Split Lie algebra - Split Lie algebra

Løgnegrupper
Klassiske grupper
Enkle løgnegrupper Liste over enkle løgnegrupper Klassisk A n B n C n D n Enestående G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Andre løgnegrupper Cirkel Lorentz Poincaré Konform gruppe Diffeomorfisme Sløjfe Euklidisk
Løg algebraer
Semisimple Lie algebra
Repræsentationsteori
Løgnegrupper i fysik
Forskere Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Ordliste Tabel over løgnegrupper
v t e

I matematisk felt af Lie teori , en split Lie algebra er et par , hvor er en Lie algebra og er en opdeling Cartan subalgebra , hvor "splitting" betyder, at for alle , er triangularizable . Hvis en Lie-algebra indrømmer en splittelse, kaldes den en splittelig Lie-algebra . Bemærk, at for reduktive Lie-algebraer kræves det, at Cartan-subalgebra indeholder centrum. ${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} <{\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle x \ i {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {\ mathfrak {g}} x}$

Over et algebraisk lukket felt som de komplekse tal , er alle semisimple Lie-algebraer opdelt (faktisk fungerer ikke kun Cartan-subalgebra ved hjælp af trekantede matricer, men endnu stærkere, den virker med diagonaliserbare), og alle opdelinger er konjugerede; således er opdelt Lie-algebraer af mest interesse for ikke-algebraisk lukkede felter.

Split Lie-algebraer er af interesse både fordi de formaliserer den splittede reelle form for en kompleks Lie-algebra, og fordi split semisimple Lie-algebraer (mere generelt, split reduktive Lie-algebraer) over ethvert felt deler mange egenskaber med semisimple Lie-algebraer over algebraisk lukkede felter - med stort set den samme repræsentationsteori, for eksempel - den splittende Cartan-subalgebra spiller den samme rolle som Cartan-subalgebraen spiller over algebraisk lukkede felter. Dette er f.eks. Den fremgangsmåde, der blev fulgt i ( Bourbaki 2005 ).

Ejendomme

• Over et algebraisk lukket felt er alle Cartan-subalgebras konjugerede. Over ikke-algebraisk lukkede felter er ikke alle Cartan-subalgebras konjugeret generelt; dog i en splittelig semisimple Lie algebra er alle splittende Cartan-algebraer konjugerede.
• Over et algebraisk lukket felt er alle semisimple Lie-algebraer opdelt.
• Over et ikke-algebraisk lukket felt findes der ikke-splittelig semisimple Lie-algebraer.
• I en spaltelige Lie algebra, der kan eksistere Cartan subalgebras, der ikke er opdelingen.
• Direkte summer af splittelige Lie-algebraer og idealer i opdelbare Lie-algebraer kan splittes.

Opdel ægte Lie algebras

For en ægte løgealgebra svarer splittbar sig til en af ​​disse betingelser:

• Den virkelige rang er lig med den komplekse rang.
• Den Satake diagram hverken sorte knudepunkter eller pile.

Hver kompleks semisimple Lie-algebra har en unik (op til isomorfisme) delt ægte Lie-algebra, som også er semisimple, og er enkel, hvis og kun hvis den komplekse Lie-algebra er.

For ægte semisimple Lie-algebraer er split Lie-algebraer modsatte af kompakte Lie-algebraer - den tilsvarende Lie-gruppe er "så langt som muligt" fra at være kompakt.

Eksempler

De splittede virkelige former for det komplekse semisimple Lie-algebraer er:

• ${\ displaystyle A_ {n}, {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1} (\ mathbf {R})}$
• ${\ displaystyle B_ {n}, {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {so}} _ {n, n + 1} (\ mathbf {R} )}$
• ${\ displaystyle C_ {n}, {\ mathfrak {sp}} _ {n} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {sp}} _ {n} (\ mathbf {R})}$
• ${\ displaystyle D_ {n}, {\ mathfrak {so}} _ {2n} (\ mathbf {C}): {\ mathfrak {so}} _ {n, n} (\ mathbf {R})}$
• Ekstraordinære Lie algebraer: har delt virkelige former E I, E V, E VIII, F I, G . ${\ displaystyle E_ {6}, E_ {7}, E_ {8}, F_ {4}, G_ {2}}$

Dette er Lie-algebraerne fra de splittede reelle grupper af de komplekse Lie-grupper.

Bemærk, at for og , er den virkelige form de rigtige punkter i (Lie-algebraen for) den samme algebraiske gruppe , mens man for en skal bruge splitformerne (med maksimalt ubestemt indeks), da gruppen SO er kompakt. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}}}$

Se også

• Kompakt løgealgebra
• Rigtig form
• Split-kompleks nummer
• Opdelt ortogonal gruppe

Referencer