Hannova funkce - Hann function

Hannova funkce (vlevo) a její frekvenční odezva (vpravo)

Funkce Hann délky slouží k provádění Hann vyhlazování , je pojmenován po rakouském meteorolog Julius von Hann . Je to funkce okna daná :${\ displaystyle L,}$

${\ Displaystyle w_ {0} (x) \ triangleq \ left \ {{\ begin {array} {ccl} {\ tfrac {1} {2}} \ left (1+ \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi x} {L}} \ right) \ right) = \ cos ^{2} \ left ({\ frac {\ pi x} {L}} \ right), \ quad & \ left | x \ right | \ leq L/2 \\ 0, \ quad & \ left | x \ right |> L/2 \ end {array}} \ right \}.}$  

Pro digitální zpracování signálu lze funkci symetricky vzorkovat (s mezerami ) jako :${\ displaystyle L/N}$

${\ Displaystyle \ left. {\ begin {aligned} w [n] = w_ {0} \ left ({\ tfrac {L} {N}} (nN/2) \ right) & = {\ tfrac {1} {2}} \ left [1- \ cos \ left ({\ tfrac {2 \ pi n} {N}} \ right) \ right] \\ & = \ sin ^{2} \ left ({\ tfrac { \ pi n} {N}} \ right) \ end {zarovnaný}} \ right \}, \ quad 0 \ leq n \ leq N,}$

což je posloupnost vzorků a může být sudé nebo liché. (viz § Hannova a Hammingova okna ) Je také známé jako vyvýšené kosinové okno , Hannův filtr , von Hannovo okno atd. ${\ displaystyle N+1}$${\ displaystyle N}$

Fourierova transformace

Nahoře: 16 ukázkových oken DFT-dokonce Hann. Dole: Jeho diskrétní Fourierova transformace (DTFT) a 3 nenulové hodnoty její diskrétní Fourierovy transformace (DFT).

Fourierova transformace je dána vztahem: ${\ displaystyle w_ {0} (x)}$

${\ Displaystyle W_ {0} (f) = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ sin (\ pi Lf)} {\ pi f (1-L^{2} f^{2} )}}}$  

Ekvivalentní výraz je z formulace nalezen jako lineární kombinace modulovaných obdélníkových oken :

${\ Displaystyle \ mathrm {rect} (x/L) \ quad {\ stackrel {\ text {Fourierova transformace}} {\ longleftrightarrow}} \ quad L \ cdot \ mathrm {sinc} (Lf) = {\ frac {\ hřích (\ pi Lf)} {\ pi f}}.}$

Pomocí Eulerova vzorce k rozšíření kosinového výrazu můžeme napsat :

${\ Displaystyle w_ {0} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {rect} (x/L)+{\ tfrac {1} {4}} e^{i2 \ pi x/ L} \ mathrm {rect} (x/L)+{\ tfrac {1} {4}} e^{-i2 \ pi x/L} \ mathrm {rect} (x/L),}$

jehož Fourierova transformace je jen :

${\ Displaystyle W_ {0} (f) = {\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ sin (\ pi Lf)} {\ pi f}}+{\ tfrac {1} {4}} {\ frac {\ sin (\ pi L (f-1/L))} {\ pi (f-1/L)}}+{\ tfrac {1} {4}} {\ frac {\ sin (\ pi L (f+1/L))} {\ pi (f+1/L)}}.}$

Diskrétní transformace

Diskrétní Fourierovy transformace (DTFT) o délku, časově posunuté sekvence je definována Fourierovy řady, která má také 3-termín ekvivalent, který je odvozen podobně jako Fourierovy transformace derivace :${\ displaystyle N+1}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {F}} \ {w [n] \} & \ triangleq \ sum _ {n = 0}^{N} w [n] \ cdot e^{-i2 \ pi fn} \\ & = e^{-i \ pi fN} \ left [{\ tfrac {1} {2}} {\ frac {\ sin (\ pi (N+1) f)} {\ sin (\ pi f)}}+{\ tfrac {1} {4}} {\ frac {\ sin (\ pi (N+1) (f-{\ tfrac {1} {N}}))} {\ sin (\ pi (f-{\ tfrac {1} {N}}))}}+{\ tfrac {1} {4}} {\ frac {\ sin (\ pi (N+1) (f+{\ tfrac {1} {N}}))} {\ sin (\ pi (f+{\ tfrac {1} {N}}))}} \ right]. \ end {aligned}}}$

Nebo i hodnoty , zkrácená sekvence je DFT-i (také znám jako periodická ) okno Hann. Protože zkrácený vzorek má hodnotu nula, je z definice Fourierovy řady zřejmé, že DTFT jsou ekvivalentní. Výše uvedený přístup však má za následek výrazně odlišně vypadající, ale ekvivalentní 3-termínový výraz :${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ {w [n], \ 0 \ leq n \ leq N-1 \}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ {w [n] \} = e^{-i \ pi f (N-1)} \ left [{\ tfrac {1} {2}} {\ frac { \ sin (\ pi Nf)} {\ sin (\ pi f)}}+{\ tfrac {1} {4}} e^{-i \ pi /N} {\ frac {\ sin (\ pi N ( f-{\ tfrac {1} {N}}))} {\ sin (\ pi (f-{\ tfrac {1} {N}}))}}+{\ tfrac {1} {4}} e ^{i \ pi /N} {\ frac {\ sin (\ pi N (f+{\ tfrac {1} {N}}))} {\ sin (\ pi (f+{\ tfrac {1} {N} }))}}\že jo].}$

D-délka DFT funkce okna vzorkuje DTFT na frekvencích pro celočíselné hodnoty z výrazu bezprostředně výše, je snadné vidět, že pouze 3 z N DFT koeficientů jsou nenulové. A z druhého výrazu je zřejmé, že všechny mají skutečnou hodnotu. Tyto vlastnosti jsou přitažlivé pro aplikace v reálném čase, které vyžadují transformace v okně i bez oken (obdélníkové okno), protože transformace v okně lze efektivně odvodit z transformací bez oken konvolucí . ${\ displaystyle f = k/N,}$${\ Displaystyle k.}$

název

Tato funkce je pojmenována na počest von Hanna, který na meteorologických datech použil trojnásobnou váženou průměrnou vyhlazovací techniku. O chybné funkci „Hanning“ je však také příležitostně slyšet, odvozeno z papíru, ve kterém byl pojmenován, kde výraz „hanning a signal“ používal ve smyslu použití Hannova okna. Zmatek vznikl z podobné Hammingovy funkce pojmenované po Richardu Hammingovi .

Viz také

• Funkce okna
• Apodizace
• Zvýšená distribuce kosinu
• Zvýšený kosinový filtr

Citace stránek

Reference

externí odkazy

• Hannova funkce v MathWorld