versi - Versine

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Il verso o seno verso è una funzione trigonometrica trovata in alcune delle prime tavole trigonometriche (vedic Aryabhatia I) . Il verso di un angolo è 1 meno il suo coseno .

Ci sono diverse funzioni correlate, in particolare la coverine e la haversine . Quest'ultimo, mezzo verso, è di particolare importanza nella formula di navigazione di haversine .

Un cerchio unitario con funzioni trigonometriche .

Panoramica

Il verso o seno verso è una funzione trigonometrica già presente in alcune delle prime tavole trigonometriche. È scritto come versin( θ ) , sinver( θ ) , vers( θ ) , ver( θ ) o siv( θ ) . In latino , è noto come seno versus (seno capovolto), versinus , versus o sagitta (freccia).

Espresso in termini di frattempo più comunemente usati "verticali" seni ( sinus rectus ) e coseni ( cosinus retto ) funzioni, il senoverso è uguale a

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta)=1-\cos(\theta)=2\sin ^{2}\left({\frac {\theta}{2}}\right)}$

Ci sono diverse funzioni correlate corrispondenti al verso:

• Il coseno in verso , o vercoseno , scritto vercosin( θ ) , vercos( θ ) o vcs( θ )
• Il sine coversed , coversine , cosinus contro, o coversinus , scritto coversin ( θ ) , coperchi ( θ ) , cosiv ( θ ) o cvs ( θ )
• Il coseno coperto o covercosine , scritto covercosin( θ ) o covercos( θ ) o cvc( θ )

In piena analogia con le quattro funzioni sopra menzionate esiste anche un altro insieme di quattro funzioni "metà valore":

• Il seno hasrsed , haversine o semiversus , scritto haversin( θ ) , semiversin( θ ) , semiversinus( θ ) , havers( θ ) , hav( θ ) , hvs( θ ) , sem( θ ) o hv( θ ) , la maggior parte famoso dalla formula di haversine usata storicamente nella navigazione
• Il coseno haversed o havercosine , scritto havercosin( θ ) , havercos( θ ) , hac( θ ) o hvc( θ )
• Il seno hacoversed , chiamato anche hacoversine o cohaversine e scritto hacoversin( θ ) , semicoversin( θ ) , hacovers( θ ) , hacov( θ ) o hcv( θ )
• Il coseno hacovers , chiamato anche hacovercosine o cohavercosine e scritto hacovercosin( θ ) , hacovercos( θ ) o hcc( θ )

Storia e applicazioni

Versine e coverine

Seno, coseno, e senoverso dell'angolo θ in termini di un cerchio unitario di raggio 1, centrata in O . Questa figura illustra anche il motivo per cui il verso è stato talvolta chiamato sagitta , freccia latina . Se l'arco ADB del doppio angolo Δ  = 2 θ è visto come un " arco " e l' accordo AB come la sua "corda", allora il verso CD è chiaramente l'"asta della freccia".

Grafici delle funzioni trigonometriche storiche confrontate con sin e cos – nel file SVG, passa il mouse sopra o fai clic su un grafico per evidenziarlo

La funzione seno ordinaria ( vedi nota sull'etimologia ) è stata talvolta chiamata storicamente sinus rectus ("seno dritto"), per contrapporre il seno inverso ( sinus versus ). Il significato di questi termini è evidente se si guarda alle funzioni nel contesto originale per la loro definizione, un cerchio unitario :

Per una corda verticale AB della circonferenza unitaria, il seno dell'angolo θ (che rappresenta la metà dell'angolo sotteso Δ ) è la distanza AC (metà della corda). D'altra parte, il seno inverso di è la distanza CD dal centro della corda al centro dell'arco. Quindi, la somma di cos( θ ) (uguale alla lunghezza della linea OC ) e versin( θ ) (uguale alla lunghezza della linea CD ) è il raggio OD (con lunghezza 1). Illustrato in questo modo, il seno è verticale ( rectus , letteralmente "diritto") mentre il verso è orizzontale ( versus , letteralmente "rivolto contro, fuori posto"); entrambe sono distanze da C al cerchio.

Questa figura illustra anche il motivo per cui il verso è stato talvolta chiamato sagitta , latino per freccia , dall'uso arabo sahem con lo stesso significato. Questo stesso deriva dalla parola indiana 'sara' (freccia) che era comunemente usata per riferirsi a " utkrama-jya ". Se l'arco ADB del doppio angolo Δ  = 2 θ è visto come un " arco " e l'accordo AB come la sua "corda", allora il verso CD è chiaramente l'"asta della freccia".

In ulteriore armonia con l'interpretazione del seno come "verticale" e il seno in versi come "orizzontale", sagitta è anche un sinonimo obsoleto per l' ascissa (l'asse orizzontale di un grafico).

Nel 1821, Cauchy usò i termini seno versus ( siv ) per il verso e coseno contro ( cosiv ) per il coverine.

Le funzioni trigonometriche possono essere costruite geometricamente in termini di un cerchio unitario centrato in O .

Storicamente, il seno in versi era considerato una delle più importanti funzioni trigonometriche.

Come θ tende a zero, versin ( θ ) è la differenza tra due quantità quasi uguali, per cui un utente di un tavola trigonometrica per il coseno sola avrebbe bisogno di una precisione molto elevata avere la senoverso per evitare la cancellazione catastrofica , rendendo tabelle separate per quest'ultimo conveniente. Anche con una calcolatrice o un computer, errori di arrotondamento rendono consigliabile usare il peccato ² formula per piccole  θ .

Un altro vantaggio storico del verso è che è sempre non negativo, quindi il suo logaritmo è definito ovunque tranne che per l'angolo singolo ( θ = 0, 2 π , …) dove è zero, quindi si potrebbero usare le tabelle logaritmiche per le moltiplicazioni nelle formule che coinvolgono i versi.

Infatti, la prima tavola di valori del seno (mezza corda ) superstite (in contrapposizione agli accordi tabulati da Tolomeo e da altri autori greci), calcolata dal Surya Siddhantha dell'India risalente al III secolo a.C., era una tavola di valori per il seno e il seno inverso (con incrementi di 3,75° da 0 a 90°).

La versina appare come un passaggio intermedio nell'applicazione della formula del semiangolo sin ² (θ/2) =1/2versin( θ ), derivato da Tolomeo , usato per costruire tali tabelle.

Haversine

L'harsine, in particolare, era importante nella navigazione perché appare nella formula di haversine , che viene utilizzata per calcolare in modo ragionevolmente accurato le distanze su uno sferoide astronomico (vedi problemi con il raggio della terra rispetto alla sfera ) date posizioni angolari (ad esempio, longitudine e latitudine ). Si potrebbe anche usare sin ² (θ/2) direttamente, ma avere una tabella dell'harsine ha eliminato la necessità di calcolare quadrati e radici quadrate.

Un primo utilizzo da parte di José de Mendoza y Ríos di quelli che in seguito sarebbero stati chiamati haversines è documentato nel 1801.

Il primo equivalente inglese conosciuto di una tabella di haversine fu pubblicato da James Andrew nel 1805.

Nel 1835, il termine haversine (notato naturalmente come hav. o base-10 logaritmicamente come log. haversine o log. havers. ) fu coniato da James Inman nella terza edizione della sua opera Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen semplificare il calcolo delle distanze tra due punti sulla superficie terrestre utilizzando la trigonometria sferica per applicazioni nella navigazione. Inman ha anche usato i termini nat. versino e nat. vers. per versi.

Altre tavole di haversine molto apprezzate furono quelle di Richard Farley nel 1856 e di John Caulfield Hannyngton nel 1876.

L'harsine continua ad essere utilizzato nella navigazione e ha trovato nuove applicazioni negli ultimi decenni, come nel metodo di Bruce D. Stark per cancellare le distanze lunari utilizzando i logaritmi gaussiani dal 1995 o in un metodo più compatto per la riduzione della vista dal 2014.

Usi moderni

Mentre l'uso di versine, coverine e haversine, così come le loro funzioni inverse, può essere fatto risalire a secoli fa, i nomi per le altre cinque cofunzioni sembrano essere di origine molto più giovane.

Un punto (0 < θ <π/2) di una forma d'onda versine o, più comunemente, haversine (o havercosine) è anche comunemente usata nell'elaborazione del segnale e nella teoria del controllo come la forma di un impulso o una funzione finestra (comprese le finestre Hann , Hann-Poisson e Tukey ), perché uniformemente ( continuo in valore e pendenza ) "si accende" da zero a uno (per harsine) e di nuovo a zero. In queste applicazioni, viene denominata funzione Hann o filtro a coseno rialzato . Allo stesso modo, l'avercoseno viene utilizzato nelle distribuzioni del coseno rialzato nella teoria della probabilità e nella statistica .

Nella forma di sin ² ( θ ) l'harsine del doppio angolo Δ descrive la relazione tra spread e angoli nella trigonometria razionale , una proposta di riformulazione delle geometrie metriche planari e solide di Norman John Wildberger dal 2005.

Identità matematiche

Definizioni

${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}$
${\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin (\theta )\,}$
${\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta}{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}$
${\displaystyle {\textrm {covercosin}}(\theta):={\textrm {vercosin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1+\sin (\theta )\,}$
${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta)}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\ frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta)}{2}}\,}$
${\displaystyle {\textrm {hacoversin}}(\theta):={\frac {{\textrm {coversin}}(\theta)}{2}}={\frac {1-\sin(\theta)} {2}}\,}$
${\displaystyle {\textrm {havercosin}}(\theta):={\frac {{\textrm {vercosin}}(\theta)}{2}}=\cos ^{2}\!\left({\ frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos(\theta)}{2}}\,}$
${\displaystyle {\textrm {hacovercosin}}(\theta):={\frac {{\textrm {covercosin}}(\theta)}{2}}={\frac {1+\sin(\theta)} {2}}\,}$

Rotazioni circolari

Le funzioni sono rotazioni circolari l'una dell'altra.

${\displaystyle {\begin{allineato}\mathrm {versin} (\theta)&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi}{2}}\right)=\mathrm {vercosin } \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {covercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\\\mathrm {haversin} (\theta ) &=\mathrm {hacoversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {havercosin} \left(\theta +\pi \right)=\mathrm {hacovercosin} \left(\theta +{\frac {3\pi }{2}}\right)\end{allineato}}}$

Derivate e integrali

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {coversin} (x) = - \ cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$
${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {covercosin} (x) = \ cos {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {covercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\cos {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {havercosin} (x)={\frac {-\sin {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {havercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\sin {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacoversin} (x)={\frac {-\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacoversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x+\cos {x}}{2}}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {hacovercosin} (x)={\frac {\cos {x}}{2}}}$	${\displaystyle \int \mathrm {hacovercosin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\cos {x}}{2}}+C}$

Funzioni inverse

Funzioni inverse come arcversine (arcversin, arcvers, avers, AVer), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, AVCS), arccoversine (arccoversin, arccovers, acovers, ACV), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, ACVC), archaversine (archaversin , archav, haversin ⁻¹ , invhav, ahav, ahvs, ahv, hav ⁻¹ ), archavercosine (archavercosin, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) o archacovercosine (archacovercosin, archacovercos) esistono anche ahcca:

${\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}$

Altre proprietà

Queste funzioni possono essere estese al piano complesso .

Serie Maclaurin :

${\displaystyle {\begin{allineato}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k }}{(2k)!}}\\\nomeoperatore {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^ {2k}}{2(2k)!}}\end{allineato}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta)}{\theta}}=0}$

${\displaystyle {\begin{allineato}{\frac {\operatorname {versin} (\theta)+\operatorname {coversin} (\theta)}{\operatorname {versin} (\theta)-\operatorname {coversin} ( \theta)}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta)+\operatorname {excsc} (\theta)}{\operatorname {exsec} (\theta)-\operatorname {excsc} (\theta) }}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta)\operatorname {coversin} (\theta)}{\operatorname {versin} (\theta)-\operatorname {coversin} (\theta)}} \\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]& =\sin(\theta )\cos(\theta )\end{allineato}}}$

approssimazioni

Confronto della funzione senoverso con tre approssimazioni alle funzioni senoverso, per angoli compresi da 0 a 2 π

Confronto della funzione Verse con tre approssimazioni alle funzioni Verse, per angoli compresi tra 0 e π /2

Quando il verso v è piccolo rispetto al raggio r , può essere approssimato dalla lunghezza della semicorda L (la distanza AC mostrata sopra) dalla formula

${\displaystyle v\circa {\frac {L^{2}}{2r}}}$.

In alternativa, se il verso è piccolo e sono noti il ​​verso, il raggio e la lunghezza della semicorda, possono essere usati per stimare la lunghezza dell'arco s ( AD nella figura sopra) con la formula

${\displaystyle s\approssimativamente L+{\frac {v^{2}}{r}}}$

Questa formula era nota al matematico cinese Shen Kuo , e due secoli dopo Guo Shoujing sviluppò una formula più accurata che coinvolgeva anche la sagitta .

Un'approssimazione più accurata utilizzata in ingegneria è

${\displaystyle v\circa {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$

Curve e accordi arbitrari

Il termine versino è talvolta usato anche per descrivere deviazioni dalla rettilineità in una curva planare arbitraria, di cui il cerchio sopra è un caso speciale. Data una corda tra due punti di una curva, la distanza perpendicolare v dalla corda alla curva (di solito nel punto medio della corda) è chiamata misura di versetti . Per una linea retta, il verse di qualsiasi corda è zero, quindi questa misura caratterizza la rettilineità della curva. Al limite quando la lunghezza della corda L va a zero, il rapporto8 v/L ²va alla curvatura istantanea . Questo utilizzo è particolarmente comune nel trasporto ferroviario , dove descrive le misurazioni della rettilineità dei binari ed è alla base del metodo Hallade per il rilevamento ferroviario .

Il termine sagitta (spesso abbreviato sag ) è usato in modo simile in ottica , per descrivere le superfici di lenti e specchi .

Guarda anche

• Identità trigonometriche
• Eseccante ed excosecante
• Versiera ( Strega di Agnesi )
• Esponenziale meno 1
• Logaritmo naturale più 1

Appunti

Riferimenti

Ulteriori letture

• Hawking, Stephen William , ed. (2002). Sulle spalle dei giganti: le grandi opere della fisica e dell'astronomia . Filadelfia, SUA: Pressa corrente . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Estratto il 31/07/2017 .

link esterno

• Pegg, Jr., Ed . "Sagitta, Apotema e Accordo" . Il progetto dimostrazioni Wolfram .
• Funzioni trigonometriche su GeoGebra.org