Número triangular quadrado - Square triangular number

Número triangular quadrado 36 representado como um número triangular e como um número quadrado.

Em matemática , um número triangular quadrado (ou número quadrado triangular ) é um número que é tanto um número triangular quanto um quadrado perfeito . Existem infinitos números triangulares quadrados; os primeiros são:

0, 1, 36, 1225 ,41 616 ,1 413 721 ,48 024 900 ,1 631 432 881 ,55 420 693 056 ,1 882 672 131 025 (sequência A001110 no OEIS )

Fórmulas explícitas

Escreva N _k para o k ésimo número triangular quadrado e escreva s _k e t _k para os lados do quadrado e triângulo correspondentes, de modo que

${\ displaystyle N_ {k} = s_ {k} ^ {2} = {\ frac {t_ {k} (t_ {k} +1)} {2}}.}$

Defina a raiz triangular de um número triangular N = n ( n + 1)/2ser n . A partir desta definição e da fórmula quadrática,

${\ displaystyle n = {\ frac {{\ sqrt {8N + 1}} - 1} {2}}.}$

Portanto, N é triangular ( n é um inteiro) se e somente se 8 N + 1 for quadrado. Consequentemente, um número quadrado H ² também é triangular e, se apenas se 8 M ² + 1 é quadrado, ou seja, há números x e y tais que x ² - 8 y ² = 1 . Esta é uma instância da equação de Pell com n = 8 . Todas as equações de Pell têm a solução trivial x = 1, y = 0 para qualquer n ; isso é chamado de solução _zero e indexado como ( x ₀ , y ₀ ) = (1,0) . Se ( x _k , y _k ) denota a k ésima solução não trivial para qualquer equação de Pell para um n particular , pode ser mostrado pelo método de descida que

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x_ {k + 1} & = 2x_ {k} x_ {1} -x_ {k-1}, \\ y_ {k + 1} & = 2y_ {k} x_ {1 } -y_ {k-1}. \ end {alinhado}}}$

Portanto, há uma infinidade de soluções para qualquer equação de Pell para a qual existe uma não trivial, que vale sempre que n não é um quadrado. A primeira solução não trivial quando n = 8 é fácil de encontrar: é (3,1). Uma solução ( x _k , y _k ) para a equação de Pell para n = 8 produz um número triangular quadrado e suas raízes quadradas e triangulares da seguinte forma:

${\ displaystyle s_ {k} = y_ {k}, \ quad t_ {k} = {\ frac {x_ {k} -1} {2}}, \ quad N_ {k} = y_ {k} ^ {2 }.}$

Portanto, o primeiro número triangular quadrado, derivado de (3,1), é 1, e o próximo, derivado de 6 × (3,1) - (1,0) = (17,6) , é 36.

As sequências N _k , s _k e t _k são o OEIS sequências OEIS :  A001110 , OEIS :  A001109 , e OEIS :  A001108 respectivamente.

Em 1778 Leonhard Euler determinou a fórmula explícita

${\ displaystyle N_ {k} = \ left ({\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ direita) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}} \ direita) ^ {2}.}$

Outras fórmulas equivalentes (obtidas expandindo esta fórmula) que podem ser convenientes incluem

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} N_ {k} & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} - \ left (1 - {\ sqrt {2}} \ right) ^ {2k} \ right) ^ {2} \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ left (\ left (1 + {\ sqrt { 2}} \ direita) ^ {4k} -2+ \ esquerda (1 - {\ sqrt {2}} \ direita) ^ {4k} \ direita) \\ & = {\ tfrac {1} {32}} \ esquerda (\ esquerda (17 + 12 {\ sqrt {2}} \ direita) ^ {k} -2+ \ esquerda (17-12 {\ sqrt {2}} \ direita) ^ {k} \ direita). \ fim {alinhado}}}$

As fórmulas explícitas correspondentes para s _k e t _k são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} s_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} - \ left (3-2 {\ sqrt { 2}} \ right) ^ {k}} {4 {\ sqrt {2}}}}, \\ t_ {k} & = {\ frac {\ left (3 + 2 {\ sqrt {2}} \ right ) ^ {k} + \ left (3-2 {\ sqrt {2}} \ right) ^ {k} -2} {4}}. \ end {alinhado}}}$

Equação de Pell

O problema de encontrar números triangulares quadrados se reduz à equação de Pell da seguinte maneira.

Cada número triangular tem a forma t ( t + 1)/2. Portanto, buscamos inteiros t , s tais que

${\ displaystyle {\ frac {t (t + 1)} {2}} = s ^ {2}.}$

Reorganizando, isso se torna

${\ displaystyle \ left (2t + 1 \ right) ^ {2} = 8s ^ {2} +1,}$

e em seguida, deixando x = 2 t + 1 e y = 2 s , obtemos a equação Diophantine

${\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1,}$

que é uma instância da equação de Pell . Esta equação particular é resolvida pelos números Pell P _k como

${\ displaystyle x = P_ {2k} + P_ {2k-1}, \ quad y = P_ {2k};}$

e, portanto, todas as soluções são dadas por

${\ displaystyle s_ {k} = {\ frac {P_ {2k}} {2}}, \ quad t_ {k} = {\ frac {P_ {2k} + P_ {2k-1} -1} {2} }, \ quad N_ {k} = \ left ({\ frac {P_ {2k}} {2}} \ right) ^ {2}.}$

Existem muitas identidades sobre os números de Pell, e elas se traduzem em identidades sobre os números triangulares quadrados.

Relações de recorrência

Existem relações de recorrência para os números triangulares quadrados, bem como para os lados do quadrado e do triângulo envolvidos. Nós temos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} N_ {k} & = 34N_ {k-1} -N_ {k-2} +2, & {\ text {with}} N_ {0} & = 0 {\ text { e}} N_ {1} = 1; \\ N_ {k} & = \ left (6 {\ sqrt {N_ {k-1}}} - {\ sqrt {N_ {k-2}}} \ right) ^ {2}, & {\ text {with}} N_ {0} & = 0 {\ text {and}} N_ {1} = 1. \ End {alinhados}}}$

Nós temos

${\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} & = 6s_ {k-1} -s_ {k-2}, & {\ text {with}} s_ {0} & = 0 {\ text {and} } s_ {1} = 1; \\ t_ {k} & = 6t_ {k-1} -t_ {k-2} +2, & {\ text {com}} t_ {0} & = 0 {\ text {e}} t_ {1} = 1. \ end {alinhado}}}$

Outras caracterizações

Todos os números triangulares quadrados têm a forma b ² c ² , ondeb/cé convergente para a expansão contínua da fração de √ 2 .

AV Sylwester deu uma pequena prova de que há uma infinidade de números triangulares quadrados: Se o n º número triangularn ( n + 1)/2é quadrado, então também é o maior 4 n ( n + 1) ésimo número triangular, uma vez que:

${\ displaystyle {\ frac {{\ bigl (} 4n (n + 1) {\ bigr)} {\ bigl (} 4n (n + 1) +1 {\ bigr)}} {2}} = 4 \, {\ frac {n (n + 1)} {2}} \, \ left (2n + 1 \ right) ^ {2}.}$

Como o produto de três quadrados, o lado direito é quadrado. As raízes triangulares t _k são alternadamente simultaneamente um menor que um quadrado e duas vezes um quadrado se k for par, e simultaneamente um quadrado e um menor que duas vezes um quadrado se k for ímpar. Desse modo,

49 = 7 ² = 2 × 5 ² - 1,

288 = 17 ² - 1 = 2 × 12 ² , e

1681 = 41 ² = 2 × 29 ² - 1.

Em cada caso, as duas raízes quadradas envolvidas se multiplicam para dar s _k : 5 × 7 = 35 , 12 × 17 = 204 e 29 × 41 = 1189 .

Além disso:

${\ displaystyle N_ {k} -N_ {k-1} = s_ {2k-1};}$

36 - 1 = 35 , 1225 - 36 = 1189 e 41616 - 1225 = 40391 . Em outras palavras, a diferença entre dois números triangulares quadrados consecutivos é a raiz quadrada de outro número triangular quadrado.

A função geradora para os números triangulares quadrados é:

${\ displaystyle {\ frac {1 + z} {(1-z) \ left (z ^ {2} -34z + 1 \ right)}} = 1 + 36z + 1225z ^ {2} + \ cdots}$

Dados numéricos

À medida que k se torna maior, a razãot _k/s _kaproxima-se √ 2 ≈ 1,414 213 56 , e a proporção de números triangulares quadrados sucessivos se aproxima de (1 + √ 2 ) ⁴ = 17 + 12 √ 2 ≈ 33.970 562 748 . A tabela abaixo mostra os valores de k entre 0 e 11, que abrangem todos os números triangulares quadrados até10 ¹⁶ .

k	N k	s k	t k	t k/s k	N k/N k - 1
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.333 333 33	36
3	1 225	35	49	1,4	34.027 777 778
4	41 616	204	288	1.411 764 71	33.972 244 898
5	1 413 721	1 189	1 681	1.413 793 10	33.970 612 265
6	48 024 900	6 930	9 800	1,414 141 41	33.970 564 206
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1.414 201 18	33.970 562 791
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1,414 211 44	33.970 562 750
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1,414 213 20	33.970 562 749
10	63 955 431 761 796	7 997 214	11 309 768	1,414 213 50	33.970 562 748
11	2 172 602 007 770 041	46 611 179	65 918 161	1,414 213 55	33.970 562 748

Veja também

• Problema de bala de canhão , em números que são simultaneamente quadrados e quadrados piramidais
• Sexta potência , números que são simultaneamente quadrados e cúbicos

Notas

links externos

• Números triangulares que também são quadrados no ponto de corte
• Weisstein, Eric W. "Square Triangular Number" . MathWorld .
• A solução de Michael Dummett