Тета-функция

В теории функций , ветвь в области математики , в тета - функции образуют особый класс функций нескольких комплексных переменных. Впервые их систематически исследовал Карл Густав Якоб Якоби .

Тета-функции играют важную роль в теории эллиптических функций и квадратичных форм . Они были введены в 1829 году Якоби в его книге Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum . Якоби использовал для нее греческую букву и дал ей имя тета-функция. Для Якоби это основа его трактовки эллиптических функций, систематически развиваемой в его лекциях. Карл Фридрих Гаус признал важность тета-функции для теории эллиптических функций, но не опубликовал ее. Сама тета-функция была уже известна Леонарду Эйлеру и Иоганну I Бернулли в особых случаях . Дальнейший вклад в теорию тета-функции был внесен в 19 веке, в частности, Карлом Вейерштрассом , Бернхардом Риманом , Фробениусом и Анри Пуанкаре . ${\ displaystyle \ Theta}$

Тета-функции появляются, например, при решении уравнения теплопроводности .

определение

Классическая тета-функция

Классическая тета-функция Якобина определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ vartheta (z, \ tau): = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi in ^ {2} \ tau +2 \ pi inz}}$

Серия сходятся в нормальных , где на верхних средствах полуплоскости . Так для твердого тела является целой функцией , для твердого тела является голоморфно . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} = \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ Im (z)> 0 \}}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ vartheta (\ cdot, \ тау)}$${\ Displaystyle г \ в \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ vartheta (г, \ cdot)}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Больше тета-функций

В общих чертах тета-функция определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ Theta _ {a, b} (z, \ tau): = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi i \ left (n + {\ frac {a } {2}} \ right) ^ {2} \ tau +2 \ pi i (n + {\ frac {a} {2}}) z + \ pi inb}}$

Помимо классической тета-функции, в литературе упоминаются еще три тета-функции, а именно:

${\ Displaystyle \ Theta _ {0} (z, \ tau): = \ Theta _ {0,1} (z, \ tau): = \ vartheta \ left (z + {\ frac {1} {2}} , \ tau \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ cdot e ^ {\ pi in ^ {2} \ tau +2 \ pi inz} }$

${\ Displaystyle \ Theta _ {2} (z, \ tau): = \ Theta _ {1,0} (z, \ tau): = e ^ {\ pi i {\ frac {\ tau} {4}} + \ pi iz} \ cdot \ vartheta \ left (z + {\ frac {\ tau} {2}}, \ tau \ right) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ { \ pi i \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} \ tau +2 \ pi i \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) z}}$

${\ Displaystyle \ Theta _ {1} (z, \ tau): = - \ Theta _ {1,1} (z, \ tau): = - e ^ {\ pi i {\ frac {\ tau} {4 }} + \ pi i \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right)} \ cdot \ vartheta \ left (z + {\ frac {\ tau +1} {2}}, \ tau \ right) = - i \ cdot \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ cdot e ^ {\ pi i \ left (n + {\ frac {1}) {2}} \ right) ^ {2} \ tau +2 \ pi i \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) z}}$

В этих обозначениях тета-функция Якоби обозначается как Θ₃ (z, ?) или Θ₀, ₀ (z, ?).

Математики Эдмунд Тейлор Уиттакер и Джордж Невилл Уотсон определили следующие тета-функции:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} (v; w) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-w ^ {2n}) [1 + 2 \ cos (2v) w ^ {2n -1} + w ^ {4n-2}]}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} (v; w) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-w ^ {2n}) [1-2 \ cos (2v) w ^ {2n -1} + w ^ {4n-2}]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (v; w) = 2w ^ {1/4} \ cos (v) \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-w ^ {2n}) [ 1 + 2 \ cos (2v) w ^ {2n} + w ^ {4n}]}$

Это отношение применяется:

${\ Displaystyle \ vartheta _ {00} [\ пи Z; \ ехр (я \ пи \ тау)] = \ Theta _ {0,0} (г, \ тау)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} [\ пи Z; \ ехр (я \ пи \ тау)] = \ Theta _ {0,1} (г, \ тау)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {10} [\ пи Z; \ ехр (я \ пи \ тау)] = \ Theta _ {1,0} (г, \ тау)}$

Тета ноль

Под нулевым тета-значением понимается тета-функция для значения z = 0, например, для тета-функции Якоби ряд:

${\ displaystyle \ vartheta (\ tau): = \ vartheta (0, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ pi in ^ {2} \ tau} = 1 +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {\ pi in ^ {2} \ tau}}$

Аналогично действует следующее:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (0; x) = \ vartheta _ {00} (x)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} (0; x) = \ vartheta _ {01} (x)}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {10} (0; x) = \ vartheta _ {10} (x)}$

характеристики

нулевая точка

Для твердого тела тета-функция имеет простые нули в точках ${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle z = k + m \ tau + {\ frac {\ tau +1} {2}}, k, m \ in \ mathbb {Z}}$.

Формула преобразования

Тета-функция периодична по обеим переменным, она равна

${\ Displaystyle \ vartheta (z + 1, \ tau) = \ vartheta (z, \ tau +2) = \ vartheta (z, \ tau)}$

Кроме того, применяется важная формула преобразования

${\ displaystyle \ vartheta \ left (z, {\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = e ^ {\ pi iz ^ {2} \ tau} {\ sqrt {\ frac {\ tau} { i}}} \ vartheta (z \ tau, \ tau)}$

Специально для нулевого значения тета это сокращается до

${\ Displaystyle \ vartheta \ left ({\ frac {-1} {\ tau}} \ right) = {\ sqrt {\ frac {\ tau} {i}}} \ vartheta (\ tau)}$

Основная ветвь берется из корня.

Презентация продукта

Тета-функцию также можно представить как бесконечное произведение с помощью тройного произведения Якоби , при этом применяется следующее:

${\ Displaystyle \ vartheta (г, \ тау) = \ прод _ {п = 1} ^ {\ infty} (1-е ^ {2 \ пи в \ тау}) (1 + е ^ {\ пи я [( 2n-1) \ tau + 2z]}) (1 + e ^ {\ pi i [(2n-1) \ tau -2z]})}$

Специально для нулевого значения тета это сокращается до

${\ Displaystyle \ vartheta (\ тау) = \ прод _ {п = 1} ^ {\ infty} (1-е ^ {2 \ пи в \ тау}) (1 + е ^ {\ пи я (2n-1 ) \ tau}) ^ {2}}$

Из этого представления, в частности, следует, что в верхней полуплоскости нет нулей . ${\ Displaystyle \ vartheta (\ тау)}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Интегральное представление

Тета-функция имеет интегральное представление:

${\ displaystyle \ vartheta (z, \ tau) = i \ int _ {i- \ infty} ^ {i + \ infty} {e ^ {i \ pi \ tau u ^ {2}} \ cos (2 \ pi uz + \ pi u) \ over \ sin (\ pi u)} {\ text {d}} u}$

Соответствующая функция нулевого значения тета имеет это интегральное представление для положительных значений x:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x) = 1 + {\ frac {4x} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (-y ^ {2}) \ {1-x ^ {2} \ cos [2 {\ sqrt {\ ln (1 / x)}} \, y] \}} {1-2x ^ {2} \ cos [2 {\ sqrt {\ ln (1 / x)}} \, y] + x ^ {4}}} \, \ mathrm {d} y}$

Дифференциальное уравнение

Тета-функция также играет важную роль в теории теплопроводности , для реальных, и является решением уравнения в частных производных${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t> 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ vartheta (x, it) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ vartheta (x, it).}$

как сделать, вставив

${\displaystyle \vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-n^{2}\cdot \pi \cdot t+2\pi inx}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\cdot \pi \cdot t}\cos {(2\pi nx)}}$

видит. Это соответствует разложению Фурье в пространственном пространстве с коэффициентами с экспоненциально убывающей зависимостью от времени.

Личность Якоби

Значения тета-нуля соответствуют так называемому тождеству Якоби:

${\ Displaystyle \ Theta _ {3} (\ tau) ^ {4} = \ Theta _ {0} (\ tau) ^ {4} + \ Theta _ {2} (\ tau) ^ {4}}$

В общем случае тождество Якоби можно распространить на следующие теоремы:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (a + b; c) \ vartheta _ {00} (ab; c) \ vartheta _ {00} (c) ^ {2} = \ vartheta _ {01} (а; c) ^ {2} \ vartheta _ {01} (b; c) ^ {2} + \ vartheta _ {10} (a; c) ^ {2} \ vartheta _ {10} (b; c) ^ { 2}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (a + b; c) \ vartheta _ {01} (ab; c) \ vartheta _ {01} (c) ^ {2} = \ vartheta _ {00} (а; c) ^ {2} \ vartheta _ {00} (b; c) ^ {2} - \ vartheta _ {10} (a; c) ^ {2} \ vartheta _ {10} (b; c) ^ { 2}}$

Связь с дзета-функцией Римана

В своей известной работе по количеству простых чисел при заданном количестве, Риман использовал формулу преобразования функции теты для доказательства функционального уравнения с дзетой - функции , а именно:

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ pi ^ {- {\ frac {s} {2}}} \ zeta (s) = {\ frac {1} { 2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} (\ vartheta (0, it) -1) \, t ^ {\ frac {s} {2}} {\ frac {{\ text {d}} т} {т}}}$

Связь с модульными формами и эллиптическими функциями

Связь с функцией эта Дедекинда

Тета-функция тесно связана с дедекиндовской эта-функцией , применяется следующее:

${\ displaystyle \ vartheta (0, \ tau) = {\ frac {\ eta ^ {2} ({\ frac {\ tau +1} {2}})} {\ eta (\ tau +1)}}}$

Тета-функция как модульная форма для подгруппы модульной группы

Формы модулей могут быть определены с помощью тета-функции. Если установлен , то применяется из-за поведения трансформации ${\ Displaystyle е (\ тау): = \ вартета ^ {8} (\ тау)}$

${\ Displaystyle е (\ тау +2) = е (\ тау) \ четырехъядерный {\ текст {и}} \ четырехъядерный е \ влево ({\ гидроразрыва {-1} {\ тау}} \ вправо) = \ тау ^ {4} f (\ tau)}$

Функция , следовательно , является модулярной формой веса 4 к подгруппе по модулю группы , генерируемой с помощью двух преобразований и . ${\ Displaystyle е (\ тау)}$${\ Displaystyle \ тау \ mapsto \ тау +2}$${\ displaystyle \ tau \ mapsto {\ frac {-1} {\ tau}}}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ vartheta}}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Коэффициенты тета-функций

Тета-функцию можно использовать для определения эллиптических функций . Если установить твердое тело : ${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$

${\ Displaystyle е (z) = {\ гидроразрыва {\ vartheta ^ {2} (z + {\ frac {1} {2}}, \ tau)} {\ vartheta ^ {2} (z, \ tau)} }}$,

так это эллиптическая функция решетки . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} \ tau}$

Аналогично строится ℘-функция Вейерштрасса. Если голоморфная функция удовлетворяет двум условиям и фиксированному , то вторая логарифмическая производная является эллиптической функцией решетки . Например, функция Weierstrasse ℘ применяется: ${\ displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle F (Z + 1) = F (Z)}$${\ Displaystyle е (г + \ тау) = {\ текст {е}} ^ {- аз-б} е (г)}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} \ tau}$

${\ displaystyle \ wp (z) = - {\ frac {{\ text {d}} ^ {2}} {{\ text {d}} z ^ {2}}} \ log \ Theta _ {1} ( z, \ tau) + c}$

с соответствующей константой . ${\ displaystyle c}$

Суммы и произведения

Представления нулевых значений в виде сумм и произведений

Следующие тождества применяются к нулевым значениям тета-функций в их реальных формах:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {k ^ {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty } (1-x ^ {2n}) (1 + x ^ {2n-1}) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} x ^ {k ^ {2}} = \ prod _ { n = 1} ^ {\ infty} (1-x ^ {2n}) (1-x ^ {2n-1}) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x ^ {(k + {\ frac {1} {2}}) ^ {2}} = 2x ^ {1/4} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-x ^ {2n}) (1 + x ^ {2n}) ^ {2}}$

В этом обозначении первый нижний индекс после тета указывает на сдвиг основания экспоненты на 1/2 в представлении суммы.

Второй индекс определяет чередование знаков в общем представлении.

Этот идентификатор применяется к следующему бесконечному продукту, обозначенному символом Pochhammer :

${\ displaystyle (x; x ^ {2}) _ {\ infty} = 2 ^ {1/6} x ^ {1/24} \ vartheta _ {01} (x) ^ {1/3} \ vartheta _ {00} (x) ^ {- 1/6} \ vartheta _ {10} (x) ^ {- 1/6}}$

Шриниваса Рамануджан открыл это тождество и записал его в своей знаменитой работе « Модульные уравнения и приближения к π» .

Эту связь признал и Юлий Вильгельм Рихард Дедекинд .

Связь с теоретико-числовыми функциями

Теорема о пятиугольных числах может быть доказана с помощью тета-функции и ее произведения .

Другое приложение - формула для третьей степени произведения Эйлера:

${\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-q ^ {n}) ^ {3} = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m } (2m + 1) q ^ {(m ^ {2} + m) / 2}}$

Значения тета-функции

Расчет нулевых значений ϑ₁₀ и ϑ₀₀

Следующие формулы применяются к тета-функциям ϑ₁₀ и ϑ₀₀ в вещественной форме:

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp [- (a + {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2} \ pi {\ sqrt {x}}] = {\ biggl \ {} \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {six} [(а + {\ tfrac {1} {2}}) \ pi {\ sqrt {x}}] {\ biggr \}} ^ {1/2} =}$

${\ displaystyle = {\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt {\ lambda ^ {*} (x)}} {\ sqrt {K [\ lambda ^ {*} (x)]}} = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt [{4}] {\ lambda ^ {*} (4x)}} {\ sqrt {K [\ lambda ^ {*} (4x)]}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] = \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp (-a ^ {2} \ pi {\ sqrt {x}}) = {\ biggl [} \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {six} (a \ pi {\ sqrt {x}}) {\ biggr]} ^ {1/2} = {\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {\ pi}}} {\ sqrt {K [\ lambda ^ {*} (x)]}} = \ имя оператора {agm} [1; \ lambda ^ {*} (1 / x)] ^ {- 1/2}}$

Здесь λ * (x) обозначает эллиптическую лямбда-функцию, а K (x) - полный эллиптический интеграл первого рода.

Аббревиатура agm используется для выражения среднего арифметического и геометрического .

Из этих двух тета-функций некоторые значения тета-нуля перечислены ниже.

Списки нулевых значений

Значения ϑ₁₀:

Лемнискатические значения ϑ₁₀:

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (- \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4}} \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 1/4} = {\ sqrt {G}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-2 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 3/4} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-3 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 3/2} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} - 1}} ({\ sqrt {3}} + 1 - {\ sqrt [{4}] {12}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-4 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 5/4} ({\ sqrt [{4}] {2}} - 1)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-5 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 7/4} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} - 1}} ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-6 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 2} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {\ tan ({\ tfrac {\ pi} {24}})}} ({\ sqrt [ {4}] {3}} - 1) ({\ sqrt {3}} + 1 - {\ sqrt [{4}] {12}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-7 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 43/8} 7 ^ {- 7/16} {\ sqrt [{4}] {3 + {\ sqrt {7}}}} {\ sqrt { 5 - {\ sqrt {7}} + {\ sqrt [{4}] {28}}}} [2 {\ sqrt {2}} - {\ sqrt [{8}] {28}} {\ sqrt { 3 + {\ sqrt {7}}}} ({\ sqrt [{4}] {28}} - {\ sqrt {7}} + 1)] ^ {2}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-8 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 2} ({\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} - 2 ^ {7/8})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-9 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 5/4} 3 ^ {- 1} [2 - ({\ sqrt [{4}] {12}} - {\ sqrt {3}} + 1 ) {\ sqrt [{3}] {2 {\ sqrt {3}} + 2}}]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-10 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 11/4} 5 ^ {- 1/2} ({\ sqrt {5}} + 1-2 {\ sqrt {2}}) {\ sqrt { ({\ sqrt {5}} + 2) ({\ sqrt {2}} - 1)}} ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) ^ {2} ({\ sqrt [{ 4}] {5}} - {\ sqrt {2}})}$

Здесь G обозначает постоянную Гаусса, которая представляет собой частное от постоянной лемнискаты на количество кругов .

Нелемнискатические значения ϑ₁₀, которые могут быть выражены с помощью значений гамма-функции восьмых:

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (- {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8}} \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {7/8} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1 }}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-2 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {1/8} (1 - {\ sqrt {{\ sqrt {2 }} - 1}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-3 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {3/8} 3 ^ {- 1/2} ({\ sqrt {3}} - 1) {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}} {\ sqrt {\ tan ({\ tfrac {1} {24}} \ pi)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-4 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {- 1/8} (1 - {\ sqrt [{4}] {2 {\ sqrt {2}} - 2}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-5 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {15/8} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} - 1}} \ {{\ tfrac {1} {5}} ({\ sqrt {5}} - {\ sqrt {2}}) \ sin ({\ tfrac {1} {5}} \ pi) - { \ tfrac {1} {5}} {\ sqrt {3}} \ cos ({\ tfrac {1} {10}} \ pi) \ operatorname {tanh} [{\ tfrac {1} {4}} \ operatorname {arcosh} (2) - {\ tfrac {1} {6}} \ operatorname {arsinh} ({\ tfrac {1} {5}} {\ sqrt {2}})] \}}$

Значения равных гармоник ϑ₁₀:

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (- {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ справа)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {13/8} {\ sqrt {\ sin ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} = 2 ^ { 1/3} 3 ^ {1/8} {\ sqrt {\ sin ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} {\ sqrt {\ omega _ {2} / \ pi}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-2 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {13/8} \ sin ({\ tfrac {1} {24}} \ pi)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-3 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 7/6} 3 ^ {7/8} {\ sqrt {\ sin ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} ({\ sqrt {3}} + 1-2 {\ sqrt [{3}] {2}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-4 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 5/3} 3 ^ {13/8} [1 - {\ sqrt {\ cos ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} ]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-5 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {9/8} [{\ tfrac {2} {5}} {\ sqrt {2}} \ sin ({\ tfrac { 1} {5}} \ pi) {\ sqrt {\ cos ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} {\ sqrt [{3}] {10}} - {\ tfrac {1} {5}} {\ sqrt {5}} \ cot ({\ tfrac {1} {10}} \ pi) {\ sqrt {\ sin ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}}] }$

Здесь ω₂ - постоянная омега-2 эквиангармонического случая.

Между ϑ₁₀ и ϑ₀₀ применяются следующие отношения:

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] = \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] {\ sqrt {\ lambda ^ {*} (х)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [\ exp (-2 \ pi {\ sqrt {x}})] = \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] \ грех \ {{\ tfrac {1} {2}} \ arcsin [\ lambda ^ {*} (x)] \}}$

Значения ϑ₀₀:

Лемнискатические значения ϑ₀₀:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4}} \ right)} ^ {- 1} = 2 ^ {1/4} {\ sqrt {G}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-2 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 3/4} {\ sqrt {{\ sqrt {2}} + 1}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-3 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 1/4} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {{\ sqrt {3}} + 1}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-4 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 5/4} ({\ sqrt [{4}] {2}} + 1)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-5 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 5 ^ {- 1/2} {\ sqrt {{\ sqrt {5}} + 2}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-6 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 2} 3 ^ {- 3/8} {\ sqrt {\ cot ({\ tfrac {\ pi} {24}})}} ({\ sqrt [ {4}] {3}} + 1) ({\ sqrt {3}} + 1 - {\ sqrt [{4}] {12}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-7 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 5/8} 7 ^ {- 7/16} {\ sqrt [{4}] {3 + {\ sqrt {7}}}} {\ sqrt { 5 - {\ sqrt {7}} + {\ sqrt [{4}] {28}}}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-8 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 2} ({\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} + 2 ^ {7/8})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-9 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 3 ^ {- 1} ({\ sqrt [{3}] {2 {\ sqrt {3}} + 2}} + 1)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-10 \ pi)] = {\ sqrt [{4}] {\ pi}} \, {\ Gamma \ left ({\ tfrac {3} {4} } \ right)} ^ {- 1} 2 ^ {- 11/4} 5 ^ {- 1/2} ({\ sqrt {5}} + 1 + 2 {\ sqrt {2}}) {\ sqrt { ({\ sqrt {5}} + 2) ({\ sqrt {2}} + 1)}} ({\ sqrt [{4}] {5}} - 1) ^ {2} ({\ sqrt [{ 4}] {5}} + {\ sqrt {2}})}$

Нелемнискатические значения, которые могут быть выражены значениями гамма-функции восьмого:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (- {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8}} \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {7/8}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-2 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {1/8} (1 + {\ sqrt {{\ sqrt {2 }} - 1}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-3 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {3/8} 3 ^ {- 1/2} ({\ sqrt {3}} + 1) {\ sqrt {\ tan ({\ tfrac {5} {24}} \ pi)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-4 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {- 1/8} (1 + {\ sqrt [{4}] {2 {\ sqrt {2}} - 2}})}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-5 {\ sqrt {2}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1/2} \ Gamma \ left ({\ tfrac {9} {8} } \ right) {\ Gamma \ left ({\ tfrac {5} {4}} \ right)} ^ {- 1/2} 2 ^ {15/8} \ {{\ tfrac {1} {5}} {\ sqrt {3}} \ cos ({\ tfrac {1} {10}} \ pi) \ operatorname {coth} [{\ tfrac {1} {4}} \ operatorname {arcosh} (2) + {\ tfrac {1} {6}} \ operatorname {arsinh} ({\ tfrac {1} {5}} {\ sqrt {2}})] - {\ tfrac {1} {5}} ({\ sqrt {5 }} + {\ sqrt {2}}) \ sin ({\ tfrac {1} {5}} \ pi) \}}$

Значения равных гармоник ϑ₀₀:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (- {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ справа)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {13/8} = 2 ^ {1/3} 3 ^ {1/8} {\ sqrt {\ omega _ {2} / \ Пи}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-2 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {13/8} \ cos ({\ tfrac {1} {24}} \ pi)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-3 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {7/8} ({\ sqrt [{3}] {2}} + 1)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-4 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 5/3} 3 ^ {13/8} [1 + {\ sqrt {\ cos ({\ tfrac {1} {12}} \ pi)}} ]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-5 {\ sqrt {3}} \ pi)] = \ pi ^ {- 1} {\ Gamma \ left ({\ tfrac {4} {3}} \ right)} ^ {3/2} 2 ^ {- 2/3} 3 ^ {5/8} \ sin ({\ tfrac {1} {5}} \ pi) ({\ tfrac {2} {5 }} {\ sqrt [{3}] {100}} + {\ tfrac {2} {5}} {\ sqrt [{3}] {10}} + {\ tfrac {3} {5}} {\ sqrt {5}} + 1)}$

К функции относится следующее тождество:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi / y)] = {\ sqrt {y}} \, \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi y)]}$

Это отношение применяется ко всем натуральным числам n:

${\ displaystyle {\ frac {n \ vartheta _ {00} [\ exp (-n \ pi {\ sqrt {x}})] ^ {2}} {\ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] ^ {2}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {dn} {\ biggl \ {} {\ frac {2k} {n}} K [\ lambda ^ {*} (x)]; \ lambda ^ {*} (x) {\ biggr \}}}$

Здесь dn - эллиптическая функция Якоби Deltaampitudinis. Например, применяется следующее:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [\ exp (-2 \ pi {\ sqrt {x}})] = \ vartheta _ {00} [\ exp (- \ pi {\ sqrt {x}})] \ cos \ {{\ tfrac {1} {2}} \ arcsin [\ lambda ^ {*} (x)] \}}$

Значения функций ненулевого значения

Если левая запись в скобках тета-функции принимает значение шаблона π * t при t ∈ ℚ, то все значения функций ϑ₀₀, ϑ₀₁ и ϑ₁₀ могут быть выражены с помощью эллиптического существительного, показанного здесь с помощью якоби. функции sn, cn и dn:

${\ Displaystyle д (к) = \ ехр [- \ пи К ({\ sqrt {1-к ^ {2}}}) К (к) ^ {- 1}]}$

Следующие тождества действительны для всех 0 <k <1:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {2}} \ pi; q (k)] = {\ sqrt [{4}] {1-k ^ {2}}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} К (к)}}}$

${\ Displaystyle \ vartheta _ {01} [{\ tfrac {1} {2}} \ pi; q (k)] = {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K (k)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {4}} \ pi; q (k)] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{4}] {8} } {\ sqrt [{16}] {1-k ^ {2}}} {\ sqrt [{4}] {1 + {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} К (к)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [{\ tfrac {1} {4}} \ pi; q (k)] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{4}] {8} } {\ sqrt [{16}] {1-k ^ {2}}} {\ sqrt [{4}] {1 - {\ sqrt {1-k ^ {2}}}}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} К (к)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {6}} \ pi; q (k)] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{3}] {4} } {\ sqrt [{12}] {1-k ^ {2}}} {\ sqrt [{3}] {\ operatorname {dn} [{\ tfrac {1} {3}} K (k); k ] \ operatorname {nc} [{\ tfrac {2} {3}} K (k); k]}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K (k)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} [{\ tfrac {1} {6}} \ pi; q (k)] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{3}] {4} } {\ sqrt [{6}] {1-k ^ {2}}} {\ sqrt [{3}] {\ operatorname {sn} [{\ tfrac {2} {3}} K (k); k ] \ operatorname {dc} [{\ tfrac {2} {3}} K (k); k] \ operatorname {nc} [{\ tfrac {1} {3}} K (k); k]}} { \ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} К (к)}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} [{\ tfrac {1} {3}} \ pi; q (k)] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{3}] {4} } {\ sqrt {| k |}} {\ sqrt [{3}] {\ operatorname {cn} [{\ tfrac {2} {3}} K (k); k] \ operatorname {sn} [{\ tfrac {1} {3}} K (k); k]}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K (k)}}}$

Явные примеры:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {2}} \ pi; {\ text {e}} ^ {- \ pi}] = {\ sqrt [{4}] {1- ( {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}}) ^ {2}}} {\ sqrt {2 \ pi ^ {- 1} K ({\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {2}})}} = {\ sqrt {G}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {4}} \ pi; {\ text {e}} ^ {- \ pi}] = 2 ^ {- 3/16} {\ sqrt [ {4}] {{\ sqrt {2}} + 1}} {\ sqrt {G}}}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} [{\ tfrac {1} {6}} \ pi; {\ text {e}} ^ {- \ pi}] = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt [{3}] {2}} {\ sqrt [{3}] {{\ sqrt [{4}] {108}} + {\ sqrt {3}} + 1}} {\ sqrt {G}} }$

Эти отношения симметрии применяются к функциям, ϑ₀₁ и ϑ₁₀:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x; c) = \ vartheta _ {00} (- x; c) = \ vartheta _ {00} (x + \ pi; c)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (x; c) = \ vartheta _ {01} (- x; c) = \ vartheta _ {01} (x + \ pi; c)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (x; c) = \ vartheta _ {10} (- x; c) = - \ vartheta _ {10} (x + \ pi; c)}$

Для функций ϑ₀₀ и ϑ₀₁ относительно друг друга применяется следующая симметрия:

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x; c) = \ vartheta _ {01} ({\ tfrac {1} {2}} \ pi -x; c)}$

Noment Transformations

Следующие формулы используются для преобразования эллиптического существительного :

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x; c ^ {2}) = \ vartheta _ {00} (c) ^ {- 1/2} \ vartheta _ {01} (c) ^ {- 1/2 } \ vartheta _ {00} ({\ tfrac {1} {2}} x + {\ tfrac {1} {4}} \ pi; c) \ vartheta _ {00} ({\ tfrac {1} {2 }} x - {\ tfrac {1} {4}} \ pi; c)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (x; c ^ {2}) = \ vartheta _ {00} (c) ^ {- 1/2} \ vartheta _ {01} (c) ^ {- 1/2 } \ vartheta _ {00} ({\ tfrac {1} {2}} x; c) \ vartheta _ {01} ({\ tfrac {1} {2}} x; c)}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {00} (x; c ^ {1/2}) = [\ vartheta _ {00} (c) ^ {2} + \ vartheta _ {10} (c) ^ {2}] ^ {- 1/2} [\ vartheta _ {00} (x; c) ^ {2} + \ vartheta _ {10} (x; c) ^ {2}]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {01} (x; c ^ {1/2}) = [\ vartheta _ {00} (c) ^ {2} - \ vartheta _ {10} (c) ^ {2}] ^ {- 1/2} [\ vartheta _ {00} (x; c) ^ {2} - \ vartheta _ {10} (x; c) ^ {2}]}$

${\ displaystyle \ vartheta _ {10} (x; c ^ {1/2}) = 2 ^ {1/2} \ vartheta _ {10} (c) ^ {- 1/2} \ vartheta _ {00} (c) ^ {- 1/2} \ vartheta _ {10} (x; c) \ vartheta _ {00} (x; c)}$

Производные

Как решения уравнения теплопроводности тета-функции обладают следующими свойствами:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v ^ {2}}} \ vartheta _ {10} (v; w) = - 4w {\ frac {\ partial} {\ partial w} } \ vartheta _ {10} (v; w)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v ^ {2}}} \ vartheta _ {00} (v; w) = - 4w {\ frac {\ partial} {\ partial w} } \ vartheta _ {00} (v; w)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v ^ {2}}} \ vartheta _ {01} (v; w) = - 4w {\ frac {\ partial} {\ partial w} } \ vartheta _ {01} (v; w)}$

Производные тета-нулевых функций следующие:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vartheta _ {10} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi x}} \ vartheta _ {10 } (x) \ vartheta _ {00} (x) ^ {2} E {\ biggl [} {\ frac {\ vartheta _ {10} (x) ^ {2}} {\ vartheta _ {00} (x ) ^ {2}}} {\ biggr]}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vartheta _ {00} (x) = \ vartheta _ {00} (x) [\ vartheta _ {00} (x ) ^ {2} + \ vartheta _ {01} (x) ^ {2}] {\ biggl \ {} {\ frac {1} {2 \ pi x}} E {\ biggl [} {\ frac {\ vartheta _ {00} (x) ^ {2} - \ vartheta _ {01} (x) ^ {2}} {\ vartheta _ {00} (x) ^ {2} + \ vartheta _ {01} (x ) ^ {2}}} {\ biggr]} - {\ frac {\ vartheta _ {01} (x) ^ {2}} {4x}} {\ biggr \}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ vartheta _ {01} (x) = - \ vartheta _ {01} (x) [\ vartheta _ {00} ( x) ^ {2} + \ vartheta _ {01} (x) ^ {2}] {\ biggl \ {} {\ frac {1} {2 \ pi x}} E {\ biggl [} {\ frac { \ vartheta _ {00} (x) ^ {2} - \ vartheta _ {01} (x) ^ {2}} {\ vartheta _ {00} (x) ^ {2} + \ vartheta _ {01} ( x) ^ {2}}} {\ biggr]} - {\ frac {\ vartheta _ {00} (x) ^ {2}} {4x}} {\ biggr \}}}$

Здесь E (ε) - полный эллиптический интеграл второго рода. Этот интеграл E (ε) называет отношение четверти окружности к большой полуоси эллипса со значением ε как удельный эксцентриситет. Производные частных от двух из трех упомянутых здесь тета-функций всегда имеют рациональное отношение к этим трем функциям:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ vartheta _ {10} (x)} {\ vartheta _ {00} (x)}} = { \ frac {\ vartheta _ {10} (x) \ vartheta _ {01} (x) ^ {4}} {4x \ vartheta _ {00} (x)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} {\ frac {\ vartheta _ {01} (x)} {\ vartheta _ {00} (x)}} = { \ frac {\ vartheta _ {01} (x) ^ {5} - \ vartheta _ {00} (x) ^ {4} \ vartheta _ {01} (x)} {4x \ vartheta _ {00} (x )}}}$

Примеры применения для серийных разработок

Бесконечная сумма обратных значений нечетных чисел Фибоначчи :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {2n-1}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ operatorname {six} [(n - {\ tfrac {1} {2}}) \ operatorname {arcosh} ({\ tfrac {3} {2}})] = {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ sum _ {a = - \ infty} ^ {\ infty} \ operatorname {six} [(a + {\ tfrac {1} {2}}) \ operatorname { arcosh} ({\ tfrac {3} {2}})] =}$

${\ displaystyle = {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {2} = {\ frac {\ sqrt {5}} {\ pi}} {\ sqrt {\ lambda ^ {*} [16 \, \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2}]}} K \ {\ lambda ^ {*} [16 \, \ pi ^ {- 2} \ ln (\ Phi) ^ {2}] \}}$

Здесь Φ = [sqrt (5) +1] / 2 - золотое число.

Бесконечная сумма обратных значений квадратов чисел Фибоначчи:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {F_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {5} {12}} \ vartheta _ {10} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} - {\ frac {5} {24}} \ vartheta _ {00} (\ Phi ^ {- 2}) ^ {4} + {\ frac {5} {24}}}$

Бесконечная сумма обратных значений нечетных чисел Пелла :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {P_ {2n-1}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ vartheta _ { 10} [({\ sqrt {2}} - 1) ^ {2}] ^ {2}}$

Смотри тоже

• Тета-функция Рамануджана

литература

• Шриниваса Рамануджан : Модульные уравнения и приближения к π. Кварта. J. Pure. Прил. Math. 45 , 350-372, 1913-1914.
• Адольф Кразер : Учебник тета-функций . Б.Г. Тойбнер, Лейпциг, 1903 г.
• Милтон Абрамовиц , Ирен Стегун : Справочник по математическим функциям . Довер, Нью-Йорк, 1972 г .; С. 576 .
• Том М. Апостол : Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Springer-Verlag, Нью-Йорк 1990, ISBN 0-387-97127-0
• Адольф Гурвиц : Лекции по общей теории функций и эллиптическим функциям . Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк 2000, ISBN 3-540-63783-4
• Дейл Хусемёллер : Эллиптические кривые . Springer Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк 2004, ISBN 0-387-95490-2
• Макс Кохер и Алоис Криг : Эллиптические функции и модульные формы . 2-е издание. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк 2007, ISBN 3-540-63744-3
• Рейнхольд Реммерт : теория функций I. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1989, ISBN 3-540-51238-1
• Дэвид Мамфорд Тата читает лекции о тете . Том 1. Издание 3-е. Springer Verlag 1994 (всего три тома)
• Джун-Ити Игуса Тета-функции . Основы математических наук. Springer Verlag, 1972 год.
• Эллиптические модульные функции Бруно Шенеберга . Основы математических наук. Springer Verlag, 1974 (глава 9, серия Theta )
• Гарри Раух , Тета-функции Хершеля Фаркаса с приложениями к римановым поверхностям . Уильямс и Уилкинс, Балтимор, 1974 г.
• Фаркаш, Ирвин Кра Римановы поверхности . Спрингер Верлаг, Тексты для выпускников по математике, 1980 г. (глава 6)
• Макс Кохер , Алоис Криг : Эллиптические функции и модульные формы . 2-е издание. Springer-Verlag, Берлин (2007), ISBN 978-3-540-49324-2
• Уиттакер, ET и Уотсон, GN: Курс современного анализа, 4-е изд. Кембридж, Англия: Cambridge University Press, 1990. стр. 469-470.
• Шмидт, Макси Д .: Преобразования производящей функции квадратного ряда. Атланта, Джорджия, США, 2017. стр. Шестой
• Йи, Джинхи: тождества тета-функции и явные формулы для тэта-функции и их приложения . Пусанский университет (부산 대학교), Южная Корея, 2004 г.

веб ссылки

• Тета-функции в цифровой библиотеке математических функций NIST
• Эрик В. Вайсштейн : Тета-функции Якоби . В: MathWorld (английский).

Индивидуальные доказательства

1. ^ Теория эллиптических функций, полученная из свойств ряда тета, разработка лекции Карла Вильгельма Борхардта 1838. В: Якоби: Верке , Том 1, 1881 (редактор Борхардт, Карл Вейерштрасс ), стр. 497-538
2. ^ Карл Людвиг Зигель : Лекции по теории сложных функций . Том 2. Wiley-Interscience, 1971, стр. 163.
3. ↑ Эрик В. Вайсштейн: Тета-функции Якоби. Достигано 2 августа 2021 . 
4. ^ Производная тета-функции Якоби: Введение в тета-функции Якоби. Проверено 18 июля 2021 года . 
5. ↑ Эрик В. Вайсштейн: Рамануджановские g- и G-функции. Проверено 18 июля 2021 года . 
6. ↑ Эрик В. Вайстейн: Эта функция Дедекинда. Проверено 18 июля 2021 года . 
7. ↑ Тета-функции и явные формулы для тета-функции и их приложения . В: Журнал математического анализа и приложений . Лента 292 , нет. 2 , 15 апреля 2004 г., ISSN  0022-247X , стр. 381-400 , DOI : 10.1016 / j.jmaa.2003.12.009 ( sciencedirect.com [обращались 21 июля 2021]). 
8. ^ Таблица бесконечных произведений Бесконечные суммы Бесконечные серии Эллиптическая тета. Проверено 9 августа 2021 года . 
9. ↑ Эрик В. Вайсштейн: Эллиптическая альфа-функция. Достигано 4 августа 2021 .