Versine - Versine

Versine nebo zběhlý sine je goniometrické funkce nalezené v některých těch nejčasnějších (Vedic Aryabhatia I) trigonometrických tabulek . Úhel úhlu je 1 minus jeho kosinus .

Existuje několik souvisejících funkcí, nejvíce pozoruhodně coversine a haversine . To druhé, napůl versine, má zvláštní význam v haversinovém vzorci navigace.

Jednotka kruh s trigonometrických funkcí .

Přehled

Versine nebo zběhlý sine je goniometrické funkce již objevují v některých z prvních trigonometrických tabulek. Píše se jako versin ( θ ) , sinver ( θ ) , vers ( θ ) , ver ( θ ) nebo siv ( θ ) . V latině je známý jako sinus versus (převrácený sinus), versinus , versus nebo sagitta (šipka).

Vyjádřeno mezitím více běžně používaných „vertikální“ siny ( sinus rectus ) a cosines ( cosinus rectus ) funkcí se výšky šipky se rovná

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta) = 1- \ cos (\ theta) = 2 \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$

Existuje několik souvisejících funkcí odpovídajících versine:

Zběhlý cosinus , nebo vercosine , psaný vercosin ( t Vstup ) , vercos ( t Vstup ) nebo VCS ( θ )
Coversed sine , coversine , cosinus proti, nebo coversinus , psaný krytování ( θ ) , kryty ( θ ) , cosiv ( θ ) nebo cvs ( θ )
Coversed cosinus nebo covercosine , psaný covercosin ( θ ) nebo covercos ( θ ) nebo CVC ( θ )

V plné analogii s výše uvedenými čtyřmi funkcemi existuje také další sada čtyř funkcí „poloviční hodnoty“:

Haversed sine , haversine nebo semiversus , psaný haversin ( θ ) , semiversin ( θ ) , semiversinus ( t Vstup ) , Havers ( t Vstup ) , HAV ( θ ) , HVS ( t Vstup ) , sem ( θ ) nebo vn ( θ ) , většina známý z haversinova vzorce používaného historicky v navigaci
Haversed cosinus nebo havercosine , psaný havercosin ( θ ) , havercos ( θ ) , HAC ( θ ) nebo HVC ( θ )
Hacoversed sine , také volal hacoversine nebo cohaversine a písemné hacoversin ( θ ) , semicoversin ( θ ) , hacovers ( θ ) , hacov ( θ ) nebo HCV ( θ )
Hacoversed cosinus , také volal hacovercosine nebo cohavercosine a písemné hacovercosin ( θ ) , hacovercos ( t Vstup ) nebo HCC ( t Vstup )

Historie a aplikace

Versine a Coverine

Sinus, kosinus, a výšky šipky o úhel t Vstup v podmínkách jednotkové kružnici s poloměrem 1, se středem v O . Tento obrázek také ilustruje důvod, proč byl versine někdy nazýván sagitta , latinsky šíp . Pokud je oblouk ADB dvojitého úhlu Δ = 2 θ viděn jako „ luk “ a akord AB jako jeho „struna“, pak je versine CD zřetelně „ šípovou tyčí“.

Grafy historických trigonometrických funkcí ve srovnání s sin a cos - v souboru SVG umístěte kurzor na graf nebo jej zvýrazněte

Obyčejná sinusová funkce ( viz poznámku o etymologii ) byla někdy historicky nazývána sinus rectus („přímá sinus“), aby ji kontrastovala s versus sinus ( sinus versus ). Význam těchto pojmů je zřejmý, pokud se podíváme na funkce v původním kontextu pro jejich definici, jednotkový kruh :

Pro svislou tětivu AB jednotkové kružnice je sinus úhlu θ (představující polovinu podřízeného úhlu Δ ) vzdálenost AC (polovina tětivy). Na druhou stranu je obrácená sinus θ vzdálenost CD od středu akordu ke středu oblouku. Součet cos ( θ ) (rovná se délce řádku OC ) a versin ( θ ) (rovná se délce řádku CD ) je tedy poloměr OD (s délkou 1). Ilustrovaný tímto způsobem, sinus je vertikální ( přímý , doslova „přímý“), zatímco versinální je horizontální ( versus , doslova „otočený proti, mimo místo“); obě jsou vzdálenosti od C do kruhu.

Tento obrázek také ilustruje důvod, proč byl versine někdy nazýván sagitta , latinsky šíp , z arabského použití sahem stejného významu. Toto samo o sobě pochází z indického slova „sara“ (šipka), které se běžně používalo k označení „ utkrama-jya “. Pokud je oblouk ADB dvojitého úhlu Δ = 2 θ viděn jako „ luk “ a akord AB jako jeho „struna“, pak je versine CD zřetelně „ šípovou tyčí“.

V dalším souladu s výkladem sine jako „vertikální“ a zběhlý sine jako „horizontální“, Sagitta je také zastaralý synonymem pro vodorovné ose (na vodorovné ose grafu).

V roce 1821 použil Cauchy termíny sinus versus ( siv ) pro versine a cosinus versus ( cosiv ) pro coverine.

Goniometrické funkce mohou být konstruovány geometricky v podmínkách kruhu jednotky koncentrovaný u O .

Historicky byl zběhlý sinus považován za jednu z nejdůležitějších trigonometrických funkcí.

Protože θ jde na nulu, versin ( θ ) je rozdíl mezi dvěma téměř stejnými veličinami, takže uživatel trigonometrické tabulky pouze pro kosinus by potřeboval velmi vysokou přesnost, aby získal versine, aby se vyhnul katastrofickému zrušení a vytvořil samostatné tabulky pro druhé pohodlné. Dokonce i v kalkulačce nebo počítači je kvůli zaokrouhlovacím chybám vhodné použít vzorec sin ² pro malé θ .

Další historickou výhodou versine je to, že je vždy nezáporný, takže jeho logaritmus je definován všude kromě jediného úhlu ( θ = 0, 2 $π$ ,…), kde je nula - pro multiplikace lze tedy použít logaritmické tabulky ve vzorcích zahrnujících versines.

Nejstarší dochovaná tabulka sinusových (polovičních akordových ) hodnot (na rozdíl od akordů, které uvádí Ptolemaios a další řečtí autoři), počítaná z indické Surya Siddhanthy z 3. století př. N. L. , Byla tabulkou hodnot pro sinus a verzovaný sinus (v krocích po 3,75 ° od 0 do 90 °).

Versine se jeví jako mezistupeň při aplikaci vzorce s polovičním úhlem sin ²(θ/2) =1/2versin ( θ ), odvozený Ptolemaiem , který byl použit ke konstrukci takových tabulek.

Haversine

Haversine, zvláště, byl důležitý v navigaci, protože to se objeví v haversine vzorci , který se používá k přiměřeně přesně vypočítat vzdálenosti na astronomickém sféroidu (viz problémy s poloměrem Země vs. koule ) dané úhlové polohy (např. Zeměpisná délka a šířka ). Dalo by se také použít hřích ²(θ/2) přímo, ale tabulka haversinů odstranila potřebu počítat druhé mocniny a odmocniny.

Časné využití toho, co by se později nazvalo haversines, José de Mendoza y Ríos, je dokumentováno v roce 1801.

První známý anglický ekvivalent tabulky haversinů publikoval James Andrew v roce 1805.

V roce 1835 byl termín haversine (přirozeně označován jako hav. Nebo základna 10 logaritmicky jako log. Haversine nebo log. Havers. ) Vytvořen Jamesem Inmanem ve třetím vydání jeho práce Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen zjednodušit výpočet vzdáleností mezi dvěma body na povrchu Země pomocí sférické trigonometrie pro aplikace v navigaci. Inman také používal výrazy nat. versine a nat. vers. pro verše.

Dalšími vysoce ceněnými tabulkami haversinů byly tabulky Richarda Farleye v roce 1856 a Johna Caulfielda Hannyngtona v roce 1876.

Haversine se nadále používá v navigaci a v posledních desetiletích našel nové aplikace, například v metodě Bruce D. Starka pro čištění měsíčních vzdáleností pomocí Gaussových logaritmů od roku 1995 nebo v kompaktnější metodě pro redukci zraku od roku 2014.

Moderní využití

Zatímco použití versine, coverine a haversine, jakož i jejich inverzní funkce lze vysledovat staletí, názvy dalších pěti funkcí se zdají být mnohem mladšího původu.

Jedno období (0 < θ < $π$ /2) tvaru vlny versine nebo, běžněji, haversine (nebo haverkosinu), se také běžně používá v teorii zpracování signálu a řízení jako tvar pulzu nebo funkce okna (včetně oken Hann , Hann – Poisson a Tukey ), protože plynule ( spojitá hodnota a sklon ) se „zapne“ z nuly na jednu (pro haversine) a zpět na nulu. V těchto aplikacích se jmenuje Hannova funkce nebo filtr se zvýšeným kosinusem . Podobně se haverkosin používá v distribucích se zvýšeným kosinem v teorii pravděpodobnosti a statistikách .

Ve formě sin ² ( t Vstup ) Tento haversine dvojitého úhlu Δ popisuje vztah mezi pomazánek a úhly v racionální trigonometrie , navrhované přeformulování metrickou rovinných a pevných geometrií podle Norman John Wildberger od roku 2005.

Matematické identity

Definice

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta): = 2 \ sin ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1- \ cos (\ theta ) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {coversin}} (\ theta): = {\ textrm {versin}} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = 1- \ sin (\ theta) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {vercosin}} (\ theta): = 2 \ cos ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1 + \ cos (\ theta ) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {covercosin}} (\ theta): = {\ textrm {vercosin}} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = 1 + \ sin (\ theta) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {haversin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {versin}} (\ theta)} {2}} = \ sin ^ {2} \! \ vlevo ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {hacoversin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {coversin}} (\ theta)} {2}} = {\ frac {1- \ sin (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {havercosin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {vercosin}} (\ theta)} {2}} = \ cos ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {hacovercosin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {covercosin}} (\ theta)} {2}} = {\ frac {1+ \ sin (\ theta)} {2}} \,}$

Kruhové rotace

Funkce jsou kruhové rotace navzájem.

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ mathrm {versin} (\ theta) & = \ mathrm {coversin} \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {vercosin } \ left (\ theta + \ pi \ right) = \ mathrm {covercosin} \ left (\ theta + {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right) \\\ mathrm {haversin} (\ theta) & = \ mathrm {hacoversin} \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {havercosin} \ left (\ theta + \ pi \ right) = \ mathrm {hacovercosin} \ left (\ theta + {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right) \ end {zarovnáno}}}

Deriváty a integrály

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {versin} (x) = \ sin {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {versin} (x) \, \ mathrm {d} x = x- \ sin {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {vercosin} (x) = - \ sin {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {vercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = x + \ sin {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {coversin} (x) = - \ cos {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {coversin} (x) \, \ mathrm {d} x = x + \ cos {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {covercosin} (x) = \ cos {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {covercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = x- \ cos {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {haversin} (x) = {\ frac {\ sin {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {haversin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x- \ sin {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {havercosin} (x) = {\ frac {- \ sin {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {havercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x + \ sin {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {hacoversin} (x) = {\ frac {- \ cos {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {hacoversin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x + \ cos {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {hacovercosin} (x) = {\ frac {\ cos {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {hacovercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x- \ cos {x}} {2}} + C}$

Inverzní funkce

Inverzní funkce jako arcversine (arcversin, arcvers, Avers, průměr), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, AVC), arccoversine (arccoversin, arccovers, acovers, bojových obrněných vozidel), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin , archav, haversin ⁻¹ , invhav, ahav, ahvs, ahv, hav ⁻¹ ), archaverkosin (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) nebo archacovercosine (archacovercosin, archacovercos, ahcc) existují také:

${\ displaystyle \ operatorname {arcversin} (y) = \ arccos \ left (1-y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arcvercos} (y) = \ arccos \ left (y-1 \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccoversin} (y) = \ arcsin \ left (1-y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccovercos} (y) = \ arcsin \ left (y-1 \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archaversin} (y) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {y}} \ right) = \ arccos \ left (1-2y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archavercos} (y) = 2 \ arccos \ left ({\ sqrt {y}} \ right) = \ arccos \ left (2y-1 \ right)}$
${\ displaystyle \ operatorname {archacoversin} (y) = \ arcsin \ left (1-2y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archacovercos} (y) = \ arcsin \ left (2y-1 \ right) \,}$

Další vlastnosti

Tyto funkce lze rozšířit do komplexní roviny .

Řada Maclaurin :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {versin} (z) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k }} {(2k)!}} \\\ operatorname {haversin} (z) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} \ End {zarovnáno}}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ až 0} {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta)} {\ theta}} = 0}

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {pokryje} ( \ theta)}} - {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)} {\ operatorname {exsec} (\ theta) - \ operatorname {excsc} (\ theta) }} & = {\ frac {2 \ operatorname {versin} (\ theta) \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {pokryje} (\ theta)}} \\ [3pt] [\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {exsec} (\ theta)] \, [\ operatorname {coversin} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)] & = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \ end {zarovnáno}}}

Aproximace

Porovnání funkce versine se třemi aproximacemi funkcí versine pro úhly od 0 do 2 π

Porovnání funkce versine se třemi aproximacemi funkcí versine pro úhly od 0 do π / 2

Když je versine v ve srovnání s poloměrem r malý , lze jej aproximovat z délky akordu L (vzdálenost AC uvedená výše) podle vzorce

{\ displaystyle v \ cca {\ frac {L ^ {2}} {2r}}}

.

Alternativně, pokud je versine malý a jsou známy versine, rádius a délka akordu, lze je použít k odhadu délky oblouku s ( AD na obrázku výše) podle vzorce

{\ displaystyle s \ přibližně L + {\ frac {v ^ {2}} {r}}}

Tento vzorec znal čínský matematik Shen Kuo a přesnější vzorec zahrnující také sagittu vyvinul o dvě století později Guo Shoujing .

Přesnější aproximace používaná ve strojírenství je

{\ displaystyle v \ cca {\ frac {s ^ {\ frac {3} {2}} L ^ {\ frac {1} {2}}} {8r}}}

Libovolné křivky a akordy

Termín versine se také někdy používá k popisu odchylek od přímosti v libovolné rovinné křivce, jejíž výše uvedený kruh je zvláštním případem. Vzhledem k tomu, akord mezi dvěma body v křivce, se kolmá vzdálenost v od akordu ke křivce (obvykle ve středu akordu) nazývá měření versine . Pro přímku je versine libovolného akordu nulová, takže toto měření charakterizuje přímost křivky. V limitu s délkou akordu L jde k nule, poměr8 v/L ²přejde na okamžité zakřivení . Toto použití je běžné zejména v železniční dopravě , kde popisuje měření přímosti kolejí a je základem Halladeho metody pro měření na železnici .

Termín Sagitta (často zkrátil SAG ) se používá podobně jako v optice , pro popis povrchů čoček a zrcadel .

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

Hawking, Stephen William , ed. (2002). Na ramenou obrů: Velká díla fyziky a astronomie . Philadelphia, USA: Provozní tisk . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441 . Citováno 2017-07-31 .

externí odkazy

Pegg, Jr., vyd . „Sagitta, Apothem a Chord“ . Demonstrační projekt Wolfram .
Trigonometrické funkce na GeoGebra.org

Languages

In other projects