Weber modulære funktion - Weber modular function

I matematik er Webers modulære funktioner en familie på tre modulære funktioner f , f ₁ og f ₂ , undersøgt af Heinrich Martin Weber .

Definition

Lad hvor τ er et element i det øverste halvplan . ${\ displaystyle q = e^{2 \ pi i \ tau}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {f}} (\ tau) & = q^{-{\ frac {1} {48}}} \ prod _ {n> 0} (1+q^ {n-{\ frac {1} {2}}}) = e^{-{\ frac {\ pi {\ rm {i}}} {24}}} {\ frac {\ eta {\ big (} {\ frac {\ tau +1} {2}} {\ big)}} {\ eta (\ tau)}} = {\ frac {\ eta ^{2} (\ tau)} {\ eta {\ big (} {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big)} \ eta (2 \ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) & = q^{- {\ frac {1} {48}}} \ prod _ {n> 0} (1-q^{n-{\ frac {1} {2}}}) = {\ frac {\ eta {\ big ( } {\ tfrac {\ tau} {2}} {\ big)}} {\ eta (\ tau)}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) & = {\ sqrt { 2}} \, q^{\ frac {1} {24}} \ prod _ {n> 0} (1+q^{n}) = {\ frac {{\ sqrt {2}} \, \ eta (2 \ tau)} {\ eta (\ tau)}} \ end {justeret}}}$

hvor er Dedekind eta -funktionen . Bemærk beskrivelserne, som kvotienter umiddelbart antyder ${\ displaystyle \ eta (\ tau)}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) = {\ sqrt {2 }}.}$

Transformationen τ  → –1/ τ reparerer f og udveksler f ₁ og f ₂ . Så det 3-dimensionelle komplekse vektorrum med basis f , f ₁ og f ₂ påvirkes af gruppen SL ₂ ( Z ).

Forhold til theta -funktioner

Lad argumentet om Jacobi theta -funktionen være nomen . Derefter, ${\ displaystyle q = e^{\ pi i \ tau}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathfrak {f}} (\ tau) & = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {3} (q)} {\ eta (\ tau)}}}} \ \ {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau) & = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {4} (q)} {\ eta (\ tau)}}} \\ {\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau) & = {\ sqrt {\ frac {\ theta _ {2} (q)} {\ eta (\ tau)}}} \\\ end {align}}}$

Ved hjælp af den velkendte identitet,

${\ displaystyle \ theta _ {2} (q)^{4}+\ theta _ {4} (q)^{4} = \ theta _ {3} (q)^{4}}$

dermed,

${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau)^{8}+{\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau)^{8} = {\ mathfrak {f}} (\ tau)^{8}}$

Forhold til j-funktion

De tre rødder i den kubiske ligning ,

${\ displaystyle j (\ tau) = {\ frac {(x-16)^{3}} {x}}}$

hvor j ( τ ) er j-funktionen er givet af . Også siden, ${\ displaystyle x_ {i} = {\ mathfrak {f}} (\ tau)^{24},-{\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau)^{24},-{\ mathfrak { f}} _ {2} (\ tau)^{24}}$

${\ displaystyle j (\ tau) = 32 {\ frac {{\ Big (} \ theta _ {2} (q)^{8}+\ theta _ {3} (q)^{8}+\ theta _ {4} (q)^{8} {\ Big)}^{3}} {{\ Big (} \ theta _ {2} (q) \ theta _ {3} (q) \ theta _ {4} (q) {\ Big)}^{8}}}}$

derefter,

${\ displaystyle j (\ tau) = \ left ({\ frac {{\ mathfrak {f}} (\ tau)^{16}+{\ mathfrak {f}} _ {1} (\ tau)^{16 }+{\ mathfrak {f}} _ {2} (\ tau)^{16}} {2}} \ højre)^{3}}$

Se også

• Ramanujan – Sato -serien, niveau 4

Referencer

• Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (på tysk), 3 (3. udgave), New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
• Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), "On the singular values ​​of Weber modulære funktioner", Mathematics of Computation , 66 (220): 1645–1662, doi : 10.1090/S0025-5718-97-00854-5 , MR  1415803