Vyvážená funkce polygamma - Balanced polygamma function

V matematice je generalizovaná funkce polygamma nebo vyvážená funkce negapolygamma funkcí, kterou představili Olivier Espinosa Aldunate a Victor H. Moll .

Zobecňuje na funkci polygamma na negativní a frakční pořadí, ale zůstává stejná tom celé číslo pozitivní objednávky.

Definice

Zobecněná funkce polygamma je definována následovně:

${\ Displaystyle \ psi (z, q) = {\ frac {\ zeta '(z+1, q)+{\ bigl (} \ psi (-z)+\ gamma {\ bigr)} \ zeta (z+ 1, q)} {\ Gamma (-z)}}}$

nebo alternativně

${\ Displaystyle \ psi (z, q) = e^{-\ gamma z} {\ frac {\ částečná} {\ částečná z}} \ left (e^{\ gamma z} {\ frac {\ zeta (z +1, q)} {\ Gamma (-z)}} \ vpravo),}$

kde ψ ( z ) je funkce Polygamma a ζ ( z , q ) , je Hurwitzova funkce zeta .

Funkce je vyvážená, protože splňuje podmínky

${\ Displaystyle f (0) = f (1) \ quad {\ text {and}} \ quad \ int _ {0}^{1} f (x) \, dx = 0}$.

Vztahy

Několik speciálních funkcí lze vyjádřit zobecněnou funkcí polygammy.

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ psi (x) & = \ psi (0, x) \\\ psi ^{(n)} (x) & = \ psi (n, x) \ qquad n \ in \ mathbb {N} \\\ Gamma (x) & = \ exp \ left (\ psi (-1, x)+{\ tfrac {1} {2}} \ ln 2 \ pi \ right) \\\ zeta (z, q) & = {\ frac {\ Gamma (1-z)} {\ ln 2}} \ left (2^{-z} \ psi \ left (z-1, {\ frac {q+1 } {2}} \ right) +2^{-z} \ psi \ left (z-1, {\ frac {q} {2}} \ right)-\ psi (z-1, q) \ right) \\\ zeta '(-1, x) & = \ psi (-2, x)+{\ frac {x^{2}} {2}}-{\ frac {x} {2}}+{\ frac {1} {12}} \\ B_ {n} (q) & =-{\ frac {\ Gamma (n+1)} {\ ln 2}} \ left (2^{n-1} \ psi \ left (-n, {\ frac {q+1} {2}} \ right)+2^{n-1} \ psi \ left (-n, {\ frac {q} {2}} \ right) -\ psi (-n, q) \ right) \ end {zarovnáno}}}$

kde B _n ( q ) jsou Bernoulliho polynomy

${\ Displaystyle K (z) = A \ exp \ left (\ psi (-2, z)+{\ frac {z^{2} -z} {2}} \ right)}$

kde K ( z ) je K -function a je Glaisher konstantní .

Zvláštní hodnoty

Vyváženou polygamovou funkci lze v určitých bodech vyjádřit v uzavřené formě (kde A je Glaisherova konstanta a G je katalánská konstanta ):

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ psi \ left (-2, {\ tfrac {1} {4}} \ right) & = {\ tfrac {1} {8}} \ ln 2 \ pi +{\ tfrac {9} {8}} \ ln A+{\ frac {G} {4 \ pi}} && \\\ psi \ left (-2, {\ tfrac {1} {2}} \ right) & = { \ tfrac {1} {4}} \ ln \ pi +{\ tfrac {3} {2}} \ ln A +{\ tfrac {5} {24}} \ ln 2 & \\\ psi \ left (-3, {\ tfrac {1} {2}} \ right) & = {\ tfrac {1} {16}} \ ln 2 \ pi +{\ tfrac {1} {2}} \ ln A +{\ frac {7 \ zeta (3)} {32 \ pi ^{2}}} \\\ psi (-2,1) & = {\ tfrac {1} {2}} \ ln 2 \ pi & \\\ psi (-3 , 1) & = {\ tfrac {1} {4}} \ ln 2 \ pi +\ ln A \\\ psi (-2,2) & = \ ln 2 \ pi -1 & \\\ psi (-3 , 2) & = \ ln 2 \ pi +2 \ ln A-{\ tfrac {3} {4}} \\\ end {aligned}}}$

Reference