Glat struktur - Smooth structure

I matematik tillader en glat struktur på en manifold en entydig forestilling om glat funktion . Især giver en glat struktur en mulighed for at udføre matematisk analyse på manifolden.

Definition

En jævn struktur på et manifold er en samling af glat ækvivalente glatte atlas. Her er et glat atlas for en topologisk manifold et atlas for sådan, at hver overgangsfunktion er et glat kort , og to glatte atlas for er glat ækvivalente, forudsat at deres forening igen er et glat atlas for Dette giver en naturlig ækvivalensrelation på sættet af glatte atlasser. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M.}$

En glat manifold er en topologisk manifold sammen med en glat struktur på${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M.}$

Maksimalt glatte atlas

Ved at tage foreningen af ​​alle atlaser, der tilhører en glat struktur, opnår vi et maksimalt glat atlas . Dette atlas indeholder hvert diagram, der er kompatibelt med den glatte struktur. Der er en naturlig en-til-en-korrespondance mellem glatte strukturer og maksimale glatte atlas. Således kan vi betragte en glat struktur som et maksimalt atlas og omvendt.

Generelt er beregninger med det maksimale atlas for en manifold ret uhåndterlige. For de fleste applikationer er det tilstrækkeligt at vælge et mindre atlas. For eksempel, hvis manifolden er kompakt , kan man finde et atlas med kun endeligt mange diagrammer.

Ækvivalens af glatte strukturer

Lad og være to maksimale atlaser på De to glatte strukturer, der er knyttet til og siges at være ækvivalente, hvis der er en diffeomorfisme, således at${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle M.}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle f: M \ til M}$${\ displaystyle \ mu \ circ f = \ nu.}$

Eksotiske kugler

John Milnor viste i 1956, at den 7-dimensionelle sfære indrømmer en glat struktur, der ikke svarer til den standard glatte struktur. En kugle udstyret med en ikke-standard glat struktur kaldes en eksotisk kugle .

E8 manifold

Den E8 manifold er et eksempel på et topologisk manifold , der ikke tillader en glat struktur. Dette viser i det væsentlige, at Rokhlins sætning kun gælder for glatte strukturer og ikke topologiske manifolder generelt.

Relaterede strukturer

Glatthedskravene til overgangsfunktionerne kan svækkes, så vi kun kræver, at overgangskortene skal være- gange konstant differentierbare; eller styrket, så vi kræver, at overgangskortene er reelle analytiske. Følgelig giver dette en eller (ægte) analytisk struktur på manifolden snarere end en glat. På samme måde kan vi definere en kompleks struktur ved at kræve, at overgangskortene er holomorfe. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C ^ {k}}$

Se også

• Glat ramme
• Atlas (topologi)  - Sæt med diagrammer, der beskriver en manifold

Referencer