Subharmonisk funktion - Subharmonic function

${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ overline {B (x, r)}}}$

${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ overline {B (x, r)}}}$

${\ displaystyle B (x, r)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ partial B (x, r)}$

${\ displaystyle B (x, r)}$

${\ displaystyle \ varphi (y) \ leq h (y)}$

${\ displaystyle y \ i B (x, r).}$

Bemærk, at ved ovenstående er den funktion, der er identisk −∞, subharmonisk, men nogle forfattere udelukker denne funktion pr. Definition.

En funktion kaldes

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle -u}$

Ejendomme

• En funktion er harmonisk, hvis og kun hvis den er både subharmonisk og superharmonisk.
• Hvis er

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ Delta \ phi \ geq 0}$

${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ Delta}$

Grænsen for en faldende sekvens af subharmoniske funktioner er subharmonisk (eller identisk lig med ).${\ displaystyle - \ infty}$

Eksempler

Hvis er

${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ log | f |}$

Riesz repræsentationssætning

Hvis er subharmonisk i en region , i det

${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle \ mu}$

${\ displaystyle D}$

Subharmoniske funktioner i det komplekse plan

Subharmoniske funktioner er af særlig betydning i kompleks analyse , hvor de er tæt forbundet med holomorfe funktioner .

Man kan vise, at en real-værdsat, kontinuert funktion af en kompleks variabel (dvs. af to reelle variable) defineret på et sæt er subharmonisk hvis og kun hvis en eller lukkede skive af centrum og radius man har ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$${\ displaystyle D (z, r) \ subset G}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle r}$

$${\ displaystyle \ varphi (z) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (z + re ^ {i \ theta}) \, d \ theta.}$$

Intuitivt betyder dette, at en subharmonisk funktion på ethvert tidspunkt ikke er større end gennemsnittet af værdierne i en cirkel omkring dette punkt, en kendsgerning, der kan bruges til at udlede det maksimale princip .

Hvis er en holomorf funktion, så ${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle \ varphi (z) = \ log \ left | f (z) \ right |}$$

${\ displaystyle \ varphi (z)}$

${\ displaystyle f}$

$${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (z) = \ left | f (z) \ right | ^ {\ alpha}}$$

I forbindelse med det komplekse plan kan forbindelsen til de konvekse funktioner også realiseres ved det faktum, at en subharmonisk funktion på et domæne, der er konstant i den imaginære retning, er konveks i den rigtige retning og omvendt. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$

Harmoniske majorants af subharmoniske funktioner

Hvis er subharmonisk i et

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u \ leq h}$

${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle u}$

Subharmoniske funktioner i enhedsdisken. Radial maksimal funktion

Lad φ være subharmonisk, kontinuerlig og ikke-negativ i en åben delmængde Ω af det komplekse plan, der indeholder den lukkede enhedsskive D (0, 1). Den radiale maksimale funktion for funktionen φ (begrænset til enhedsdisken) defineres på enhedens cirkel med

$${\ displaystyle (M \ varphi) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 \ leq r <1} \ varphi (re ^ {i \ theta}).}$$

$${\ displaystyle 0 \ leq \ varphi (re ^ {i \ theta}) \ leq {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} \ left ( \ theta -t \ højre) \ varphi \ venstre (e ^ {it} \ højre) \, dt, \ \ \ r <1.}$$

$${\ displaystyle \ varphi ^ {*} (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 <\ alpha \ leq \ pi} {\ frac {1} {2 \ alpha}} \ int _ {\ theta - \ alpha} ^ {\ theta + \ alpha} \ varphi \ left (e ^ {it} \ right) \, dt,}$$

$${\ displaystyle \ | M \ varphi \ | _ {L ^ {2} (\ mathbf {T})} ^ {2} \ leq C ^ {2} \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ varphi (e ^ {i \ theta}) ^ {2} \, d \ theta.}$$

Hvis f er en funktion holomorf i Ω og 0 < p  <∞, så gælder den foregående ulighed φ  = | f  | ^{p / 2} . Det kan udledes af disse kendsgerninger, at enhver funktion F i de klassiske Hardy rum H ^p tilfredsstiller

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left (\ sup _ {0 \ leq r <1} \ left | F (re ^ {i \ theta}) \ right | \ right) ^ { p} \, d \ theta \ leq C ^ {2} \, \ sup _ {0 \ leq r <1} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | F (re ^ {i \ theta }) \ højre | ^ {p} \, d \ theta.}$$

Subharmoniske funktioner på Riemannian manifolds

Subharmoniske funktioner kan defineres på en vilkårlig Riemannian manifold .

Definition: Lad M være en Riemannian manifold og en

${\ displaystyle f: \; M \ til \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle U \ subset M}$

${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$

${\ displaystyle f_ {1} \ geq f}$

Denne definition svarer til en ovenfor angivet. Også for dobbelt differentierbare funktioner svarer subharmonicitet til uligheden , hvor er den sædvanlige

${\ displaystyle \ Delta f \ geq 0}$

${\ displaystyle \ Delta}$

Se også

• Plurisubharmonisk funktion - generalisering til flere komplekse variabler
• Klassisk fin topologi

Bemærkninger

Referencer

• Conway, John B. (1978). Funktioner af en kompleks variabel . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
• Krantz, Steven G. (1992). Funktionsteori om flere komplekse variabler . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
• Doob, Joseph Leo (1984). Klassisk potentiel teori og dens sandsynlige modstykke . Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Emner i Hardy-klasser og univalente funktioner . Birkhauser avancerede tekster: Basel-lærebøger. Basel: Birkhauser Verlag.

Denne artikel indeholder materiale fra Subharmonic og superharmonic-funktioner på PlanetMath , som er licenseret under Creative Commons Attribution / Share-Alike License .