Número triangular cuadrado - Square triangular number

Número triangular cuadrado 36 representado como un número triangular y como un número cuadrado.

En matemáticas , un número triangular cuadrado (o número cuadrado triangular ) es un número que es tanto un número triangular como un cuadrado perfecto . Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:

0, 1, 36, 1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (secuencia A001110 en la OEIS )

Fórmulas explícitas

Escribe $N k$ para el $k-$ ésimo número triangular cuadrado, y escribe $s k$ y $t k$ para los lados del cuadrado y triángulo correspondientes, de modo que

{\ Displaystyle N_ {k} = s_ {k} ^ {2} = {\ frac {t_ {k} (t_ {k} +1)} {2}}.}

Definir la raíz triangular de un número triangular $N =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} n ( n + 1)/2$ ser $n$ . De esta definición y la fórmula cuadrática,

{\ Displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {8N + 1}} - 1} {2}}.}

Por lo tanto, $N$ es triangular ( $n$ es un número entero) si y solo si $8 N + 1$ es cuadrado. En consecuencia, un número cuadrado $M 2$ también es triangular si y sólo si $8 M 2 + 1$ es cuadrada, que es, hay un número $x$ y $Y$ de tal manera que $x 2 - 8 y 2 = 1$ . Este es un ejemplo de la ecuación de Pell con $n = 8$ . Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial $x = 1, y = 0$ para cualquier $n$ ; esto se llama solución cero y se indexa como $(x 0, y 0) = (1,0)$ . Si $(x k, y k)$ denota la $k-$ ésima solución no trivial de cualquier ecuación de Pell para un $n$ particular , se puede demostrar por el método de descenso que

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x_ {k + 1} & = 2x_ {k} x_ {1} -x_ {k-1}, \\ y_ {k + 1} & = 2y_ {k} x_ {1 } -y_ {k-1}. \ end {alineado}}}

Por tanto, hay una infinidad de soluciones para cualquier ecuación de Pell para la que hay una no trivial, que se cumple siempre que $n$ no es un cuadrado. La primera solución no trivial cuando $n = 8$ es fácil de encontrar: es (3,1). Una solución $(x k, y k)$ a la ecuación de Pell para $n = 8$ produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares de la siguiente manera:

{\ Displaystyle s_ {k} = y_ {k}, \ quad t_ {k} = {\ frac {x_ {k} -1} {2}}, \ quad N_ {k} = y_ {k} ^ {2 }.}

Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de (3,1), es 1, y el siguiente, derivado de 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6) , es 36.

Las secuencias de $N k$ , $s k$ y $t k$ son la OEIS secuencias de OEIS : A001110 , OEIS : A001109 , y OEIS : A001108 respectivamente.

En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita

{\ Displaystyle N_ {k} = \ left ({\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ derecha) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}} \ right) ^ {2}.}

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas al expandir esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} N_ {k} & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ right) ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt { 2}} \ right) ^ {4k} -2+ \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {4k} \ right) \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ izquierda (\ left (17 + 12 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} -2+ \ left (17-12 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} \ right). \ final {alineado}}}

Las fórmulas explícitas correspondientes para $s k$ y $t k$ son:

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} s_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt { 2}} \ right) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}}, \\ t_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right ) ^ {k} + \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} -2} {4}}. \ end {alineado}}}

Ecuación de Pell

El problema de encontrar números triangulares cuadrados se reduce a la ecuación de Pell de la siguiente manera.

Cada número triangular tiene la forma $t (t + 1) / 2$ . Por lo tanto, buscamos números enteros $t$ , $s$ tales que

{\ Displaystyle {\ frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2}.}

Reorganizando, esto se convierte en

{\ Displaystyle \ left (2t + 1 \ right) ^ {2} = 8s ^ {2} +1,}

y luego dejando $x = 2 t + 1$ e $y = 2 s$ , obtenemos la ecuación diofántica

{\ Displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1,}

que es un ejemplo de la ecuación de Pell . Esta ecuación particular se resuelve con los números de Pell $P k$ como

{\ Displaystyle x = P_ {2k} + P_ {2k-1}, \ quad y = P_ {2k};}

y por lo tanto todas las soluciones vienen dadas por

{\ Displaystyle s_ {k} = {\ frac {P_ {2k}} {2}}, \ quad t_ {k} = {\ frac {P_ {2k} + P_ {2k-1} -1} {2} }, \ quad N_ {k} = \ left ({\ frac {P_ {2k}} {2}} \ right) ^ {2}.}

Hay muchas identidades sobre los números Pell, y estos se traducen en identidades sobre los números triangulares cuadrados.

Relaciones de recurrencia

Existen relaciones de recurrencia para los números triangulares cuadrados, así como para los lados del cuadrado y del triángulo involucrados. Tenemos

{\ displaystyle {\ begin {align} N_ {k} & = 34N_ {k-1} -N_ {k-2} +2, & {\ text {with}} N_ {0} & = 0 {\ text { y}} N_ {1} = 1; \\ N_ {k} & = \ left (6 {\ sqrt {N_ {k-1}}} - {\ sqrt {N_ {k-2}}} \ right) ^ {2}, & {\ text {con}} N_ {0} & = 0 {\ text {y}} N_ {1} = 1. \ End {alineado}}}

Tenemos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} s_ {k} & = 6s_ {k-1} -s_ {k-2}, & {\ text {with}} s_ {0} & = 0 {\ text {and} } s_ {1} = 1; \\ t_ {k} & = 6t_ {k-1} -t_ {k-2} +2, & {\ text {with}} t_ {0} & = 0 {\ text {y}} t_ {1} = 1. \ end {alineado}}}

Otras caracterizaciones

Todos los números triangulares cuadrados tienen la forma $b 2 c 2$ , donde $B / C$ es convergente a la expansión fraccionaria continua de √ 2 .

AV Sylwester dio una breve prueba de que hay una infinidad de números triangulares cuadrados: Si el $n-$ ésimo número triangular $n (n + 1) / 2$ es cuadrado, entonces también lo es el número triangular $4 n (n + 1) más$ grande, ya que:

{\ Displaystyle {\ frac {{\ bigl (} 4n (n + 1) {\ bigr)} {\ bigl (} 4n (n + 1) +1 {\ bigr)}} {2}} = 4 \, {\ frac {n (n + 1)} {2}} \, \ left (2n + 1 \ right) ^ {2}.}

Como producto de tres cuadrados, el lado derecho es cuadrado. Las raíces triangulares $t k$ son simultáneamente una menos que un cuadrado y dos veces un cuadrado si $k$ es par, y simultáneamente un cuadrado y una menos que dos veces por cuadrado si $k$ es impar. Por lo tanto,

49 = 7 ² = 2 × 5 ^2-1 ,

288 = 17 ² - 1 = 2 × 12 ² , y

1681 = 41 ² = 2 × 29 ^2-1 .

En cada caso, las dos raíces cuadradas involucradas se multiplican para dar $s k$ : 5 × 7 = 35 , 12 × 17 = 204 y 29 × 41 = 1189 .

Adicionalmente:

{\ Displaystyle N_ {k} -N_ {k-1} = s_ {2k-1};}

36 - 1 = 35 , 1225 - 36 = 1189 y 41616 - 1225 = 40391 . En otras palabras, la diferencia entre dos números triangulares cuadrados consecutivos es la raíz cuadrada de otro número triangular cuadrado.

La función generadora de los números triangulares cuadrados es:

{\ displaystyle {\ frac {1 + z} {(1-z) \ left (z ^ {2} -34z + 1 \ right)}} = 1 + 36z + 1225z ^ {2} + \ cdots}

Datos numéricos

A medida que $k$ aumenta, la relación $t k / s k$ enfoques √ 2 ≈ 1.414 213 56 , y la razón de los sucesivos números cuadrados triangulares se aproxima a (1 + √ 2 ) ⁴ = 17 + 12 √ 2 ≈ 33.970 562 748 . La siguiente tabla muestra valores de $k$ entre 0 y 11, que comprenden todos los números triangulares cuadrados hasta10 ¹⁶ .

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.333 333 33	36
3	1 225	35	49	1.4	34.027 777 778
4	41 616	204	288	1.411 764 71	33.972 244 898
5	1 413 721	1 189	1 681	1.413 793 10	33.970 612 265
6	48 024 900	6 930	9 800	1.414 141 41	33.970 564 206
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1.414 201 18	33.970 562 791
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1.414 211 44	33.970 562 750
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1.414 213 20	33.970 562 749
10	63 955 431 761 796	7 997 214	11 309 768	1.414 213 50	33.970 562 748
11	2 172 602 007 770 041	46 611 179	65 918 161	1.414 213 55	33.970 562 748

Ver también

Problema de bala de cañón , en números que son simultáneamente cuadrados y piramidales cuadrados
Sexta potencia , números que son simultáneamente cuadrados y cúbicos

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