Funkce polygamma - Polygamma function

V matematiky je funkce polygamma řádu m je meromorfní funkce na komplexní čísla ℂ definován jako ( m + 1) th derivace logaritmu o funkce gama :

${\ Displaystyle \ psi ^{(m)} (z): = {\ frac {\ mathrm {d} ^{m}} {\ mathrm {d} z ^{m}}} \ psi (z) = { \ frac {\ mathrm {d} ^{m+1}} {\ mathrm {d} z ^{m+1}}} \ ln \ Gamma (z).}$

Tím pádem

${\ Displaystyle \ psi ^{(0)} (z) = \ psi (z) = {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}}}$

platí, kde ψ ( z ) je funkce digamma a Γ ( z ) je funkce gama . Jsou holomorfní na ℂ \ - ℕ ₀ . Na všech nepozitivních celých číslech mají tyto polygamové funkce pól řádu m + 1 . Funkce ψ ⁽¹⁾ ( z ) se někdy nazývá funkce trigamma .

Logaritmus gama funkce a prvních pár polygamových funkcí v komplexní rovině

ln Γ ( z )	ψ (0) ( z )	ψ (1) ( z )
ψ (2) ( z )	ψ (3) ( z )	ψ (4) ( z )

Integrální reprezentace

Když m > 0 a Re z > 0 , funkce polygamma se rovná

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ psi^{(m)} (z) & = (-1)^{m+1} \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {t^{ m} e^{-zt}} {1-e^{-t}}} \, \ mathrm {d} t \\ & =-\ int _ {0}^{1} {\ frac {t^{ z-1}} {1-t}} (\ ln t)^{m} \, \ mathrm {d} t. \ end {aligned}}}$

To vyjadřuje funkci polygamma jako Laplace převádí na (−1) ^{m +1} t ^m/1 - e ^{- t}. Z Bernsteinovy ​​věty o monotónních funkcích vyplývá, že pro m > 0 a x skutečných a nezáporných je (−1) ^{m +1} ψ ^{( m )} ( x ) zcela monotónní funkce.

Nastavení m = 0 ve výše uvedeném vzorci neposkytuje integrální reprezentaci funkce digamma. Funkce digamma má integrální zastoupení, kvůli Gaussovi, které je podobné výše uvedenému případu m = 0, ale které má další výraze ^{- t}/t.

Vztah opakování

To splňuje vztah opakování

${\ Displaystyle \ psi ^{(m)} (z+1) = \ psi ^{(m)} (z)+{\ frac {(-1) ^{m} \, m!} {z ^{ m+1}}}}$

což - považováno za pozitivní celočíselný argument - vede k prezentaci součtu převrácených sil mocnin přirozených čísel:

${\ Displaystyle {\ frac {\ psi ^{(m)} (n)} {(-1) ^{m+1} \, m!}} = \ zeta (1+m)-\ sum _ {k = 1}^{n-1} {\ frac {1} {k^{m+1}}} = \ sum _ {k = n}^{\ infty} {\ frac {1} {k^{m +1}}} \ qquad m \ geq 1}$

a

${\ Displaystyle \ psi ^{(0)} (n) =-\ gamma \ +\ sum _ {k = 1} ^{n-1} {\ frac {1} {k}}}$

pro všechny n ∈ ℕ . Stejně jako funkce log-gama lze polygamové funkce generalizovat z domény ℕ jednoznačně na kladná reálná čísla pouze díky jejich relaci opakování a jedné dané funkční hodnotě, řekněme ψ ^{( m )} (1) , kromě případu m = 0, kde je stále zapotřebí dodatečná podmínka přísné monotónnosti na ℝ ⁺ . To je triviální důsledek Bohr – Mollerupovy věty pro gama funkci, kde je navíc vyžadována striktně logaritmická konvexita na ℝ ⁺ . S případem m = 0 je třeba zacházet odlišně, protože ψ ⁽⁰⁾ nelze normalizovat na nekonečno (součet reciprocalů nekonverguje).

Vztah reflexe

${\ Displaystyle (-1) ^{m} \ psi ^{(m)} (1-z)-\ psi ^{(m)} (z) = \ pi {\ frac {\ mathrm {d} ^{ m}} {\ mathrm {d} z ^{m}}} \ cot {\ pi z} = \ pi ^{m+1} {\ frac {P_ {m} (\ cos {\ pi z})} {\ sin ^{m+1} (\ pi z)}}}$

kde P _m je střídavě lichý nebo sudý polynom stupně | m - 1 | s celočíselnými koeficienty a úvodním koeficientem (−1) ^m ⌈2 ^{m - 1} ⌉ . Dodržují rovnici rekurze

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} P_ {0} (x) & = x \\ P_ {m+1} (x) & =-\ left ((m+1) xP_ {m} (x)+\ vlevo (1-x^{2} \ vpravo) P '_ {m} (x) \ vpravo). \ end {aligned}}}$

Násobící věta

Násobení teorém dává

${\ Displaystyle k ^{m+1} \ psi ^{(m)} (kz) = \ sum _ {n = 0} ^{k-1} \ psi ^{(m)} \ left (z+{\ frac {n} {k}} \ vpravo) \ qquad m \ geq 1}$

a

${\ Displaystyle k \ psi ^{(0)} (kz) = k \ ln {k}+\ sum _ {n = 0} ^{k-1} \ psi ^{(0)} \ left (z+{ \ frac {n} {k}} \ right)}$

pro funkci digamma .

Zastoupení řady

Funkce polygamma má reprezentaci řady

${\ Displaystyle \ psi^{(m)} (z) = (-1)^{m+1} \, m! \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {( z+k)^{m+1}}}}$

který platí pro celočíselné hodnoty m > 0 a jakýkoli komplex z nerovný zápornému celému číslu. Tuto reprezentaci lze zapsat kompaktněji, pokud jde o Hurwitzovu zeta funkci jako

${\ Displaystyle \ psi ^{(m)} (z) = (-1) ^{m+1} \, m! \, \ zeta (m+1, z).}$

Alternativně lze Hurwitzovu zetu chápat jako generalizaci polygammy na libovolné, necelé číslo.

Pro funkce polygamma může být povolena ještě jedna řada. Jak uvádí Schlömilch ,

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze^{\ gamma z} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1+{\ frac {z} { n}} \ right) e^{-{\ frac {z} {n}}}.}$

To je výsledek Weierstrassovy faktorizační věty . Funkce gama může být nyní definována jako:

${\ Displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e^{-\ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1}^{\ infty} \ left (1+{\ frac {z} {n}} \ right)^{-1} e^{\ frac {z} {n}}.}$

Nyní je přirozený logaritmus funkce gama je snadno representable:

${\ Displaystyle \ ln \ Gamma (z) =-\ gamma z- \ ln (z)+\ sum _ {k = 1}^{\ infty} \ left ({\ frac {z} {k}}-\ l \ \ left (1+{\ frac {z} {k}} \ right) \ right).}$

Nakonec dospějeme k součtové reprezentaci funkce polygamma:

${\ Displaystyle \ psi ^{(n)} (z) = {\ frac {\ mathrm {d} ^{n+1}} {\ mathrm {d} z ^{n+1}}} \ ln \ Gamma (z) =-\ gamma \ delta _ {n0}-{\ frac {(-1)^{n} n!} {z^{n+1}}}+\ sum _ {k = 1}^{ \ infty} \ left ({\ frac {1} {k}} \ delta _ {n0}-{\ frac {(-1)^{n} n!} {(k+z)^{n+1} }}\že jo)}$

Kde δ _{n 0} je Kroneckerova delta .

Také Lerchův transcendent

${\ Displaystyle \ Phi (-1, m+1, z) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{k}} {(z+k)^{ m+1}}}}$

lze označit pomocí funkce polygamma

${\ Displaystyle \ Phi (-1, m+1, z) = {\ frac {1} {(-2) ^{m+1} m!}} \ left (\ psi ^{(m)} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right)-\ psi ^{(m)} \ left ({\ frac {z+2} {2}} \ right) \ right)}$

Taylorova série

Taylorovy řady v z, = 1 IS

${\ Displaystyle \ psi^{(m)} (z+1) = \ sum _ {k = 0}^{\ infty} (-1)^{m+k+1} {\ frac {(m+k )!} {k!}} \ zeta (m+k+1) z^{k} \ qquad m \ geq 1}$

a

${\ Displaystyle \ psi^{(0)} (z+1) =-\ gamma+\ sum _ {k = 1}^{\ infty} (-1)^{k+1} \ zeta (k+1 ) z^{k}}$

který konverguje pro | z | <1 . Zde ζ je funkce Riemannova zeta . Tato řada je snadno odvozena z odpovídající Taylorovy řady pro funkci Hurwitz zeta. Tato řada může být použita k odvození řady racionálních zeta sérií .

Asymptotická expanze

Tyto nekonvergující řady lze použít k rychlému získání přibližné hodnoty s určitou numerickou přinejmenším přesností pro velké argumenty:

${\ Displaystyle \ psi^{(m)} (z) \ sim (-1)^{m+1} \ sum _ {k = 0}^{\ infty} {\ frac {(k+m-1) !} {k!}} {\ frac {B_ {k}} {z^{k+m}}} \ qquad m \ geq 1}$

a

${\ Displaystyle \ psi^{(0)} (z) \ sim \ ln (z)-\ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {B_ {k}} {kz^{k} }}}$

kde jsme vybrali B ₁ =1/2, tj. Bernoulliho čísla druhého druhu.

Nerovnosti

Tyto hyperbolické cotangent splňuje nerovnost

${\ displaystyle {\ frac {t} {2}} \ operatorname {coth} {\ frac {t} {2}} \ geq 1,}$

a to znamená, že funkce

${\ Displaystyle {\ frac {t^{m}} {1-e^{-t}}}-\ left (t^{m-1}+{\ frac {t^{m}} {2}} \že jo)}$

je nezáporný pro všechny m ≥ 1 a t ≥ 0 . Z toho vyplývá, že Laplaceova transformace této funkce je zcela monotónní. Výše uvedeným integrálním zobrazením jsme došli k závěru

${\ Displaystyle (-1)^{m+1} \ psi^{(m)} (x)-\ left ({\ frac {(m-1)!} {x^{m}}}+{\ frac {m!} {2x^{m+1}}} \ right)}$

je zcela monotónní. Z toho vyplývá nerovnost konvexity e ^t ≥ 1 + t

${\ Displaystyle \ left (t^{m-1}+t^{m} \ right)-{\ frac {t^{m}} {1-e^{-t}}}}$

je nezáporný pro všechna m ≥ 1 a t ≥ 0 , takže podobný Laplaceův transformační argument poskytuje úplnou monotónnost

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {(m-1)!} {x^{m}}}+{\ frac {m!} {x^{m+1}}} \ right)-(-1 ) ^{m+1} \ psi ^{(m)} (x).}$

Proto pro všechna m ≥ 1 a x > 0 ,

${\ Displaystyle {\ frac {(m-1)!} {x^{m}}}+{\ frac {m!} {2x^{m+1}}} \ leq (-1)^{m+ 1} \ psi^{(m)} (x) \ leq {\ frac {(m-1)!} {X^{m}}}+{\ frac {m!} {X^{m+1} }}.}$

Viz také

• Faktoriál
• Funkce gama
• Funkce Digamma
• Funkce Trigamma
• Zobecněná funkce polygammy

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). „Oddíl 6.4“ . Příručka matematických funkcí . New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.