Modulskuffe - Sheaf of modules

I matematik er en skive af O- moduler eller simpelthen en O- modul over et ringet rum ( X , O ) en skive F, således at for enhver åben delmængde U af X er F ( U ) en O ( U ) - modulet og restriktionskortene F ( U ) →  F ( V ) er kompatible med restriktionskortene O ( U ) →  O ( V ): begrænsningen af fs er begrænsningen af f gange den for s for enhver f i O ( U ) og s i F ( U ).

Standardsagen er, når X er et skema, og O dets strukturskive. Hvis O er den konstante skive , er en skive af O- moduler den samme som en skive af abeliske grupper (dvs. en abelisk skive ). ${\ displaystyle {\ understreget {\ mathbf {Z}}}}$

Hvis X er det primære spektrum af en ring R , definerer ethvert R- modul et O _X- modul (kaldet en tilknyttet skive ) på en naturlig måde. Tilsvarende, hvis R er en gradueret ring, og X er Proj for R , definerer ethvert graderet modul et O _X- modul på en naturlig måde. O- moduler, der opstår på en sådan måde, er eksempler på kvasi-kohærente skiver , og i virkeligheden opnås alle kvasi-kohærente skiver på affine eller projicerende skemaer på denne måde.

Skiver af moduler over et ringet rum udgør en abelsk kategori . Desuden er denne kategori har nok injectives , og følgelig kan man og gør definere neg kohomologi som jeg th ret afledt functor af globale sektion functor . ${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, -)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (X, -)}$

Eksempler

• Givet en ringmærket rum ( X , O ), hvis F er en O -submodule af O , så det kaldes neg af idealer eller ideal neg af O , idet for hvert åbent delmængde U af X , F ( U ) er en ideel af ringen O ( U ).
• Lad X være et glat sortiment af dimension n . Derefter tangent neg af X er den dobbelte af cotangens neg og den kanoniske neg er n th udvendige effekt ( determinant ) af .${\ displaystyle \ Omega _ {X}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {X}}$${\ displaystyle \ Omega _ {X}}$
• En skov af algebraer er en skov af modul, der også er en skov af ringe.

Operationer

Lad ( X , O ) være et ringet rum. Hvis F og G er O- moduler, betegnes deres tensorprodukt, betegnet med

${\ displaystyle F \ otimes _ {O} G}$eller ,${\ displaystyle F \ otimes G}$

er O- modulet, der er skiven, der er knyttet til presheaf (For at se, at sheafification ikke kan undgås, skal du beregne de globale sektioner af hvor O (1) er Serres snoede skive på et projektivt rum.) ${\ displaystyle U \ mapsto F (U) \ otimes _ {O (U)} G (U).}$${\ displaystyle O (1) \ otimes O (-1) = O}$

Tilsvarende, hvis F og G er O- moduler, så

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} om_ {O} (F, G)}$

betegner O- modulet, der er skoven . Især O- modulet ${\ displaystyle U \ mapsto \ operatorname {Hom} _ {O | _ {U}} (F | _ {U}, G | _ {U})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} om_ {O} (F, O)}$

kaldes det dobbelte modul for F og betegnes med . Bemærk: for ethvert O- modul E , F er der en kanonisk homomorfisme ${\ displaystyle {\ check {F}}}$

${\ displaystyle {\ check {E}} \ otimes F \ to {\ mathcal {H}} om_ {O} (E, F)}$,

hvilket er en isomorfisme, hvis E er en lokalt fri skov af endelig rang. Især hvis L er lokalt fri for rang 1 (sådan L kaldes en inverterbar skive eller en linjebundt ), så lyder dette:

${\ displaystyle {\ check {L}} \ otimes L \ simeq O,}$

antyder isomorfisme klasser af invertible skiver danner en gruppe. Denne gruppe kaldes Picard gruppe af X og canonically identificeret med den første cohomology gruppe (ved standard argument med Čech cohomology ). ${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} ^ {*})}$

Hvis E er en lokalt fri skive af begrænset rang, er der et O- lineært kort givet af parringen; det kaldes spor kortet over E . ${\ displaystyle {\ check {E}} \ otimes E \ simeq \ operatorname {End} _ {O} (E) \ to O}$

For enhver O -modul F , den tensor algebra , udvendig algebra og symmetrisk algebra af F er defineret på samme måde. For eksempel den k- th udvendige kraft

${\ displaystyle \ bigwedge ^ {k} F}$

er skoven forbundet med presheaf . Hvis F er lokalt fri for rang n , kaldes den determinant linjebundt (dog teknisk inverterbar skive ) af F , betegnet med det ( F ). Der er en naturlig perfekt parring: ${\ textstyle U \ mapsto \ bigwedge _ {O (U)} ^ {k} F (U)}$${\ textstyle \ bigwedge ^ {n} F}$

${\ displaystyle \ bigwedge ^ {r} F \ otimes \ bigwedge ^ {nr} F \ to \ det (F).}$

Lad f : ( X , O ) → ( X ' , O ' ) være en morfisme af ringede rum. Hvis F er en O- modul, er den direkte billedskive en O ' -modul gennem det naturlige kort O ' → f _* O (sådan et naturligt kort er en del af dataene for en morfisme af ringede rum.) ${\ displaystyle f _ {*} F}$

Hvis G er en O ' -modul, så modulet omvendte billede af G er O -modul givet som tensor produkt af moduler: ${\ displaystyle f ^ {*} G}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} G \ otimes _ {f ^ {- 1} O '} O}$

hvor er den omvendte billedskive af G og opnås ved hjælp af adjution . ${\ displaystyle f ^ {- 1} G}$${\ displaystyle f ^ {- 1} O '\ til O}$${\ displaystyle O '\ til f _ {*} O}$

Der er en sammenhængende relation mellem og : for ethvert O- modul F og O ' -modul G , ${\ displaystyle f _ {*}}$${\ displaystyle f ^ {*}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {O} (f ^ {*} G, F) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {O '} (G, f _ {*} F)}$

som abelsk gruppe. Der er også projektionsformlen : for et O- modul F og et lokalt frit O ' -modul E af endelig rang,

${\ displaystyle f _ {*} (F \ otimes f ^ {*} E) \ simeq f _ {*} F \ otimes E.}$

Ejendomme

Lad ( X , O ) være et ringet rum. En O- modul F siges at være genereret af globale sektioner, hvis der er en afvisning af O- moduler:

${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ i I} O \ til F \ til 0.}$

Eksplicit betyder dette, at der er globale sektioner s _i af F således at billederne af s _I i hver stilk F _x genererer F _x som O _x -modul.

Et eksempel på en sådan skive er den, der er forbundet i algebraisk geometri til en R- modul M , hvor R er en hvilken som helst kommutativ ring , på spektret af en ring Spec ( R ). Et andet eksempel: ifølge Cartans sætning A spændes enhver sammenhængende skive på en Stein-manifold af globale sektioner. (jf. Serres sætning A nedenfor.) I teorien om skemaer er en beslægtet forestilling rigelig linjebundt . (For eksempel, hvis L er et rigeligt linjebundt, genereres noget af det af globale sektioner.)

Et injektions O- modul er flasque (dvs. alle restriktionskort F ( U ) → F ( V ) er overvejende.) Da en flaskeskive er acyklisk i kategorien abeliske skiver, betyder det, at den i- th højre afledte funktion af den globale sektionsfunktion i kategorien O- moduler falder sammen med den sædvanlige i- skovs kohomologi i kategorien abeliske skove . ${\ displaystyle \ Gamma (X, -)}$

Skive tilknyttet et modul

Lad være et modul over en ring . Sæt og skriv . For hvert par er der et naturligt kort ved den universelle egenskab ved lokalisering ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X = \ mathrm {Spec} (A)}$${\ displaystyle D (f) = \ {f \ neq 0 \} = \ operatorname {Spec} (A [f ^ {- 1}])}$${\ displaystyle D (f) \ subseteq D (g)}$

${\ displaystyle \ rho _ {g, f}: M [g ^ {- 1}] \ til M [f ^ {- 1}]}$

har ejendommen det . Derefter ${\ displaystyle \ rho _ {g, f} = \ rho _ {g, h} \ circ \ rho _ {h, f}}$

${\ displaystyle D (f) \ mapsto M [f ^ {- 1}]}$

er en kontravariant funktor fra den kategori, hvis objekter er sæt D ( f ) og morfismer indeslutningen af ​​sæt til kategorien af ​​abeliske grupper . Man kan vise det er i virkeligheden et B-neg (dvs. det opfylder limningen aksiom) og således definerer neg på X kaldes neg forbundet til M . ${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$

Det mest basale eksempel er strukturskiven på X ; dvs . Desuden har strukturen af -modul, og man får således den nøjagtige funktor fra Mod _A , kategorien af ​​moduler over A til kategorien af ​​moduler over . Det definerer en ækvivalens fra Mod _A til kategorien af kvasiskohærente skiver på X , med den omvendte , den globale sektionsfunktion . Når X er Noetherian , den functor er en ækvivalens fra den kategori af endeligt genereret A -modules til den kategori af sammenhængende neg på X . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ widetilde {A}}}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ widetilde {A}}}$ ${\ displaystyle M \ mapsto {\ widetilde {M}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle \ Gamma (X, -)}$

Konstruktionen har følgende egenskaber: for alle A- moduler M , N ,

• ${\ displaystyle M [f ^ {- 1}] ^ {\ sim} = {\ widetilde {M}} | _ {D (f)}}$.
• For ethvert primærideal p af A , som O _p = A _p- modul.${\ displaystyle {\ widetilde {M}} _ {p} \ simeq M_ {p}}$
• ${\ displaystyle (M \ otimes _ {A} N) ^ {\ sim} \ simeq {\ widetilde {M}} \ otimes _ {\ widetilde {A}} {\ widetilde {N}}}$.
• Hvis M er endeligt præsenteret , .${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {A} (M, N) ^ {\ sim} \ simeq {\ mathcal {H}} om _ {\ widetilde {A}} ({\ widetilde {M}}, {\ widetilde {N}})}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {A} (M, N) \ simeq \ Gamma (X, {\ mathcal {H}} om _ {\ widetilde {A}} ({\ widetilde {M}}, {\ widetilde {N}}))}$Da ækvivalens mellem Mod _A og den kategori af kvasi-kohærente neg på X .
• ${\ displaystyle (\ varinjlim M_ {i}) ^ {\ sim} \ simeq \ varinjlim {\ widetilde {M_ {i}}}}$; især at tage et direkte beløb og ~ pendle.

Skive tilknyttet et klassificeret modul

Der er en klassificeret analog af konstruktionen og ækvivalensen i det foregående afsnit. Lad R være en gradueret ring genereret af grad-én elementer som R ₀ -algebra ( R ₀ midler stykket grad nul) og M en gradueret R -modul. Lad X være Proj for R (så X er et projektivt skema, hvis R er Noetherian). Så er der et O- modul, således at der for ethvert homogent element f af positiv grad af R er en naturlig isomorfisme ${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {M}} | _ {\ {f \ neq 0 \}} \ simeq (M [f ^ {- 1}] _ {0}) ^ {\ sim}}$

som skiver af moduler på affine-ordningen ; faktisk definerer dette ved limning. ${\ displaystyle \ {f \ neq 0 \} = \ operatorname {Spec} (R [f ^ {- 1}] _ {0})}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}}}$

Eksempel : Lad R (1) være det graduerede R -modul afgivet R (1) _n = R _{n +1} . Derefter kaldes Serres vridningsskive , som er det dobbelte af den tautologiske linjebund, hvis R genereres endeligt i grad 1. ${\ displaystyle O (1) = {\ widetilde {R (1)}}}$

Hvis F er et O- modul på X , så er der en kanonisk homomorfisme ved skrivning : ${\ displaystyle F (n) = F \ otimes O (n)}$

${\ displaystyle \ left (\ bigoplus _ {n \ geq 0} \ Gamma (X, F (n)) \ right) ^ {\ sim} \ to F,}$,

hvilket er en isomorfisme, hvis og kun hvis F er kvasiskoherent.

Beregning af skovkohomologi

Sheaf cohomology har ry for at være vanskelig at beregne. På grund af dette er den næste generelle kendsgerning grundlæggende for enhver praktisk beregning:

Serre sætning A bestemmer, at hvis X er en projektiv sort og F en sammenhængende neg på det, og derefter, for tilstrækkeligt store n , F ( n ) er genereret af endelig mange globale sektioner. I øvrigt,

1. For hver i , H ⁱ ( X , F er) finitely genereret over R ₀ , og
2. ( Serres sætning B ) Der er et heltal n ₀ , afhængigt af F , sådan at
   $${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, F (n)) = 0, \, i \ geq 1, n \ geq n_ {0}.}$$

   

Udvidelse af skoven

Lad ( X , O ) være et omgivet rum, og lad F , H være neg af O -modules på X . En forlængelse af H med F er en kort nøjagtig sekvens af O- moduler

${\ displaystyle 0 \ rightarrow F \ rightarrow G \ rightarrow H \ rightarrow 0.}$

Som med gruppeudvidelser, hvis vi fikser F og H , danner alle ækvivalensklasser af udvidelser af H ved F en abelisk gruppe (jf. Baer-summen ), som er isomorf til Ext-gruppen , hvor identitetselementet svarer til det trivielle udvidelse. ${\ displaystyle \ mathrm {Ext} _ {O} ^ {1} (H, F)}$${\ displaystyle \ mathrm {Ext} _ {O} ^ {1} (H, F)}$

I det tilfælde hvor H er O , har vi: for enhver i ≥ 0,

${\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {i} (X, F) = \ mathrm {Ext} _ {O} ^ {i} (O, F),}$

da begge sider er de rigtige afledte funktioner for den samme funktor ${\ displaystyle \ Gamma (X, -) = \ operatorname {Hom} _ {O} (O, -).}$

Bemærk : Nogle forfattere, især Hartshorne, smid sænket O .

Antag, at X er en projektiv ordning over en Noetherian-ring. Lad F , G være kohærente skiver på X og i et heltal. Så findes der n ₀ sådan, at

${\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {O} ^ {i} (F, G (n)) = \ Gamma (X, {\ mathcal {E}} xt_ {O} ^ {i} (F, G ( n))), \, n \ geq n_ {0}}$.

Lokalt gratis opløsninger

${\ displaystyle {\ mathcal {Ext}} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}})}$kan let beregnes for enhver sammenhængende skive ved hjælp af en lokal fri opløsning: givet et kompleks ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ cdots \ til {\ mathcal {L}} _ {2} \ til {\ mathcal {L}} _ {1} \ til {\ mathcal {L}} _ {0} \ til {\ mathcal { F}} \ til 0}$

derefter

${\ displaystyle {\ mathcal {RHom}} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) = {\ mathcal {Hom}} ({\ mathcal {L}} _ {\ bullet}, { \ mathcal {G}})}$

dermed

${\ displaystyle {\ mathcal {Ext}} ^ {k} ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {G}}) = h ^ {k} ({\ mathcal {Hom}} ({\ mathcal { L}} _ {\ bullet}, {\ mathcal {G}}))}$

Eksempler

Overflade

Overvej en glat overflade af grad . Derefter kan vi beregne en opløsning ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- d) \ til {\ mathcal {O}}}$

og find det

${\ displaystyle {\ mathcal {Ext}} ^ {i} ({\ mathcal {O}} _ {X}, {\ mathcal {F}}) = h ^ {i} ({\ mathcal {Hom}} ( {\ mathcal {O}} (- d) \ til {\ mathcal {O}}, {\ mathcal {F}}))}$

Union af glatte komplette kryds

Overvej ordningen

${\ displaystyle X = {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {(f) (g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}} \ højre) \ subseteq \ mathbb {P} ^ {n}}$

hvor er en glat komplet kryds og , . Vi har et kompleks ${\ displaystyle (f, g_ {1}, g_ {2}, g_ {3})}$${\ displaystyle \ deg (f) = d}$${\ displaystyle \ deg (g_ {i}) = e_ {i}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (- d-e_ {1} -e_ {2} -e_ {3}) {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} g_ {3} \\ - g_ {2} \ \ -g_ {1} \ end {bmatrix}}} {\ begin {matrix} {\ mathcal {O}} (- d-e_ {1} -e_ {2}) \\\ oplus \\ {\ mathcal { O}} (- d-e_ {1} -e_ {3}) \\\ oplus \\ {\ mathcal {O}} (- d-e_ {2} -e_ {3}) \ end {matrix}} {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} g_ {2} & g_ {3} & 0 \\ - g_ {1} & 0 & -g_ {3} \\ 0 & -g_ {1} & g_ {2} \ end {bmatrix}}} {\ begin {matrix} {\ mathcal {O}} (- d-e_ {1}) \\\ oplus \\ {\ mathcal {O}} (- d-e_ {2}) \\\ oplus \\ {\ mathcal {O}} (- d-e_ {3}) \ end {matrix}} {\ xrightarrow {\ begin {bmatrix} fg_ {1} & fg_ {2} & fg_ {3} \ end {bmatrix}}} {\ mathcal {O}}}$

løsning, som vi kan bruge til at beregne . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X},}$${\ displaystyle {\ mathcal {Ext}} ^ {i} ({\ mathcal {O}} _ {X}, {\ mathcal {F}})}$

Se også

• D-modul (i stedet for O kan man også overveje D , skiven af ​​differentielle operatører.)
• fraktioneret ideal
• holomorfe vektor bundt
• generisk frihed

Bemærkninger

Referencer

• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publikationer Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . MR  0217083 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157