Kompleks Lie-gruppe - Complex Lie group

I geometri er en kompleks Lie-gruppe en kompleks-analytisk manifold, der også er en gruppe på en sådan måde er holomorf . Grundlæggende eksempler er de generelle lineære grupper over de komplekse tal . En tilsluttet kompakt kompleks Lie-gruppe er netop en kompleks torus (ikke at forveksle med den komplekse Lie-gruppe ). Enhver endelig gruppe kan have strukturen i en kompleks Lie-gruppe. En kompleks semisimple Lie-gruppe er en algebraisk gruppe . ${\ displaystyle G \ gange G \ til G, (x, y) \ mapsto xy ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$

eksempler

• Et endelig-dimensionelt vektorrum over de komplekse tal (især kompleks Lie algebra) er en kompleks Lie-gruppe på en indlysende måde.
• Et tilsluttet kompakt kompleks Lie-gruppe A med dimension g er af den form, hvor L er en diskret undergruppe. Faktisk kan det ses , at dens Lie-algebra er abelisk, og er derefter en surktiv morfisme af komplekse Lie-grupper, der viser A er af den beskrevne form.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / L}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$${\ displaystyle \ operatorname {exp}: {\ mathfrak {a}} \ til A}$
• ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C} ^ {*}, z \ mapsto e ^ {z}}$er et eksempel på en morfisme af komplekse Lie-grupper, der ikke kommer fra en morfisme af algebraiske grupper. Da dette også er et eksempel på en repræsentation af en kompleks Lie-gruppe, der ikke er algebraisk.${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {*} = \ operatorname {GL} _ {1} (\ mathbb {C})}$
• Lad X være et kompakt kompleks manifold. Så er det som i det virkelige tilfælde en kompleks Lie-gruppe, hvis Lie-algebra er .${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (X)}$${\ displaystyle \ Gamma (X, TX)}$
• Lad K være en tilsluttet kompakt Lie-gruppe . Da findes en unik tilsluttet kompleks Lie gruppe G , således at (i) (ii) K er en maksimal kompakt undergruppe af G . Det kaldes complexification af K . For eksempel er kompleksificeringen af ​​den enhedsgruppe . Hvis K handler på en kompakt Kähler manifold X , så virkningen af K omfatter den for G .${\ displaystyle \ operatorname {Lie} (G) = \ operatorname {Lie} (K) \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}$

Referencer

• Lee, Dong Hoon (2002), The Structure of Complex Lie Groups (PDF) , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC, ISBN  1-58488-261-1 , MR  1887930
• Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres

Denne geometri-relaterede artikel er en stub . Du kan hjælpe Wikipedia ved at udvide den . v t e