Funkce digamma - Digamma function

V matematiky je funkce digamma je definována jako logaritmické derivát z funkce gama :

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln {\ big (} \ Gamma (x) {\ big)} = {\ frac {\ Gamma '(x)} {\ Gamma (x)}} \ sim \ ln {x} - {\ frac {1} {2x}}.}$

Je to první z funkcí polygammy .

Funkce digamma je často označována jako nebo Ϝ (velká forma archaické řecké souhlásky digamma, což znamená dvojité gama ). ${\ displaystyle \ psi _ {0} (x), \ psi ^ {(0)} (x)}$

Vztah k harmonickým číslům

Funkce gama se řídí rovnicí

${\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z). \,}$

Vezmeme-li derivaci s ohledem na z, získáme:

${\ Displaystyle \ Gamma '(z + 1) = z \ Gamma' (z) + \ Gamma (z) \,}$

Vydělením Γ ( z + 1) nebo ekvivalentem z Γ ( z ) získáte :

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '(z + 1)} {\ Gamma (z + 1)}} = {\ frac {\ Gamma' (z)} {\ Gamma (z)}} + {\ frac {1} {z}}}$

nebo:

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = \ psi (z) + {\ frac {1} {z}}}$

Protože harmonická čísla jsou definována pro kladná celá čísla n jako

${\ displaystyle H_ {n} = \ součet _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}$

funkce digamma s nimi souvisí

${\ displaystyle \ psi (n) = H_ {n-1} - \ gamma,}$

kde H ₀ = 0 a γ je Euler – Mascheroniho konstanta . U argumentů s polovičním číslem přebírá hodnoty funkce digamma

${\ displaystyle \ psi \ left (n + {\ tfrac {1} {2}} \ right) = - \ gamma -2 \ ln 2+ \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2} {2k-1}}.}$

Integrální reprezentace

Pokud je skutečná část z kladná, pak má funkce digamma následující integrální vyjádření kvůli Gaussovi:

${\ displaystyle \ psi (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ vlevo ({\ frac {e ^ {- t}} {t}} - {\ frac {e ^ {- zt}} {1-e ^ {- t}}} \ vpravo) \, dt.}$

Kombinace tohoto výrazu s integrální identitou pro konstantu Euler – Mascheroni dává: ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = - \ gama + \ int _ {0} ^ {1} \ vlevo ({\ frac {1-t ^ {z}} {1-t}} \ vpravo) \ , dt.}$

Integrál je Eulerovo harmonické číslo , takže lze napsat i předchozí vzorec ${\ displaystyle H_ {z}}$

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = \ psi (1) + H_ {z}.}$

Důsledkem je následující zobecnění relace opakování:

${\ displaystyle \ psi (w + 1) - \ psi (z + 1) = H_ {w} -H_ {z}.}$

Integrální vyjádření díky Dirichletovi je:

${\ displaystyle \ psi (z) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ vlevo (e ^ {- t} - {\ frac {1} {(1 + t) ^ {z}}} \ vpravo ) \, {\ frac {dt} {t}}.}$

Gaussova integrální reprezentace může být manipulována tak, aby poskytla začátek asymptotické expanze . ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ log z - {\ frac {1} {2z}} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2}} - { \ frac {1} {t}} + {\ frac {1} {e ^ {t} -1}} \ right) e ^ {- tz} \, dt.}$

Tento vzorec je také důsledkem prvního Binetova integrálu pro funkci gama. Integrál lze rozpoznat jako Laplaceovu transformaci .

Binetův druhý integrál pro funkci gama dává odlišný vzorec, který také dává prvních pár podmínek asymptotické expanze: ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ log z - {\ frac {1} {2z}} - 2 \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t \, dt} {(t ^ { 2} + z ^ {2}) (e ^ {2 \ pi t} -1)}}.}$

Z definice a integrálního vyjádření funkce gama se získá ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {z-1} \ ln (t) e ^ {- t} \, dt,}$

s . ${\ displaystyle \ Re z> 0}$

Nekonečné zastoupení produktu

Funkce je celá funkce a může být reprezentována nekonečným součinem ${\ displaystyle \ psi (z) / \ gama (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ psi (z)} {\ Gamma (z)}} = - e ^ {2 \ gamma z} \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ vlevo (1- { \ frac {z} {x_ {k}}} \ right) e ^ {\ frac {z} {x_ {k}}}.}$

Zde je k- ta nula (viz níže) a je Euler-Mascheroniho konstanta . ${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ gamma}$

Poznámka: Toto je také rovná vzhledem k definici funkce digamma: . ${\ displaystyle - {\ frac {d} {dz}} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ psi (z)}$

Sériový vzorec

Eulerův produktový vzorec pro funkci gama v kombinaci s funkční rovnicí a identitou pro konstantu Euler – Mascheroni poskytuje následující výraz pro funkci digamma, platný v komplexní rovině mimo záporná celá čísla (Abramowitz a Stegun 6.3.16):

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ psi (z + 1) & = - \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n}} - { \ frac {1} {n + z}} \ right), \ qquad z \ neq -1, -2, -3, \ ldots, \\ & = - \ gamma + \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} \ left ({\ frac {z} {n (n + z)}} \ right), \ qquad z \ neq -1, -2, -3, \ ldots. \ end {zarovnáno}}}$

Ekvivalentně

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ psi (z) & = - \ gamma + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + 1}} - { \ frac {1} {n + z}} \ right), \ qquad z \ neq 0, -1, -2, \ ldots, \\ & = - \ gamma + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z-1} {(n + 1) (n + z)}}, \ qquad z \ neq 0, -1, -2, \ ldots, \\\ end {zarovnáno}}}$

Hodnocení součtů racionálních funkcí

Výše uvedenou identitu lze použít k vyhodnocení součtů formuláře

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {p (n)} {q (n)}} ,}$

kde p ( n ) a q ( n ) jsou polynomy n .

Provedení částečného zlomku na u _n v komplexním poli, v případě, že všechny kořeny q ( n ) jsou jednoduché kořeny,

${\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {p (n)} {q (n)}} = \ součet _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}}.}$

Aby se série sbíhala,

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} nu_ {n} = 0,}$

jinak bude řada větší než harmonická řada a bude se tak rozcházet. Proto

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} = 0,}$

a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {a_ {k}} {n + b_ {k}}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ left ({\ frac {1} {n + b_ {k}}} - {\ frac {1} {n + 1}} \ right) \\ & = \ sum _ {k = 1} ^ {m} \ left (a_ {k} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + b_ {k}}} - {\ frac {1} { n + 1}} \ right) \ right) \\ & = - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} {\ big (} \ psi (b_ {k}) + \ gamma {\ velký)} \\ & = - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ psi (b_ {k}). \ end {zarovnáno}}}$

S řadovým rozšířením funkce vyššího polygammy lze dát zobecněný vzorec jako

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} u_ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac { a_ {k}} {(n + b_ {k}) ^ {r_ {k}}}} = \ součet _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(-1) ^ {r_ {k} }} {(r_ {k} -1)!}} a_ {k} \ psi ^ {(r_ {k} -1)} (b_ {k}),}$

za předpokladu, že řada na levé straně konverguje.

Taylor série

Digamma má racionální řadu zeta , danou Taylorovou řadou při z = 1 . Tohle je

${\ displaystyle \ psi (z + 1) = - \ gamma - \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} \ zeta (k + 1) (- z) ^ {k},}$

který konverguje pro | z | <1 . Zde ζ ( n ) je Riemannova zeta funkce . Tato řada je snadno odvozena z odpovídající Taylorovy řady pro funkci Hurwitz zeta .

Newtonova řada

Série Newton pro digamma, někdy označované jako Stern série , čte

${\ displaystyle \ psi (s + 1) = - \ gamma - \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} {\ binom {s } {k}}}$

kde (^s
_k) jebinomický koeficient. Lze to také zobecnit na

${\ displaystyle \ psi (s + 1) = - \ gamma - {\ frac {1} {m}} \ součet _ {k = 1} ^ {m-1} {\ frac {mk} {s + k} } - {\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k}} \ left \ {{\ binom { s + m} {k + 1}} - {\ binom {s} {k + 1}} \ right \}, \ qquad \ Re (s)> - 1,}$

kde m = 2,3,4, ...

Série s Gregoryho koeficienty, Cauchyovými čísly a Bernoulliho polynomy druhého druhu

Pro digammu existují různé řady obsahující racionální koeficienty pouze pro racionální argumenty. Zejména řada s Gregoryho koeficienty G _n je

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln v- \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} {\ big |} (n-1)! } {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> 0,}$

${\ displaystyle \ psi (v) = 2 \ ln \ gama (v) -2v \ ln proti + 2v + 2 \ ln v- \ ln 2 \ pi -2 \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} (2) {\ big |}} {(v) _ {n}}} \, (n-1)!, \ qquad \ Re (v)> 0 ,}$

${\ displaystyle \ psi (v) = 3 \ ln \ gama (v) -6 \ zeta '(-1, v) + 3v ^ {2} \ ln {v} - {\ frac {3} {2}} v ^ {2} -6v \ ln (v) + 3v + 3 \ ln {v} - {\ frac {3} {2}} \ ln 2 \ pi + {\ frac {1} {2}} - 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big |} G_ {n} (3) {\ big |}} {(v) _ {n}}} \, (n- 1)!, \ Qquad \ Re (v)> 0,}$

kde ( v ) _n je rostoucí faktoriál ( v ) _n = v ( v +1) ( v +2) ... ( v + n -1) , G _n ( k ) jsou Gregoryho koeficienty vyššího řádu s G _n (1) = G _n , Γ je funkce gama a ζ je funkce Hurwitz zeta . Podobné řady s Cauchyovými čísly druhého druhu čte C _n

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln (v-1) + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C_ {n} (n-1)!} {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> 1,}$

Série s Bernoulliho polynomy druhého druhu má následující podobu

${\ displaystyle \ psi (v) = \ ln (v + a) + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n} (a ) \, (n-1)!} {(v) _ {n}}}, \ qquad \ Re (v)> - a,}$

kde ψ _n ( a ) jsou Bernoulliho polynomy druhého druhu definované generující rovnicí

${\ displaystyle {\ frac {z (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n} \ psi _ {n} (a) \ ,, \ qquad | z | <1 \ ,,}$

Lze to zobecnit na

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {r}} \ součet _ {l = 0} ^ {r-1} \ ln (v + a + l) + {\ frac {1} { r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} N_ {n, r} (a) (n-1)!} {(v) _ { n}}}, \ qquad \ Re (v)> - a, \ quad r = 1,2,3, \ ldots}$

kde polynomy N _{n, r} ( a ) jsou dány následující generující rovnicí

${\ displaystyle {\ frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ součet _ {n = 0} ^ { \ infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, \ qquad | z | <1,}$

takže N _{n, 1} ( a ) = ψ _n ( a ) . Podobné výrazy s logaritmem funkce gama zahrnují tyto vzorce

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {v + a - {\ tfrac {1} {2}}}} \ vlevo \ {\ ln \ gama (v + a) + v - {\ frac {1} {2}} \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! \ right \}, \ qquad \ Re (v)> - a,}$

a

${\ displaystyle \ psi (v) = {\ frac {1} {{\ tfrac {1} {2}} r + v + a-1}} \ left \ {\ ln \ gama (v + a) + v - {\ frac {1} {2}} \ ln 2 \ pi - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 0} ^ {r- 2} (rn-1) \ ln (v + a + n) + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n} N_ {n + 1, r} (a)} {(v) _ {n}}} (n-1)! \ right \},}$

kde a . ${\ displaystyle \ Re (v)> - a}$${\ displaystyle r = 2,3,4, \ ldots}$

Reflexní vzorec

Funkce digamma splňuje odrazový vzorec podobný jako u funkce gama :

${\ displaystyle \ psi (1-x) - \ psi (x) = \ pi \ postýlka \ pi x}$

Opakovací vzorec a charakterizace

Funkce digamma splňuje relaci opakování

${\ displaystyle \ psi (x + 1) = \ psi (x) + {\ frac {1} {x}}.}$

Lze tedy říci, že „dalekohled“ 1 / x , protože jeden má

${\ displaystyle \ Delta [\ psi] (x) = {\ frac {1} {x}}}$

kde Δ je operátor dopředného rozdílu . Tím je uspokojen vztah opakování dílčího součtu harmonické řady , z čehož vyplývá vzorec

${\ displaystyle \ psi (n) = H_ {n-1} - \ gamma}$

kde γ je Euler – Mascheroniho konstanta .

Obecněji řečeno, jeden má

${\ displaystyle \ psi (1 + z) = - \ gamma + \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} \ vlevo ({\ frac {1} {k}} - {\ frac {1} {z + k}} \ vpravo).}$

pro . Další rozšíření série je: ${\ displaystyle Re (z)> 0}$

${\ displaystyle \ psi (1 + z) = \ ln (z) + {\ frac {1} {2z}} - \ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2j }} {2jz ^ {2j}}}}$,

kde jsou čísla Bernoulli. Tato řada se odchyluje od všech z a je známá jako Stirlingova řada . ${\ displaystyle B_ {2j}}$

Ve skutečnosti, ψ je jediným řešením funkčního rovnice

${\ displaystyle F (x + 1) = F (x) + {\ frac {1} {x}}}$

to je monotónní na R ⁺ a splňuje F (1) = - γ . Tato skutečnost okamžitě vyplývá z jedinečnosti gama funkce, vzhledem k jeho opakování rovnice a omezení konvexnost. Z toho vyplývá užitečná rozdílová rovnice:

${\ displaystyle \ psi (x + N) - \ psi (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {1} {x + k}}}$

Některé konečné sumy zahrnující funkci digammy

Existuje mnoho konečných součtových vzorců pro funkci digamma. Základní součtové vzorce, jako např

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) = - m (\ gamma + \ ln m),}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ exp {\ dfrac {2 \ pi rki} {m}} = m \ ln \ left (1- \ exp {\ frac {2 \ pi ki} {m}} \ right), \ qquad k \ in \ mathbb {Z}, \ quad m \ in \ mathbb {N}, \ k \ neq m.}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ cos {\ dfrac {2 \ pi rk} {m }} = m \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} \ right) + \ gamma, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ sin {\ frac {2 \ pi rk} {m }} = {\ frac {\ pi} {2}} (2k-m), \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

jsou kvůli Gaussovi. Složitější vzorce, jako např

${\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {2r + 1} {2m}} \ vpravo) \ cdot \ cos {\ frac {(2r + 1) k \ pi} {m}} = m \ ln \ vlevo (\ tan {\ frac {\ pi k} {2m}} \ vpravo), \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {2r + 1} {2m}} \ vpravo) \ cdot \ sin {\ dfrac {(2r + 1) k \ pi} {m}} = - {\ frac {\ pi m} {2}}, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m} } = - {\ frac {\ pi (m-1) (m-2)} {6}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot {\ frac {r} {m}} = - { \ frac {\ gamma} {2}} (m-1) - {\ frac {m} {2}} \ ln m - {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r} {m}} \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi r} {m}} = - {\ frac {\ pi} {m}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r \ cdot \ sin {\ dfrac {2 \ pi r} {m}}} {\ cos {\ dfrac {2 \ pi r} {m}} - \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi} {m}}}}, \ qquad \ ell \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi \ vlevo ({\ frac {r} {m}} \ vpravo) \ cdot \ sin {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi r} {m}} = - (\ gamma + \ ln 2m) \ cot {\ frac {(2 \ ell +1) \ pi} {2m}} + \ sin {\ dfrac {(2 \ ell + 1) \ pi} {m}} \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {\ ln \ sin {\ dfrac {\ pi r} {m}}} {\ cos {\ dfrac {2 \ pi r} {m}} - \ cos {\ dfrac {(2 \ ell +1) \ pi} {m}}}}, \ qquad \ ell \ in \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ psi ^ {2} \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) = (m-1) \ gamma ^ {2 } + m (2 \ gamma + \ ln 4m) \ ln {m} -m (m-1) \ ln ^ {2} 2 + {\ frac {\ pi ^ {2} (m ^ {2} -3m +2)} {12}} + m \ sum _ {\ ell = 1} ^ {m-1} \ ln ^ {2} \ sin {\ frac {\ pi \ ell} {m}}}$

jsou výsledkem prací některých moderních autorů (viz např. příloha B v Blagouchine (2014)).

Gaussova věta o digammě

Pro pozitivní celá čísla r a m ( r < m ), může být funkce digamma vyjádřena Eulerovy konstanty a konečný počet elementárních funkcí

${\ displaystyle \ psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) = - \ gamma - \ ln (2m) - {\ frac {\ pi} {2}} \ cot \ left ({\ frac {r \ pi} {m}} \ right) +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ left \ lfloor {\ frac {m-1} {2}} \ right \ rfloor} \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi nr} {m}} \ vpravo) \ ln \ sin \ vlevo ({\ frac {\ pi n} {m}} \ vpravo)}$

který platí pro svou racionální rovnici pro všechny racionální argumenty.

Asymptotická expanze

Funkce digamma má asymptotickou expanzi

${\ displaystyle \ psi (z) \ sim \ ln z - {\ frac {1} {2z}} + \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (1-2n)} {z ^ {2n}}} = \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {2n}} {2nz ^ { 2n}}},}$

kde B _k je k th Bernoulliho číslo a ζ je Riemannova zeta funkce . Prvních několik podmínek této expanze je:

${\ displaystyle \ psi (z) \ přibližně \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - {\ frac {1} {12z ^ {2}}} + {\ frac {1} {120z ^ { 4}}} - {\ frac {1} {252z ^ {6}}} + {\ frac {1} {240z ^ {8}}} - {\ frac {1} {132z ^ {10}}} + {\ frac {691} {32760z ^ {12}}} - {\ frac {1} {12z ^ {14}}} + \ cdots.}$

Ačkoli nekonečný součet nekonverguje pro žádné z , jakýkoli konečný částečný součet je čím dál přesnější, jak se z zvyšuje.

Expanzi lze zjistit použitím vzorce Euler-Maclaurin na součet

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vlevo ({\ frac {1} {n}} - {\ frac {1} {z + n}} \ vpravo)}$

Expanzi lze odvodit také z integrálního vyjádření vycházejícího z Binetova druhého integrálního vzorce pro funkci gama. Rozšíření jako geometrická řada a nahrazení integrální reprezentace Bernoulliho čísel vede ke stejné asymptotické řadě jako výše. Kromě toho rozšiřování pouze konečně mnoha termínů řady dává vzorec s výslovným chybovým termínem: ${\ displaystyle t / (t ^ {2} + z ^ {2})}$

${\ displaystyle \ psi (z) = \ ln z - {\ frac {1} {2z}} - \ součet _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2n}} {2nz ^ {2n }}} + (- 1) ^ {N + 1} {\ frac {2} {z ^ {2N}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {2N + 1} \, dt} {(t ^ {2} + z ^ {2}) (e ^ {2 \ pi t} -1)}}.}$

Nerovnosti

Když x > 0 , funkce

${\ displaystyle \ log x - {\ frac {1} {2x}} - \ psi (x)}$

je zcela monotónní a zvláště pozitivní. To je důsledek Bernsteinovy ​​věty o monotónních funkcích aplikované na integrální reprezentaci vycházející z Binetova prvního integrálu pro gama funkci. Navíc nerovností konvexity je integrand v této reprezentaci ohraničen výše znakem . tudíž ${\ displaystyle 1 + t \ leq e ^ {t}}$${\ displaystyle e ^ {- tz} / 2}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - \ log x + \ psi (x)}$

je také zcela monotónní. Z toho vyplývá, že pro všechna x > 0 ,

${\ displaystyle \ log x - {\ frac {1} {x}} \ leq \ psi (x) \ leq \ log x - {\ frac {1} {2x}}.}$

Tím se získá teorém Horst Alzer. Alzer také dokázal, že pro s ∈ (0, 1) ,

${\ displaystyle {\ frac {1-s} {x + s}} <\ psi (x + 1) - \ psi (x + s),}$

Související hranice byly získány Elezović, Giordano a Pecaric, který ukázal, že pro x > 0 ,

${\ displaystyle \ log (x + {\ tfrac {1} {2}}) - {\ frac {1} {x}} <\ psi (x) <\ log (x + e ^ {- \ gamma}) - {\ frac {1} {x}},}$

kde je Euler – Mascheroniho konstanta . Konstanty objevující se v těchto mezích jsou nejlepší možné. ${\ displaystyle \ gamma}$

Střední hodnota teorém vyplývá následující analog Gautschi nerovnosti : je-li x > c , kde c ≈ 1,461 je unikátní kladné reálné kořen funkce digamma, a je-li s > 0 , pak

${\ displaystyle \ exp \ left ((1-s) {\ frac {\ psi '(x + 1)} {\ psi (x + 1)}} \ vpravo) \ leq {\ frac {\ psi (x + 1)} {\ psi (x + s)}} \ leq \ exp \ left ((1 s) {\ frac {\ psi '(x + s)} {\ psi (x + s)}} \ vpravo ).}$

Rovnost navíc platí tehdy a jen tehdy, když s = 1 .

Horzt Alzer a Graham Jameson, inspirovaní nerovností středních hodnot harmonické pro klasickou funkci gama, prokázali mimo jiné nerovnost středních hodnot harmonické pro funkci digamma:

${\ displaystyle - \ gamma \ leq {\ frac {2 \ psi (x) \ psi ({\ frac {1} {x}})} {\ psi (x) + \ psi ({\ frac {1} { X}})}}}$ pro ${\ displaystyle x> 0}$

Rovnost platí tehdy a jen tehdy . ${\ displaystyle x = 1}$

Výpočet a aproximace

Asymptotická expanze poskytuje snadný způsob výpočtu ψ ( x ), když je skutečná část x velká. Chcete-li vypočítat ψ ( x ) pro malé x , relaci opakování

${\ displaystyle \ psi (x + 1) = {\ frac {1} {x}} + \ psi (x)}$

lze použít k posunutí hodnoty x na vyšší hodnotu. Beal navrhuje použít výše uvedené opakování k posunutí x na hodnotu větší než 6 a poté použít výše uvedenou expanzi s termíny nad x ¹⁴ odříznutými, což přináší „více než dostatečnou přesnost“ (alespoň 12 číslic kromě nuly).

Jak x jde do nekonečna, ψ ( x ) se libovolně blíží ln ( x - 1/2) i ln x . Při sestupu z x + 1 na x se ψ sníží o 1 / x , ln ( x - 1/2) se sníží o ln ( x + 1/2) / ( x - 1/2) , což je více než 1 / x a ln x klesá o ln (1 + 1 / x) , což je méně než 1 / x . Z toho vidíme, že pro každé kladné x větší než 1/2 ,

${\ displaystyle \ psi (x) \ in \ left (\ ln \ left (x - {\ tfrac {1} {2}} \ right), \ ln x \ right)}$

nebo pro každé kladné x ,

${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ in \ left (x - {\ tfrac {1} {2}}, x \ right).}$

Exponenciální exp ψ ( x ) je přibližně x - 1/2 pro velké x , ale blíží se k x při malém x , blíží se 0 u x = 0 .

Pro x <1 můžeme vypočítat limity na základě skutečnosti, že mezi 1 a 2, ψ ( x ) ∈ [- γ , 1 - γ ] , takže

${\ displaystyle \ psi (x) \ in \ left (- {{frac {1} {x}} - \ gamma, 1 - {\ frac {1} {x}} - \ gamma \ right), \ quad x \ v (0,1)}$

nebo

${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ in \ left (\ exp \ left (- {\ frac {1} {x}} - \ gamma \ right), e \ exp \ left (- {\ frac {1 } {x}} - \ gamma \ right) \ right).}$

Z výše uvedené asymptotické řady pro ψ lze odvodit asymptotickou řadu pro exp (- ψ ( x )) . Série dobře odpovídá celkovému chování, to znamená, že se chová asymptoticky, jak by měla pro velké argumenty, a má také nulovou neomezenou multiplicitu na počátku.

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ exp \ psi (x)}} \ sim {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {2 \ cdot x ^ {2}}} + {\ frac {5} {4 \ cdot 3! \ cdot x ^ {3}}} + {\ frac {3} {2 \ cdot 4! \ cdot x ^ {4}}} + {\ frac {47} {48 \ cdot 5! \ Cdot x ^ {5}}} - {\ frac {5} {16 \ cdot 6! \ Cdot x ^ {6}}} + \ cdots}$

To je podobné Taylorově expanzi exp (- ψ (1 / y )) na y = 0 , ale nekonverguje. (Funkce není analytická v nekonečnu.) Podobná řada existuje pro exp ( ψ ( x )), která začíná${\ displaystyle \ exp \ psi (x) \ sim x - {\ frac {1} {2}}.}$

Pokud někdo vypočítá asymptotickou řadu pro ψ ( x +1/2) , ukáže se, že neexistují žádné liché mocniny x (neexistuje x x ^-1 člen ). To vede k následující asymptotické expanzi, která šetří výpočetní podmínky sudého řádu.

${\ displaystyle \ exp \ psi \ left (x + {\ tfrac {1} {2}} \ right) \ sim x + {\ frac {1} {4! \ cdot x}} - {\ frac {37} {8 \ cdot 6! \ cdot x ^ {3}}} + {\ frac {10313} {72 \ cdot 8! \ cdot x ^ {5}}} - {\ frac {5509121} {384 \ cdot 10! \ cdot x ^ {7}}} + \ cdots}$

Speciální hodnoty

Funkce digamma má hodnoty v uzavřené formě pro racionální čísla, jako výsledek Gaussovy věty o digammě . Některé jsou uvedeny níže:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ psi (1) & = - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ right) & = - 2 \ ln {2} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {3}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} - {\ frac {3 \ ln {3}} {2}} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {4}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2}} - 3 \ ln { 2} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {6}} \ right) & = - {\ frac {\ pi {\ sqrt {3}}} {2}} - 2 \ ln {2} - {\ frac {3 \ ln {3}} {2}} - \ gamma \\\ psi \ left ({\ tfrac {1} {8}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2}} - 4 \ ln {2} - {\ frac {\ pi + \ ln \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) - \ ln \ left ({\ sqrt {2} } -1 \ right)} {\ sqrt {2}}} - \ gamma. \ End {zarovnáno}}}$

Kromě toho lze snadno odvodit tím , že vezmeme logaritmickou derivaci nebo kde je reálná hodnota ${\ displaystyle | \ Gamma (bi) | ^ {2}}$${\ displaystyle | \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + bi) | ^ {2}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ psi (bi) = {\ frac {1} {2b}} + {\ frac {\ pi} {2}} \ coth (\ pi b),}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} \ psi ({\ tfrac {1} {2}} + bi) = {\ frac {\ pi} {2}} \ tanh (\ pi b).}$

Kromě Gaussovy věty o digammě není pro skutečnou část obecně znám žádný takový uzavřený vzorec. Například máme na imaginární jednotce numerickou aproximaci

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \ psi (i) = - \ gamma - \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {n-1} {n ^ {3} + n ^ {2 } + n + 1}} \ přibližně 0,09465.}$

Kořeny funkce digamma

Kořeny funkce digamma jsou sedlovými body funkce gama s komplexní hodnotou. Leží tedy všichni na skutečné ose . Jediný na kladné reálné ose je jedinečné minimum skutečné hodnoty gama funkce na R ⁺ při x ₀ =1,461 632 144 968 362 341 26 ... . Všechny ostatní se vyskytují samostatně mezi póly na záporné ose:

x ₁ =−0,504 083 008 264 455 409 25 ...

x ₂ =−1 573 498 473 162 390 458 77 ...

x ₃ =−2 610 720 868 444 144 650 00 ...

x ₄ =−3,635 293 366 436 901 097 83 ...

${\ displaystyle \ vdots}$

Charles Hermite to již v roce 1881 zaznamenal

${\ displaystyle x_ {n} = - n + {\ frac {1} {\ ln n}} + O \ left ({\ frac {1} {(\ ln n) ^ {2}}} \ right)}$

drží asymptoticky. Lepší aproximace umístění kořenů je dána vztahem

${\ displaystyle x_ {n} \ cca -n + {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ vlevo ({\ frac {\ pi} {\ ln n}} \ vpravo) \ qquad n \ geq 2}$

a používáním dalšího výrazu je to stále lepší

${\ displaystyle x_ {n} \ cca -n + {\ frac {1} {\ pi}} \ arctan \ left ({\ frac {\ pi} {\ ln n + {\ frac {1} {8n}}}} \ right) \ qquad n \ geq 1}$

skrz které odrazí vzorec odrazu

${\ displaystyle 0 = \ psi (1-x_ {n}) = \ psi (x_ {n}) + {\ frac {\ pi} {\ tan \ pi x_ {n}}}}$

a dosazení ψ ( x _n ) jeho nekonvergentní asymptotickou expanzí. Správný druhý člen této expanze je 1/2 n , kde daný funguje dobře pro aproximaci kořenů s malým n .

Lze uvést další vylepšení Hermitova vzorce:

${\ displaystyle x_ {n} = - n + {\ frac {1} {\ log n}} - {\ frac {1} {2n (\ log n) ^ {2}}} + O \ left ({\ frac {1} {n ^ {2} (\ log n) ^ {2}}} \ vpravo).}$

Pokud jde o nuly, István Mező a Michael Hoffman nedávno prokázali následující identity nekonečného součtu

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2}}} & = \ gamma ^ {2} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {2}}, \\\ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {3}}} & = - 4 \ zeta (3) - \ gamma ^ {3} - {\ frac {\ gamma \ pi ^ {2}} {2}}, \\\ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac { 1} {x_ {n} ^ {4}}} & = \ gamma ^ {4} + {\ frac {\ pi ^ {4}} {9}} + {\ frac {2} {3}} \ gamma ^ {2} \ pi ^ {2} +4 \ gamma \ zeta (3). \ End {zarovnáno}}}$

Obecně platí, že funkce

${\ displaystyle Z (k) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {k}}}}$

lze určit a je podrobně studován citovanými autory.

Následující výsledky

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2} + x_ {n}}} & = - 2, \ \\ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x_ {n} ^ {2} -x_ {n}}} & = \ gamma + {\ frac {\ pi ^ {2 }} {6 \ gamma}} \ end {zarovnáno}}}$

také platí.

Zde γ je Euler – Mascheroniho konstanta .

Regulace

Funkce digamma se objevuje v regularizaci divergentních integrálů

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x + a}},}$

tento integrál lze aproximovat odlišnou obecnou harmonickou řadou, ale k této řadě lze připojit následující hodnotu

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + a}} = - \ psi (a).}$

Viz také

• Funkce Polygamma
• Funkce trigammy
• Čebyševovy expanze funkce digammy ve Wimpovi, Jetovi (1961). Msgstr "Polynomiální aproximace integrálních transformací" . Matematika. Comp . 15 (74): 174–178. doi : 10.1090 / S0025-5718-61-99221-3 .

Reference

externí odkazy

• Sekvence OEIS A020759 (desetinná expanze (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2), kde Gamma (x) označuje funkci Gamma) —psi (1/2)

OEIS :  A047787 psi (1/3), OEIS :  A200064 psi (2/3), OEIS :  A020777 psi (1/4), OEIS :  A200134 psi (3/4), OEIS :  A200135 až OEIS :  A200138 psi (1 / 5) na psi (4/5).