt {7} }}}+{\ sqrt {7+3 {\ sqrt {7}}}}} {14}} \ cdot {\ sqrt [{8}] {28}}}} = {\ frac {\ sqrt [{ 4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt [{4}] {7+4 {\ sqrt {7} } +5 {\ sqrt [{4}] {28}}+{\ sqrt [{4}] {1372}}}} {\ sqrt {7}}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^ {-8 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {{\ sqrt [{8}] {128}}+{\ sqrt {2+{\ sqrt {2}}}}} {4}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-9 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ venstre (1+ \ venstre (1+{\ sqrt {3}} \ højre) {\ sqrt [{3}] {2-{\ sqrt {3}}}} \ højre)} {3}} \\ [ 8pt] \ varphi \ venstre (e^{-10 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi} } {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt {20+{\ sqrt {450}}+{\ sqrt {500}}+10 {\ sqrt [{4}] {20}}}} {10}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-12 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} {\ frac {\ sqrt {{\ sqrt [{4}] {1}}+{\ sqrt [ {4}] {2}}+{\ sqrt [{4}] {3}}+{\ sqrt [{4}] {4}}+{\ sqrt [{4}] {9}}+{\ sqrt [{4}] {18}}+{\ sqrt [{4}] {24}}}} {2 {\ sqrt [{8}] {108}}}} \\ [8pt] \ varphi \ venstre (e^{-16 \ pi} \ højre) & = {\ frac {\ sqrt [{4}] {\ pi}} {\ Gamma \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)} } {\ frac {\ venstre (4+{\ sqrt [{4}] {128}}+{\ sqrt [{4}] {1024 {\ sqrt [{4}] {8}}+1024 {\ sqrt [{4}] {2}}}} \ højre)} {16}} \ end {align}}}$

Nogle serieidentiteter

De næste to serieidentiteter blev bevist af István Mező :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {4}^{2} (q) & = iq^{\ frac {1} {4}} \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty } q^{2k^{2} -k} \ theta _ {1} \ venstre ({\ frac {2k-1} {2i}} \ ln q, q \ højre), \\ [6pt] \ theta _ {4}^{2} (q) & = \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} q^{2k^{2}} \ theta _ {4} \ venstre ({\ frac {k \ ln q} {i}}, q \ højre). \ slut {justeret}}}$

Disse relationer gælder for alle 0 < q <1 . Med speciale i værdierne for q har vi den næste parameter gratis summer

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ sqrt {\ frac {\ pi {\ sqrt {e ^{\ pi}}}} {2}}} \ cdot {\ frac {1} {\ Gamma ^{2 } \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} & = i \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} e^{\ pi \ venstre (k-2k^{ 2} \ højre)} \ theta _ {1} \ venstre ({\ frac {i \ pi} {2}} (2k-1), e^{-\ pi} \ højre), \\ [6pt] { \ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1} {\ Gamma ^{2} \ venstre ({\ frac {3} {4}} \ højre)}} & = \ sum _ {k =-\ infty}^{\ infty} {\ frac {\ theta _ {4} \ venstre (ik \ pi, e^{-\ pi} \ right)} {e^{2 \ pi k ^{2}}}} \ slut {justeret}}}$

Nuller af Jacobi -theta -funktionerne

Alle nuller i Jacobi theta -funktionerne er simple nuller og er givet ved følgende:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ vartheta (z; \ tau) = \ vartheta _ {00} (z; \ tau) & = 0 \ quad & \ Longleftrightarrow && \ quad z & = m +n \ tau +{ \ frac {1} {2}}+{\ frac {\ tau} {2}} \\ [3pt] \ vartheta _ {11} (z; \ tau) & = 0 \ quad & \ Longleftrightarrow && \ quad z & = m+n \ tau \\ [3pt] \ vartheta _ {10} (z; \ tau) & = 0 \ quad & \ Long Leftrightarrow && \ quad z & = m+n \ tau+{\ frac {1} {2 }} \\ [3pt] \ vartheta _ {01} (z; \ tau) & = 0 \ quad & \ Longleftrightarrow && \ quad z & = m +n \ tau +{\ frac {\ tau} {2}} \ slut {align}}}$

hvor m , n er vilkårlige heltal.

Forhold til Riemann zeta -funktionen

Forholdet

${\ displaystyle \ vartheta \ left (0;-{\ frac {1} {\ tau}} \ right) = \ left (-i \ tau \ right)^{\ frac {1} {2}} \ vartheta ( 0; \ tau)}$

blev brugt af Riemann til at bevise den funktionelle ligning for Riemann zeta -funktionen ved hjælp af Mellin -transformen

${\ displaystyle \ Gamma \ venstre ({\ frac {s} {2}} \ højre) \ pi ^{-{\ frac {s} {2}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} { 2}} \ int _ {0}^{\ infty} {\ bigl (} \ vartheta (0; it) -1 {\ bigr)} t^{\ frac {s} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t}}}$

som kan vise sig at være invariant ved substitution af s med 1 - s . Det tilsvarende integral for z ≠ 0 er angivet i artiklen om Hurwitz zeta -funktionen .

Forholdet til Weierstrass elliptiske funktion

Theta -funktionen blev brugt af Jacobi til at konstruere (i en form tilpasset til let beregning) hans elliptiske funktioner som kvotienterne for de ovennævnte fire theta -funktioner, og kunne have været brugt af ham til at konstruere Weierstrass elliptiske funktioner også siden

${\ displaystyle \ wp (z; \ tau) =-{\ big (} \ log \ vartheta _ {11} (z; \ tau) {\ big)} ''+c}$

hvor det andet derivat er i forhold til z og konstanten c er defineret således at Laurent -ekspansionen af ℘ ( z ) ved z = 0 har nul konstant sigt.

Forhold til funktionen q -gamma

Den fjerde theta -funktion -og dermed også de andre -er intimt forbundet med Jackson q -gamma -funktionen via relationen

${\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {q^{2}} (x) \ Gamma _ {q^{2}} (1-x) \ right)^{-1} = {\ frac {q^{ 2x (1-x)}} {\ venstre (q^{-2}; q^{-2} \ højre) _ {\ infty}^{3} \ venstre (q^{2} -1 \ højre) }} \ theta _ {4} \ venstre ({\ frac {1} {2i}} (1-2x) \ log q, {\ frac {1} {q}} \ højre).}$

Forhold til Dedekind eta funktion

Lad η ( τ ) være den Dedekind eta funktion , og argumentet af theta funktion som nome q = e ^πiτ . Derefter,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {2} (q) = \ vartheta _ {10} (0; \ tau) & = {\ frac {2 \ eta ^{2} (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}}, \\ [3pt] \ theta _ {3} (q) = \ vartheta _ {00} (0; \ tau) & = {\ frac {\ eta ^{5} ( \ tau)} {\ eta ^{2} \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ tau \ højre) \ eta ^{2} (2 \ tau)}} = {\ frac {\ eta ^ {2} \ venstre ({\ frac {1} {2}} (\ tau +1) \ højre)} {\ eta (\ tau +1)}}, \\ [3pt] \ theta _ {4} ( q) = \ vartheta _ {01} (0; \ tau) & = {\ frac {\ eta ^{2} \ venstre ({\ frac {1} {2}} \ tau \ højre)} {\ eta ( \ tau)}}, \ end {align}}}$

og,

${\ displaystyle \ theta _ {2} (q) \, \ theta _ {3} (q) \, \ theta _ {4} (q) = 2 \ eta ^{3} (\ tau).}$

Se også Weber modulære funktioner .

Elliptisk modul

Det elliptiske modul er

${\ displaystyle k (\ tau) = {\ frac {\ vartheta _ {10} (0; \ tau)^{2}} {\ vartheta _ {00} (0; \ tau)^{2}}}}$

og det komplementære elliptiske modul er

${\ displaystyle k '(\ tau) = {\ frac {\ vartheta _ {01} (0; \ tau)^{2}} {\ vartheta _ {00} (0; \ tau)^{2}}} }$

En løsning på varmeligningen

Jacobi theta-funktionen er den grundlæggende løsning på den endimensionelle varme-ligning med rumligt periodiske randbetingelser. Ved at tage z = x for at være reel og τ = det med t reelt og positivt, kan vi skrive

${\ displaystyle \ vartheta (x; it) = 1+2 \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ exp \ left (-\ pi n^{2} t \ right) \ cos (2 \ pi nx)}$

som løser varmeligningen

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partiel t}} \ vartheta (x; it) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ frac {\ delvis ^{2}} {\ delvis x^{2}}} \ vartheta (x; it).}$

Denne theta-funktionsløsning er 1-periodisk i x , og som t → 0 nærmer den sig den periodiske delta-funktion , eller Dirac kam , i betydningen af fordelinger

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ vartheta (x; it) = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ delta (xn)}$.

Generelle løsninger på det rumligt periodiske startværdiproblem for varme -ligningen kan opnås ved at konvergere de indledende data ved t = 0 med theta -funktionen.

Forholdet til Heisenberg -gruppen

Jacobi theta -funktionen er invariant under virkningen af ​​en diskret undergruppe af Heisenberg -gruppen . Denne uoverensstemmelse præsenteres i artiklen om Heisenberg -gruppens theta -repræsentation .

Generaliseringer

Hvis F er en kvadratisk form i n variable, så theta funktion i forbindelse med F er

${\ displaystyle \ theta _ {F} (z) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z} ^{n}} e ^{2 \ pi izF (m)}}$

med summen strækker sig over gitter af heltal . Denne theta -funktion er en modulær vægtform${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$n/2(på en passende defineret undergruppe) af den modulære gruppe . I Fourier -udvidelsen,

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} _ {F} (z) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} R_ {F} (k) e^{2 \ pi ikz},}$

tallene R _F ( k ) kaldes formularens repræsentationsnumre .

Theta -serie af en Dirichlet -karakter

For χ et primitivt Dirichlet -tegn modulo q og ν =1 - χ (−1)/2 derefter

${\ displaystyle \ theta _ {\ chi} (z) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} \ chi (n) n^{\ nu} e^{2i \ pi n^{2} z}}$

er en vægt 1/2+ mod modulform af niveau 4 q ² og karakter

${\ displaystyle \ chi (d) \ venstre ({\ frac {-1} {d}} \ højre)^{\ nu},}$

hvilket betyder

${\ displaystyle \ theta _ {\ chi} \ left ({\ frac {az+b} {cz+d}} \ right) = \ chi (d) \ left ({\ frac {-1} {d}} \ højre)^{\ nu} \ venstre ({\ frac {\ theta _ {1} \ venstre ({\ frac {az+b} {cz+d}} \ højre)} {\ theta _ {1} ( z)}} \ højre)^{1+2 \ nu} \ theta _ {\ chi} (z)}$

hver gang

${\ displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {Z} ^{4}, ad-bc = 1, c \ equiv 0 {\ bmod {4}} q ^{2}.}$

Ramanujan theta -funktion

Riemann theta funktion

Lade

${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n} = \ left \ {F \ in M ​​(n, \ mathbb {C}) \, {\ big |} \, F = F^{\ mathsf {T}} \ ,, \, \ operatorname {Im} F> 0 \ right \}}$

sættet af symmetriske firkantede matricer, hvis imaginære del er positiv bestemt . kaldes Siegel øvre halvrum og er den flerdimensionale analog af det øvre halvplan . Den modulære gruppes n -dimensionelle analog er den symplektiske gruppe Sp (2 n , ) ; for n = 1 , Sp (2, ) = SL (2, ) . Den n -dimensionelle analog af kongruensundergrupperne spilles af ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ ker {\ big \ {} \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbb {Z}) \ to \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbb {Z} /k \ mathbb {Z}) {\ stor \}}.}$

Derefter givet T ∈${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n}}$ , den Riemann theta-funktionen er defineret som

${\ displaystyle \ theta (z, \ tau) = \ sum _ {m \ in \ mathbb {Z} ^{n}} \ exp \ left (2 \ pi i \ left ({\ tfrac {1} {2} } m^{\ mathsf {T}} \ tau m+m^{\ mathsf {T}} z \ right) \ right).}$

Her er z ∈${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$ en n -dimensionel kompleks vektor, og overskriften T betegner transponeringen . Jacobi theta-funktionen er derefter et specielt tilfælde, med n = 1 og τ ∈${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ hvor er det øverste halvplan . En væsentlig anvendelse af Riemann theta -funktionen er, at den giver en mulighed for at give eksplicitte formler for meromorfe funktioner på kompakte Riemann -overflader samt andre hjælpeobjekter, der fremtræder fremtrædende i deres funktionsteori, ved at tage τ til at være periodematricen mht. et kanonisk grundlag for sin første homologigruppe . ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Riemann -theta konvergerer absolut og ensartet på kompakte undersæt af . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n} \ times \ mathbb {H} _ {n}}$

Den funktionelle ligning er

${\ displaystyle \ theta (z+a+\ tau b, \ tau) = \ exp 2 \ pi i \ left (-b^{\ mathsf {T}} z-{\ tfrac {1} {2}} b^ {\ mathsf {T}} \ tau b \ right) \ theta (z, \ tau)}$

som gælder for alle vektorer a , b ∈${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^{n}}$ og for alle z ∈${\ displaystyle \ mathbb {C} ^{n}}$ og τ ∈${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {n}}$ .

Poincaré -serien

Den Poincarés serien generaliserer theta serie til Automorfe former med hensyn til vilkårlige Fuchsian grupper .

Generaliserede theta -funktioner

Der er generelt højere orden ikke-kvadratiske theta-funktioner. De har formen

${\ displaystyle \ theta _ {\ chi}^{\ {\ kappa \}} (z) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ chi (n) q^{n^{\ kappa} },}$

hvor q = e ^{2 πiz} . Variablen z ligger i det øverste halvplan, χ ( n ) er en hvilken som helst aritmetisk funktion og κ er et heltal større end 1.

Begrænsningen κ = 2 og

${\ displaystyle \ chi (n) \ rightarrow {\ frac {1} {2}} \ chi (n) n^{\ nu},}$

med χ er en Dirichlet -karakter relateret til den klassisk theta -serie af en Dirichlet -karakter θ _χ ( z ) . Nogle ejendomme er

${\ displaystyle \ exp \ left (\ theta _ {\ chi}^{\ {\ kappa \}} (z) \ right) = e^{q \ chi (1)} \ prod _ {n = 1}^ {\ infty} \ venstre (1-q^{n} \ højre)^{-\ chi {\ bigl (} n _ {\ kappa} (n) {\ bigr)} \ epsilon {\ bigl (} n _ {\ kappa}^{*} (n) {\ bigr)}}.}$

Her ε ( n ) =μ ( n )/nnår n ≠ 0 , og nul ellers. Den aritmetiske funktion μ ( n ) er Moebius μ -funktionen . De aritmetiske funktioner n _κ ( n ) og n^∗
_κ( n ) evalueres ud fra primfaktoriseringen af n ved at dekomponere den til en effekt på κ og dens κ -fri del. Dette er som følger:

${\ displaystyle {\ begin {align} n & = p_ {1}^{a_ {1}} p_ {2}^{a_ {2}} \ ldots p_ {t}^{a_ {t}} \\ [3pt ] & = \ venstre (p_ {k_ {1}}^{b_ {k_ {1}}} p_ {k_ {2}}^{b_ {k_ {2}}} \ ldots p_ {k_ {s}}^ {b_ {k_ {s}}} \ right)^{\ kappa} p_ {j_ {1}}^{c_ {j_ {1}}} p_ {j_ {2}}^{c_ {j_ {2}} } \ ldots p_ {j_ {r}}^{c_ {j_ {r}}}. \ end {justeret}}}$

Her er b _{k 1} , b _{k 2} , ..., b _{k s} og c _{j 1} , c _{j 2} , ..., c _{j s} positive heltal med alle c _j < κ . Denne nedbrydning er unik og ved konvektion sætter vi

${\ displaystyle n _ {\ kappa} (n) = {\ begin {cases} 0 og {\ text {if}} p_ {k_ {1}}^{b_ {k_ {1}}} p_ {k_ {2}} ^{b_ {k_ {2}}} \ ldots p_ {k_ {s}}^{b_ {k_ {s}}} = 1, \\ [3pt] p_ {k_ {1}}^{b_ {k_ { 1}}} p_ {k_ {2}}^{b_ {k_ {2}}} \ ldots p_ {k_ {s}}^{b_ {k_ {s}}} og {\ tekst {ellers}}. \ slut {cases}}}$

Funktionen n^∗
_κ( n ) kan også vurderes som

${\ displaystyle n _ {\ kappa}^{*} (n) = {\ frac {n} {{\ bigl (} n _ {\ kappa} (n) {\ bigr)}^{\ kappa}}}}}$

når n _κ ( n ) ≠ 0 . Indstilling

${\ displaystyle C _ {\ kappa} (\ chi; n): = \ mu (n)+\ chi {\ bigl (} n _ {\ kappa} (n) {\ bigr)} \ mu \ venstre (n _ {\ kappa}^{*} (n) \ højre),}$

derefter C _κ ( χ ; n ) er multiplikativ når χ ( n ) er multiplikativ.

En anden ejendom er

${\ displaystyle \ exp \ left (2 \ pi i \ int _ {z}^{i \ infty} \ theta _ {\ chi}^{\ {\ kappa \}} (w) \, \ mathrm {d} w \ højre) = e^{{\ bigl (} 1- \ chi (1) {\ bigr)} q} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ venstre (1-q^{n} \ højre)^{\ frac {C _ {\ kappa} (\ chi; n)} {n}}.}$

Theta -funktionskoefficienter

Hvis a og b er positive heltal, χ ( n ) enhver aritmetisk funktion og | q | <1 , altså

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ chi (n) q^{an^{2}+bn} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} q^{n } \ sum _ {\ stackrel {d | n} {ad^{2}+bd = n}} \ chi (d).}$

Det generelle tilfælde, hvor f ( n ) og χ ( n ) er nogen aritmetiske funktioner, og f ( n ): →${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ er strengt voksende med f (0) = 0 , er

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ chi (n) q^{f (n)} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} q^{n} \ sum _ {d | n} \ sum _ {f (\ delta) | d} \ chi (\ delta) \ mu \ left ({\ frac {d} {f (\ delta)}} \ right).}$

Noter

Referencer

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. (1964). Håndbog i matematiske funktioner . New York: Dover Publications. sek. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Akhiezer, Naum Illyich (1990) [1970]. Elementer i teorien om elliptiske funktioner . AMS Oversættelser af matematiske monografier. 79 . Providence, RI: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Farkas, Hershel M .; Kra, Irwin (1980). Riemann overflader . New York: Springer-Verlag. kap. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (til behandling af Riemann theta)
• Hardy, GH ; Wright, EM (1959). En introduktion til talteorien (4. udgave). Oxford: Clarendon Press.
• Mumford, David (1983). Tata Foredrag om Theta jeg . Boston: Birkhauser. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Pierpont, James (1959). Funktioner af en kompleks variabel . New York: Dover Publications.
• Rauch, Harry E .; Farkas, Hershel M. (1974). Theta -funktioner med applikationer på Riemann -overflader . Baltimore: Williams & Wilkins. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Reinhardt, William P .; Walker, Peter L. (2010), "Theta Functions" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Et kursus i moderne analyse (4. udgave). Cambridge: Cambridge University Press. kap. 21. (historie Jacobi s Ø funktioner)

Yderligere læsning

• Farkas, Hershel M. (2008). "Theta fungerer i kompleks analyse og talteori". I Alladi, Krishnaswami (red.). Undersøgelser i talteori . Udviklingen i matematik. 17 . Springer-Verlag . s. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055 .
• Schoeneberg, Bruno (1974). "IX. Theta -serie". Elliptiske modulære funktioner . Die Grundlehren der mathematatischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . s. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Ackerman, M. Math. Ann. (1979) 244: 75. "On the Generating Functions of Certain Eisenstein Series " Springer-Verlag

Harry Rauch med Hershel M. Farkas: Theta fungerer med applikationer til Riemann Surfaces, Williams og Wilkins, Baltimore MD 1974, ISBN  0-683-07196-3 .

eksterne links

• Moiseev Igor. "Elliptiske funktioner til Matlab og Octave" .

Denne artikel indeholder materiale fra integrerede repræsentationer af Jacobi theta-funktioner på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution/Share-Alike License .