Glosář algebraické topologie - Glossary of algebraic topology

Toto je glosář vlastností a pojmů v algebraické topologii v matematice.

Viz také: glosář topologie , seznam témat algebraické topologie , glosář teorie kategorií , glosář diferenciální geometrie a topologie , časová osa potrubí .

• Konvence : V celém článku, I označuje jednotky interval, S ⁿ na n -sphere a D ⁿ na n -disk. V celém článku se také předpokládá, že mezery jsou přiměřené ; to lze chápat například tak, že prostor je komplex CW nebo kompaktně generovaný slabě Hausdorffův prostor . Podobně se nepokouší o definitivní definici spektra . Simplicial sada není myšlenka jako prostoru; tj. obecně rozlišujeme mezi jednoduchými množinami a jejich geometrickými realizacemi.
• Kritérium zařazení : Protože na Wikipedii momentálně neexistuje glosář homologické algebry , obsahuje tento glosář také několik konceptů v homologické algebře (např. Řetězová homotopie); některé pojmy v geometrické topologii jsou také spravedlivou hrou. Na druhou stranu jsou položky, které se objevují ve slovníku topologie, obecně vynechány. Abstraktní teorie homotopy a teorie motivické homotopy jsou také mimo rozsah. Glosář teorie kategorií pokrývá (nebo bude pokrývat) koncepty v teorii modelových kategorií .

! $ @

*

Základní bod základního prostoru.

${\ displaystyle X _ {+}}$

Pro neomezený prostor X je X ₊ základní prostor získaný přilehlým disjunktním základním bodem.

A

absolutní sousedství zatáhnout

abstraktní

1. Abstraktní teorie homotopy

Adams

1.   John Frank Adams .

2. Adamsova spektrální sekvence .

3. Adamsova domněnka .

4. Adamsův e- invariant .

5. Adamsovy operace .

Alexander dualita

Alexander trik

Alexander trik vytváří část mapy omezení , Top naznačovat homeomorphism skupinu ; a to, že sekce je dána odesláním homeomorfismu do homeomorfismu ${\ displaystyle \ operatorname {Top} (D ^ {n + 1}) \ to \ operatorname {Top} (S ^ {n})}$${\ displaystyle f: S ^ {n} \ až S ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {f}}: D ^ {n + 1} \ až D ^ {n + 1}, \, 0 \ mapsto 0,0 \ neq x \ mapsto | x | f (x / | x |)}$.

Tato část je ve skutečnosti homotopická inverzní.

Analýza Situs

asférický prostor

Asférický prostor

montážní mapa

Atiyah

1.   Michael Atiyah .

2.   Dualita Atiyah .

3. Spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch .

B

barová konstrukce

založený prostor

Dvojice ( X , x ₀ ) se skládá z prostoru X a bodem x ₀ v X .

Betti číslo

Bocksteinův homomorfismus

Borel

Borel dohad .

Homologie Borel – Moore

Borsukova věta

Bott

1.   Raoul Bott .

2. Bott periodicita veta pro jednotnou skupiny říkají: .${\ displaystyle \ pi _ {q} U = \ pi _ {q + 2} U, q \ geq 0}$

3. Bott periodicita veta pro pravoúhlé skupiny říkají: .${\ displaystyle \ pi _ {q} O = \ pi _ {q + 8} O, q \ geq 0}$

Brouwerova věta o pevném bodě

Brouwer pevný bod věta říká, že každá mapa má pevný bod.${\ displaystyle f: D ^ {n} \ až D ^ {n}}$

C

čepičkový produkt

Čechova kohomologie

buněčný

1. Mapa ƒ: X → Y mezi CW komplexy je celulární, pokud pro všechna n .${\ displaystyle f (X ^ {n}) \ podmnožina Y ^ {n}}$

2. Věta o aproximaci buněk říká, že každá mapa mezi CW komplexy je homotopická k buněčné mapě mezi nimi.

3. Buněčná homologie je (kanonická) homologie komplexu CW. Všimněte si, že to platí pro CW komplexy a ne pro mezery obecně. Buněčná homologie je vysoce vypočítatelná; je zvláště užitečný pro prostory s přirozenými buněčnými rozklady, jako jsou projektivní prostory nebo Grassmannian.

řetězová homotopie

Vzhledem k tomu, mapuje řetěz mezi komplexy řetězu modulů, je řetěz homotopy y z f o g je sekvence homomorfismů modulu splňujících .${\ displaystyle f, g: (C, d_ {C}) \ do (D, d_ {D})}$ ${\ displaystyle s_ {i}: C_ {i} \ až D_ {i + 1}}$${\ displaystyle f_ {i} -g_ {i} = d_ {D} \ circ s_ {i} + s_ {i-1} \ circle d_ {C}}$

řetězová mapa

Řetězová mapa mezi řetězovými komplexy modulů je sekvence homomorfismů modulů, která dojíždí s diferenciály; tj .${\ displaystyle f: (C, d_ {C}) \ do (D, d_ {D})}$${\ displaystyle f_ {i}: C_ {i} \ až D_ {i}}$${\ displaystyle d_ {D} \ circ f_ {i} = f_ {i-1} \ circ d_ {C}}$

ekvivalence homotopie řetězce

Mapa řetězce, která je izomorfismem až po homotopii řetězce; to znamená, že pokud ƒ : C → D je řetězová mapa, pak je to ekvivalence řetězové homotopie, pokud existuje řetězová mapa g : D → C taková, že g ƒ a ƒ g jsou řetězové homotopické k homomorfismům identity na C a D , resp.

změna vlákna

Změna vlákna části fibration p je homotopy ekvivalence, až homotopy, mezi vlákna p indukovaných cesty v základně.

odrůda znaků

Odrůda charakter ze skupiny n a algebraické skupina G (např redukční komplex Lie skupina) je geometrický neměnný teorie kvocient podle G :

${\ displaystyle {\ mathcal {X}} (\ pi, G) = \ operatorname {Hom} (\ pi, G) / \! / G}$.

charakteristická třída

Nechť Vect ( X ) je množina izomorfismu třídy vektorových svazků na X . Můžeme se dívat jako na kontravariantní funktor od shora k sadě zasláním mapy ƒ: X → Y do zpětného tahu ƒ ^* podél ní. Pak charakteristika třída je přírodní transformace z VECT do kohomologie functor H ^* . Výslovně každému vektorovému svazku E přiřadíme třídu kohomologie, řekněme c ( E ). Přiřazení je přirozené v tom smyslu, že ƒ ^* c ( E ) = c (ƒ ^* E ).${\ displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Vect} (X)}$

chromatická homotopická teorie

chromatická homotopická teorie .

třída

1.   třída Chern .

2.   Třída Stiefel – Whitney .

třídicí prostor

Volně řečeno, klasifikační prostor je prostor představující nějaký kontravariantní funktor definovaný v kategorii prostorů; například je klasifikační prostor v tom smyslu, že je to funktor, který posílá prostor do sady tříd izomorfismu skutečných vektorových svazků v prostoru.${\ displaystyle BU}$${\ displaystyle [-, BU]}$${\ displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Vect} ^ {\ mathbb {R}} (X)}$

svíral

Cobarova spektrální sekvence

cobordism

1. Viz cobordism .

2. Kroužek cobordismu je kruh, jehož prvky jsou třídami cobordismu.

3. Viz také h-cobordism větu , s-cobordism teorém .

koeficient prsten

Pokud E je kruhové spektrum, pak jeho koeficientovým kruhem je kruh .${\ displaystyle \ pi _ {*} E}$

sekvence cofiber

Sekvence cofiber je jakákoli sekvence, která je ekvivalentní sekvenci pro některé ƒ, kde je redukovaný mapovací kužel ƒ (nazývaný cofiber of ƒ).${\ displaystyle X {\ přesahující {f} {\ to}} Y \ až C_ {f}}$${\ displaystyle C_ {f}}$

cofibrant aproximace

cofibration

Mapa je cofibration, pokud splňuje vlastnost: dané a homotopy takové, že existuje homotopy takové, že . Cofibration je injective a je homeomorphism na jeho obraz.${\ displaystyle i: A \ až B}$${\ displaystyle h_ {0}: B \ až X}$${\ displaystyle g_ {t}: od A do X}$${\ displaystyle g_ {0} = h_ {0} \ circ i}$${\ displaystyle h_ {t}: B \ až X}$${\ displaystyle h_ {t} \ circ i = g_ {t}}$

koherentní homotopy

soudržnost

Viz koherence (teorie homotopy)

cohomotopy skupina

Na bázi prostor X , soubor homotopických tříd se nazývá n -tý cohomotopy skupinu s X .${\ displaystyle [X, S ^ {n}]}$

cohomologická operace

dokončení

složitý bordismus

komplexně orientovaný

Multiplikativní kohomologická teorie E je komplexně orientovaná, pokud je restrikční mapa E ² ( C P ^∞ ) → E ² ( C P ¹ ) surjektivní.

kužel

Kužel nad prostor X je . Snížená kužel se získá ze sníženého válce tím, padá na vrchol.${\ displaystyle CX = X \ krát I / X \ krát \ {0 \}}$ ${\ displaystyle X \ klín I _ {+}}$

spojovací

Spektrum E je spojovací, pokud pro všechna záporná celá čísla q .${\ displaystyle \ pi _ {q} E = 0}$

konfigurační prostor

konstantní

Konstantní svazek na prostor X je svazek na X tak, že pro některé sady A a některé mapy , přírodní mapa je bijective pro všechny x v X .${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle A \ až {\ mathcal {F}} (X)}$${\ displaystyle A \ až {\ mathcal {F}} (X) \ až {\ mathcal {F}} _ {x}}$

kontinuální

Kontinuální kohomologie .

smluvní prostor

Mezera je kontrakční, pokud je mapa identity v prostoru homotopická s konstantní mapou.

krytina

Mapa 1. p : Y → X je krytina nebo krycí mapa pokud každý bod x má sousedství N , která je rovnoměrně pokryté pomocí p ; to znamená, že předobraz N je disjunktní sjednocení otevřených množin, z nichž každá se mapuje na N homeomorfně.

2. Je n -list, pokud každé vlákno p ⁻¹ ( x ) má přesně n prvků.

3. Je univerzální, pokud je Y jednoduše připojeno.

4. morphism z krytiny je mapa přes X . Zejména automorfismus krycího p : Y → X (nazývaný také transformace paluby ) je mapa Y → Y nad X, která má inverzní; tj homeomorphism přes X .

5. G -covering je krycí vyplývající z působení skupiny na prostoru X skupinou G , krycí mapa je mapa se podíl z X do prostoru orbit X / G . Pojem se používá ke stanovení univerzální vlastnosti: pokud X připouští univerzální krytí (zejména spojené), pak

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X, x_ {0}), G)}$je sada tříd izomorfismu G- obalů.

Zejména je-li G abelian, pak je levá strana (srov. Nonabelianská kohomologie ).${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (\ pi _ {1} (X, x_ {0}), G) = \ operatorname {H} ^ {1} (X; G)}$

pohárový produkt

CW komplex

CW komplex je prostor X vybaven konstrukcí CW; tj. filtrace

${\ displaystyle X ^ {0} \ podmnožina X ^ {1} \ podmnožina X ^ {2} \ podmnožina \ cdots \ podmnožina X}$

tak, že (1) X ⁰ je diskrétní a (2) X ⁿ se získá z X ^{n -1} připojením n- buněk.

cyklická homologie

D

palubní transformace

Další termín pro automorfismus krytiny.

Deligne – Beilinsonova kohomologie

Deligne – Beilinsonova kohomologie

delooping

cyklus degenerace

stupeň

E

Argument Eckmann – Hilton

Argument Eckmann – Hilton .

Dualita Eckmann – Hilton

Eilenberg – MacLaneovy mezery

Vzhledem k abelianské skupině π jsou prostory Eilenberg – MacLane charakterizovány ${\ displaystyle K (\ pi, n)}$

${\ displaystyle \ pi _ {q} K (\ pi, n) = {\ begin {případů} \ pi & {\ text {if}} q = n \\ 0 & {\ text {jinak}} \ end {případů }}}$.

Eilenberg – Steenrodovy axiomy

Tyto Eilenberg-Steenrod axiómy jsou množina axiomů, že každá teorie kohomologie (singulární, buněčný, atd.), Musí splňovat. Oslabení axiomů (jmenovitě zrušení dimenzionálního axiomu) vede k zobecněné teorii kohomologie .

Eilenberg – Zilberova věta

E _n -algebra

ekvivariační algebraická topologie

Ekvivariantní algebraická topoloy je studium prostorů s (spojitou) skupinovou akcí .

přesný

Sekvence špičatých sady je přesný v případě, že obraz f shoduje s pre-obraz zvoleného bodu Z .${\ displaystyle X {\ overset {f} {\ to}} Y {\ overset {g} {\ to}} Z}$

vyříznutí

Vyříznutí axiom homologie říká: jestliže a , pak pro každý q , ${\ displaystyle U \ podmnožina X}$${\ displaystyle {\ overline {U}} \ podmnožina \ operatorname {int} (A)}$

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {q} (XU, AU) \ to \ operatorname {H} _ {q} (X, A)}$

je izomorfismus.

exkaktní pár / triáda

F

faktorizační homologie

ekvivalence homotopy vláken

Vzhledem k tomu, D → B , E → B , mapa ƒ: D → E nad B je vlákny homotopy ekvivalence , pokud je invertible až Homotopie nad B . Základní skutečností je, že pokud D → B , E → B jsou fibrace, pak homotopická ekvivalence od D do E je ekvivalence homotopy vláken.

fibrace

Mapa p : E → B je fibrace, pokud pro jakoukoli danou homotopii a mapa taková existuje homotopie taková . (Výše uvedená vlastnost se nazývá vlastnost zvedání homotopy .) Krycí mapa je základním příkladem fibrace.${\ displaystyle g_ {t}: X \ až B}$${\ displaystyle h_ {0}: X \ až E}$${\ displaystyle p \ circ h_ {0} = g_ {0}}$${\ displaystyle h_ {t}: X \ až E}$${\ displaystyle p \ circ h_ {t} = g_ {t}}$

fibrační sekvence

Jeden říká, že fibrační sekvence znamená, že p je fibrace a že F je homotopie ekvivalentní homotopickému vláknu p , s určitým pochopením základních bodů.${\ displaystyle F \ až X {\ přesahující {p} {\ to}} B}$

konečně dominuje

základní třída

základní skupina

Základní skupina z prostoru X se základním bodem x ₀ je skupina homotopických tříd smyček na x ₀ . Je to přesně první homotopická skupina ( X , x ₀ ) a je tedy označena .${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

základní grupoid

Základní Grupoid z prostoru X je kategorie, jehož objekty jsou body X a jehož morphisms x → y jsou homotopy třídy cest od x do y ; množina všech morfismů od objektu x ₀ k sobě samému je tedy ze své podstaty základní skupina .${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$

volný, uvolnit

Synonymum pro nezařazené. Například volná dráha prostor vesmírné X označuje prostor všech map z I až X ; tj. zatímco prostor cesty základního prostoru X se skládá z takové mapy, která zachovává základní bod (tj. 0 jde do základního bodu X ).${\ displaystyle X ^ {I}}$

Freudenthalova věta o suspenzi

Pro nondegenerately bázi prostoru X se suspenze Freudenthal věta říká: pokud X je ( n -1) -connected, potom se suspenze homomorfismus

${\ displaystyle \ pi _ {q} X \ až \ pi _ {q + 1} \ Sigma X}$

je bijective pro q <2 n - 1 a je surjektivní, pokud q = 2 n - 1.

G

G-fibrace

G-fibration s nějakým topologického monoidu G . Příkladem je Mooreova dráha prostorová fibrace .

Γ-prostor

zobecněná teorie cohomologie

Zobecněná teorie cohomology je contravariant functor z kategorie dvojic prostorů do kategorie abelian skupin, které splňuje všechna Eilenberg-Steenrod axiomy kromě kóty axiom.

domněnka o geometrizaci

domněnka o geometrizaci

rod

skupinové dokončení

Grouplike

O H-prostoru X se říká, že je skupinový nebo podobný skupině , pokud je to skupina ; tj. X splňuje skupinové axiomy až po homotopii.${\ displaystyle \ pi _ {0} X}$

Gysinová sekvence

H

h-cobordism

h-cobordism .

Hilton – Milnorova věta

Hilton-Milnor věta .

H-prostor

H-prostor je založen na prostor, který je unital magma až homotopy.

homologus

Dva cykly jsou homologus, pokud patří do stejné třídy homologie.

kategorie homotopy

Nechť C je podkategorií kategorie všech prostorů. Pak homotopy kategorie z C je kategorie jehož třída objektů je stejná jako třída objektů C , ale sada morfizmö z objektu x k objektu y je množina z homotopických tříd morphisms od x do y v C . Například mapa je homotopická ekvivalence právě tehdy, pokud se jedná o izomorfismus v kategorii homotopy.

homotopy colimit

homotopy nad prostorem B

Homotopy h _t tak, aby pro každé pevné t , h _t je mapa přes B .

homotopická ekvivalence

1. Mapa ƒ: X → Y je homotopická ekvivalence, pokud je invertibilní až po homotopii; to znamená, že existuje mapu g: Y → X takové, že g ∘ ƒ znamená homotopická na th mapa identity na X a ƒ ∘ g znamená homotopické na mapu identity na Y .

2. O dvou mezerách se říká, že jsou ekvivalentem homotopy, pokud mezi nimi existuje rovnocennost homotopy. Například podle definice je prostor kontrakční, pokud je homotopy ekvivalentní bodovému prostoru .

homotopická excizní věta

Homotopy vyříznutí věta je náhradou za selhání vyříznutí pro homotopických skupin.

homotopy vlákno

Homotopy vlákno z mapových ƒ: X → Y , označil F ƒ, je stáhnout zpět z podél f .${\ displaystyle PY \ až Y, \, \ chi \ mapsto \ chi (1)}$

homotopy vláknový produkt

Výrobek z vláken je zvláštním druhem limitu . Nahrazením této mezní mezní hodnoty mezní hodnotou homotopy získá produkt homotopické vlákno .

homotopická skupina

1. Pro založený prostor X , let , sadu tříd homotopy založených map. Poté je sada dráhy připojené složek X , je základní skupinou X a jsou (vyšší) n -tý homotopy skupin z X .${\ displaystyle \ pi _ {n} X = [S ^ {n}, X]}$${\ displaystyle \ pi _ {0} X}$${\ displaystyle \ pi _ {1} X}$${\ displaystyle \ pi _ {n} X, \, n \ geq 2}$

2. U prostor bázi je relativní homotopy skupina je definována jako prostoru cest, že všechny počáteční v základním bodu X a koncové někde v A . Ekvivalentně je to vlákno homotopy z .${\ displaystyle A \ podmnožina X}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} (X, A)}$${\ displaystyle \ pi _ {n-1}}$${\ displaystyle \ pi _ {n-1}}$${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

3. Pokud E je spektrum, pak${\ displaystyle \ pi _ {k} E = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k + n} E_ {n}.}$

4. Pokud X je založen na prostor, pak je stabilní k -tý homotopy skupina z X je . Jinými slovy, to je K -tý homotopy skupina suspenze spektra X .${\ displaystyle \ pi _ {k} ^ {s} X = \ varinjlim _ {n} \ pi _ {k + n} \ Sigma ^ {n} X}$

homotopický kvocient

Jestliže G je Lie skupina působící na potrubí X , pak je podíl prostor se nazývá homotopy kvocient (nebo Borel konstrukce), z X od G , kde EG je univerzální svazek G .${\ displaystyle (EG \ krát X) / G}$

homotopická spektrální sekvence

homotopy koule

Hopf

1.   Heinz Hopf .

2.   Hopfův invariant .

3. Hopfova věta o indexu .

4.   Hopfova konstrukce .

Hurewicz

Hurewicz věta stanoví vztah mezi homotopických skupinami a homologie skupin.

Já

nekonečný prostor smyčky

nekonečný smyčkový vesmírný stroj

Nekonečný smyčkový vesmírný stroj .

nekonečný mapovací dalekohled

integrace podél vlákna

izotopy

J

J-homomorfismus

Viz J-homomorfismus .

připojit

Připojit na bázi prostory X , Y je${\ displaystyle X \ star Y = \ Sigma (X \ klín Y).}$

K.

k -invariant

Kan komplex

Viz komplex Kan .

Kervaire neměnný

Kervaire neměnný .

Koszulská dualita

Koszulská dualita .

Künneth vzorec

L

Lazardův prsten

Lazard kroužek L je (velký) komutativní prsten spolu s formálním skupiny zákona ƒ, který je univerzální mezi všemi zákony formálních skupin v tom smyslu, že jakýkoli formální skupina zákon g přes komutativní prsten R je získaná prostřednictvím okruhový homomorfismus L → R mapování ƒ na g . Podle Quillenovy věty je to také koeficientový prstenec komplexního bordismu MU. Spec of L se nazývá moduly prostor zákonů formální skupiny .

Lefschetzova věta o pevném bodě

Lefschetz pevným bodem věta říká: vzhledem k tomu, konečná simplicial komplex K a jeho geometrické realizace X , je-li mapa nemá žádný pevný bod, pak počet Lefschetz z f ; to je ${\ displaystyle f: X \ až X}$

${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {q} \ operatorname {tr} (f _ {*}: \ operatorname {H} _ {q} (X) \ to \ operatorname { H} _ {q} (X))}$

je nula. Například implikuje Brouwerovu větu o pevném bodě, protože Lefschetzův počet je, jak zmizí vyšší homologie, jedna.${\ displaystyle f: D ^ {n} \ až D ^ {n}}$

prostor pro čočky

Prostor čočky je kvocientový prostor, kde je skupina p -tých kořenů jednoty působících na jednotkovou sféru .${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} ^ {n} || z | = 1 \} / \ mu _ {p}}$${\ displaystyle \ mu _ {p}}$${\ displaystyle \ zeta \ cdot (z_ {1}, \ tečky, z_ {n}) = (\ zeta z_ {1}, \ tečky, \ zeta z_ {n})}$

Lerayova spektrální sekvence

místní koeficient

1. Modul přes skupinový kruh pro určitý prostor B ; jinými slovy, abelianská skupina spolu s homomorfismem .${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ pi _ {1} B]}$${\ displaystyle \ pi _ {1} B \ na \ operatorname {Aut} (A)}$

2. místní koeficient systém přes bázi prostor B se skupina abelian A je svazek vláken přes B s diskrétním vláken A . Pokud B připustí univerzální pokrytí , pak se tento význam shoduje s významem 1. v tom smyslu: každý systém lokálních koeficientů nad B může být uveden jako přidružený svazek .${\ displaystyle {\ widetilde {B}}}$ ${\ displaystyle {\ widetilde {B}} \ krát _ {\ pi _ {1} B} A}$

místní sféra

Lokalizace koule na nějakém prvočísle

lokalizace

místně konstantní svazek

Místně konstantní snop na vesmírné X je svazek tak, že každý bod X má otevřenou sousedství, na kterém svazek je konstantní .

prostor smyčky

Smyčka prostor na bázi prostoru X je prostor všech smyček začíná a končí v základním bodu X .${\ displaystyle \ Omega X}$

M

Madsen – Weissova věta

mapování

1.  

Mapování kužel mapového ƒ: X → Y je dosaženo lepením kužel nad X na Y .

Mapování kužel (nebo cofiber) mapového ƒ: X → Y je .${\ displaystyle C_ {f} = Y \ cup _ {f} CX}$

2. Válec mapování mapy ƒ: X → Y je . Poznámka: .${\ displaystyle M_ {f} = Y \ pohár _ {f} (X \ krát I)}$${\ displaystyle C_ {f} = M_ {f} / (X \ krát \ {0 \})}$

3. Zmenšené verze výše uvedené jsou získány použitím zmenšeného kuželu a zmenšeného válce.

4. Prostor mapovací cesty P _p mapy p : E → B je zpětná vazba podél p . Pokud p je fibrace, pak přirozená mapa E → P _p je ekvivalence homotopy vláken ; tedy zhruba řečeno, lze nahradit E prostorem mapovací cesty, aniž by se změnil typ homotopy vlákna.${\ displaystyle B ^ {I} \ do B}$

Mayer – Vietorisova sekvence

kategorie modelu

Prezentace kategorie ∞ . Viz také kategorie modelů .

Mooreův prostor

multiplikativní

Generalizované kohomologie teorie E je multiplikativní, pokud E ^* ( X ) je odstupňovaná kruh . Například běžné teorie kohomologie komplexu K -Teorie jsou multiplikativní (ve skutečnosti, kohomologie teorie definována E _∞ -rings jsou multiplikativní).

N

n -článek

Další výraz pro n -disk.

n -connected

Založila prostor X je n -connected pokud pro všechna celá čísla q ≤ n . Například „1 připojeno“ je totéž jako „ jednoduše připojeno “.${\ displaystyle \ pi _ {q} X = 0}$

n- ekvivalent

NDR pár

Dvojice prostorů se říká, že je NDR páry (= sousedství deformace vyjetí pár) v případě, že je mapa a homotopy tak, že , , a . Pokud A je uzavřený podprostor X , pak je dvojicí pár NDR, pokud a pouze pokud jde o kofibraci .${\ displaystyle A \ podmnožina X}$${\ displaystyle u: X \ to I}$${\ displaystyle h_ {t}: X \ až X}$${\ displaystyle A = u ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle h_ {0} = \ operatorname {id} _ {X}}$${\ displaystyle h_ {t} | _ {A} = \ operatorname {id} _ {A}}$${\ displaystyle h_ {1} (\ {x | u (x) <1 \}) \ podmnožina A}$
${\ displaystyle A \ podmnožina X}$${\ displaystyle A \ hookrightarrow X}$

nilpotentní

1.   nilpotentní prostor ; například jednoduše spojený prostor je nilpotentní.

2. Nilpotentní věta .

nonabelian

1.   neabelská kohomologie

2.   nonabelianská algebraická topologie

normalizováno

Vzhledem k tomu, simplicial skupina G je komplex normalizovaný řetězec NG z G je dána s n -tý rozdíl dané ; intuitivně člověk vyhodí zdegenerované řetězy. Také se mu říká Mooreův komplex .${\ displaystyle (NG) _ {n} = \ cap _ {1} ^ {\ infty} \ operatorname {ker} d_ {i} ^ {n}}$${\ displaystyle d_ {0} ^ {n}}$

Ó

obstrukční cyklus

teorie obstrukce

Teorie obstrukce je soubor konstrukcí a výpočtů, které označují, kdy lze nebo nelze rozšířit nějakou mapu na podmanifu (subkomplexu) na celé potrubí. Ty obvykle zahrnují věž Postnikov , zabíjení skupin homotopy , obstrukční cykly atd.

konečného typu

Komplex CW je konečného typu, pokud je v každé dimenzi pouze konečně mnoho buněk.

operad

Portmanteau „operací“ a „monády“. Viz operad .

kategorie oběžné dráhy

orientace

1. Orientační kryt (nebo orientační dvojitý kryt) potrubí je dvouplášťový, takže každé vlákno přes x odpovídá dvěma různým způsobům orientace sousedství x .

2. Orientace rozdělovače je část orientačního krytu; tj. důsledná volba bodu v každém vlákně.

3. Orientační znak (nazývaný také první třída Stiefel – Whitney ) je skupinový homomorfismus, který odpovídá orientačnímu zakrytí potrubí X (viz #covering ).${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) \ do \ {\ pm 1 \}}$

4. Viz také orientace vektorového svazku a orientační svazek .

P

p -adická homotopická teorie

P teorie -adic homotopy .

třída cesty

Třída ekvivalence cest (dvě cesty jsou ekvivalentní, pokud jsou navzájem homotopické).

zvedání dráhy

Cesta zdvihací funkce na mapovém p : E → B je část , kde je mapování cesta prostor na str . Například krytina je fibrace s jedinečnou funkcí zvedání dráhy. Z formálního hlediska je mapa fibrací právě tehdy, pokud pro ni existuje funkce zvedání cesty.${\ displaystyle E ^ {I} \ na P_ {p}}$${\ displaystyle P_ {p}}$

prostor cesty

Cesta prostor na bázi prostoru X je , prostor map na bázi, kde je základní bod I je 0. Put jiným způsobem, to je (set-teoretický) vlákna přes základní bod X . Projekce se nazývá fibrace prostoru dráhy , jejíž vlákno nad základním bodem X je prostor smyčky . Viz také mapování prostoru cesty .${\ displaystyle PX = \ operatorname {Mapa} (I, X)}$${\ displaystyle X ^ {I} \ až X, \, \ chi \ mapsto \ chi (0)}$${\ Displaystyle PX \ až X, \, \ chi \ mapsto \ chi (1)}$${\ displaystyle \ Omega X}$

fantomová mapa

Poincaré

1. Věta o Poincaréově dualitě říká: vzhledem k rozmanitosti M dimenze n a abelianské skupině A existuje přirozený izomorfismus

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {c} ^ {*} (M; A) \ simeq \ operatorname {H} _ {n - *} (M; A)}$.

2.   Poincarého domněnka

Konstrukce Pontrjagin – Thom

Postnikovův systém

Systém Postnikov je sekvence fibrací, takže všechna předchozí potrubí mají mizející homotopické skupiny pod danou dimenzí.

hlavní fibrace

Obvykle synonymem pro G- fibraci .

profinitní

teorie homotopy profinite ; studuje nekonečné prostory .

správně nesouvislé

Není to příliš přesný termín. Mohlo by to ale například znamenat, že G je diskrétní a každý bod G- prostoru má sousedství V takové, že pro každé g v G, které není prvkem identity, protíná gV V v konečně mnoha bodech.

zarazit

Vzhledem k tomu, mapy p : E → B , tím ústupem z p podél ƒ : X → B je prostor (stručně je ekvalizér o p a f ). Je to prostor přes X prostřednictvím projekce.${\ displaystyle f ^ {*} E = \ {(e, x) \ v E \ krát X | p (e) = f (x) \}}$

Sekvence puppe

Sekvence Puppe označuje kteroukoli ze sekvencí

${\ displaystyle X {\ nadměrné {f} {\ to}} Y \ do C_ {f} \ do \ Sigma X \ do \ Sigma Y \ do \ cdots,}$

${\ displaystyle \ cdots \ k \ Omega X \ k \ Omega Y \ k F_ {f} \ k X {\ přesahující {f} {\ to}} Y}$

kde jsou homotopy cofiber a homotopy vlákno f .${\ displaystyle C_ {f}, F_ {f}}$

vystrčit

Vzhledem k tomu, a mapa se pushout z X a B spolu f je ${\ displaystyle A \ podmnožina B}$${\ displaystyle f: A \ až X}$

${\ displaystyle X \ cup _ {f} B = X \ sqcup B / (a ​​\ sim f (a))}$;

to je X a B jsou slepeny dohromady podél A až f . Mapa f se obvykle nazývá připojovací mapa.

Důležitým příkladem je, když B = D ⁿ , =

S ^{n -1} ; v tomto případě, vytvoření takové pushout se nazývá připevnění n -buněk (což znamená n -disk) na X .

Q

kvazi-fibrace

Kvazi-fibration je mapa tak, že vlákna jsou homotopy ekvivalentní ke každému jiný.

Quillen

1.   Daniel Quillen

2. Quillenova věta říká, že to je Lazardův prsten .${\ displaystyle \ pi _ {*} MU}$

R

Racionální

1. Racionální teorie homotopy .

2. Racionalizace z prostoru X je, zhruba se lokalizace z X na nulu. Přesněji, X ₀ spolu s j : X → X ₀ je racionalizace X, pokud mapa indukovaná j je izomorfismem vektorových prostorů a .${\ displaystyle \ pi _ {*} X \ otimes \ mathbb {Q} \ to \ pi _ {*} X_ {0} \ otimes \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ pi _ {*} X_ {0} \ otimes \ mathbb {Q} \ simeq \ pi _ {*} X_ {0}}$

3. racionální homotopy typ z X je slabý typ homotopy o X ₀ .

regulátor

1.   Borelův regulátor .

2.   Beilinsonův regulátor .

Reidemeister

Reidemeister torze .

snížena

Snížená suspenze na bázi prostoru X je smeč produkt . Souvisí to s funktorem smyčky podle toho, kde je prostor smyčky.${\ displaystyle \ Sigma X = X \ klín S ^ {1}}$${\ displaystyle \ operatorname {Mapa} (\ Sigma X, Y) = \ operatorname {Mapa} (X, \ Omega Y)}$${\ displaystyle \ Omega Y = \ operatorname {Mapa} (S ^ {1}, Y)}$

kruhové spektrum

Kroužek spektrum je spektrum, které splňující kruhové axiomy, a to buď z nosu nebo do homotopy. Například komplexní K-teorie je kruhové spektrum.

S

Produkt Samelson

Serre

1.   Jean-Pierre Serre .

2.   Serre třída .

3.   Serre spektrální sekvence .

jednoduchý

ekvivalence jednoduché homotopy

Mapa ƒ: X → Y mezi konečnými zjednodušenými komplexy (např. Potrubí) je ekvivalencí jednoduché homotopy, pokud je homotopická ke složení konečně mnoha elementárních expanzí a elementárních kolapsů . Ekvivalence homotopy je ekvivalence jednoduché homotopy tehdy a jen tehdy, když její torze Whitehead zmizí.

zjednodušená aproximace

Viz zjednodušená věta o aproximaci .

zjednodušený komplex

Viz zjednodušený komplex ; základním příkladem je triangulace potrubí.

zjednodušená homologie

Simplicial homologie je (kanonická) homologie simpliciální komplexu. Všimněte si, že to platí pro zjednodušené komplexy a ne pro mezery; srov. # singulární homologie .

podpis invariantní

jednotné číslo

1. Vzhledem k tomu, prostor X a skupina abelian n, na singulární homologie skupinu o X s koeficienty v π je

${\ displaystyle \ operatorname {H} _ {*} (X; \ pi) = \ operatorname {H} _ {*} (C _ {*} (X) \ otimes \ pi)}$

kde je singulární řetězec komplexu z X ; tj n -tý stupeň kus je volná skupina abelian vyrobené ve všech mapách ze standardního n -simplex na X . Singulární homologie je zvláštní případ zjednodušené homologie ; skutečně, pro každý prostor X , je zde singulární simplicial komplex z X , jehož homologie je singulární homologie X .${\ displaystyle C _ {*} (X)}$${\ displaystyle \ trojúhelník ^ {n} \ až X}$

2. Funktor singulárních jednoduchostí je funktor z kategorie všech prostorů do kategorie jednoduchých množin, tj. Pravý adjunktor k funktoru geometrické realizace .${\ displaystyle \ mathbf {začátek} \ to s \ mathbf {sada}}$

3. singulární simplicial komplex z prostoru X je normalizovaný řetězec komplexu singulární simplex z X .

šikmý produkt

argument malého objektu

rozbít produkt

Smeč produkt z založená prostory X , Y je . Je charakterizován adjunkčním vztahem ${\ displaystyle X \ klín Y = X \ krát Y / X \ vee Y}$

${\ displaystyle \ operatorname {Mapa} (X \ klín Y, Z) = \ operatorname {Mapa} (X, \ operatorname {Mapa} (Y, Z))}$.

Spanier – Whitehead

Spanier-Whitehead dualita .

spektrum

Zhruba posloupnost mezer spolu s mapami (nazývanými mapy struktury) mezi po sobě následujícími podmínkami; viz spektrum (topologie) .

koule svazek

Koule svazek je svazek vláken, jehož vlákna jsou kuličky.

sférické spektrum

Koule spektrum je spektrum se skládá z řady kuliček spolu s mapami mezi koulemi daných suspenzí. Stručně řečeno, je suspenze spektrum o .${\ displaystyle S ^ {0}, S ^ {1}, S ^ {2}, S ^ {3}, \ dots}$${\ displaystyle S ^ {0}}$

stabilní homotopická skupina

Viz skupina #homotopy .

Steenrodova homologie

Steenrodova homologie .

Provoz Steenrod

Sullivan

1.   Dennis Sullivan .

2. Sullivanova domněnka .

3.   Infinitezimální výpočty v topologii , 1977- zavádí racionální teorii homotopy (spolu s Quillenovou prací).

4. Sullivanova algebra v racionální teorii homotopy.

závěsné spektrum

Suspenze spektrum na bázi prostoru X je spektrum dána .${\ displaystyle X_ {n} = \ Sigma ^ {n} X}$

symetrické spektrum

Viz symetrické spektrum .

T

Thom

1.   René Thom .

2. Pokud E je vektor svazek na paracompact prostoru X , pak se Thom prostor z E se získá nejprve nahradí každé vlákno jeho compactification a pak padá základní X .${\ displaystyle {\ text {Th}} (E)}$

3. Thom izomorfismus říká: pro každou orientable vektor svazek E hodnosti n na potrubí X , výběr orientaci (dále třída Thom z E ), indukuje izomorfismus

${\ displaystyle {\ widetilde {\ operatorname {H}}} ^ {* + n} ({\ text {Th}} (E); \ mathbb {Z}) \ simeq \ operatorname {H} ^ {*} ( X; \ mathbb {Z})}$.

topologická chirální homologie

převod

přestupek

U

univerzální koeficient

Univerzální koeficient teorém .

až po homotopii

Výrok platí v kategorii homotopy na rozdíl od kategorie mezer.

PROTI

van Kampen

Van Kampen věta říká: Je-li mezera X je cesta-připojený a je-li x ₀ je bod v X , pak

${\ displaystyle \ pi _ {1} (X, x_ {0}) = \ varinjlim \ pi _ {1} (U, x_ {0})}$

kde colimit běží přes nějaký otevřený kryt X sestávající z otevřených podmnožin spojených s cestou obsahujících x ₀ tak, že kryt je uzavřen pod konečnými průsečíky.

Ž

Waldhausenova konstrukce

Waldhausenova konstrukce .

Wall je překážka konečnosti

slabá rovnocennost

Mapa ƒ: X → Y založených prostorů je slabou ekvivalencí, pokud je pro každé q indukovaná mapa bijektivní.${\ displaystyle f _ {*}: \ pi _ {q} X \ až \ pi _ {q} Y}$

klín

Pro bázi prostory X , Y je klín produkt z X a Y je vedlejší produkt z X a Y ; konkrétně se to získá tak, že se vezme jejich disjunktní spojení a poté se identifikují příslušné základní body.${\ displaystyle X \ klín Y}$

dobře ukázal

Základní prostor je dobře zašpičatělý (nebo nedegenerovaně založený), pokud zahrnutí základního bodu představuje kofibraci.

Whitehead

1.   JHC Whitehead .

2.   Whiteheadova věta říká, že pro CW komplexy je homotopická ekvivalence stejná věc jako slabá ekvivalence .

3.   Skupina Whitehead .

4.   Produkt Whitehead .

číslo vinutí

Poznámky

Reference

• Adams, JF (1974). Stabilní homotopy a generalizovaná homologie . Chicago přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-00524-9.
• Adams, JF (1978). Nekonečné smyčkové prostory . Princeton University Press. ISBN 0-691-08206-5.
• Bott, Raoul ; Tu, Loring (1982), Diferenciální formy v algebraické topologii , Springer, ISBN 0-387-90613-4
• Bousfield, AK; Kan, DM (1987), Homotopy Limits, Completions and Localizations , Lecture Notes in Mathematics, 304 , Springer, ISBN 9783540061052
• Davis, James F .; Kirk, Paul. „Přednášky v algebraické topologii“ (PDF) .
• Fulton, William (2013). Algebraická topologie: první kurz . Springer. ISBN 978-1-4612-4180-5.
• Hatcher, Allen. "Algebraická topologie" .
• Hess, Kathryn (2006-04-28). "Racionální teorie homotopie: krátký úvod" . arXiv : math / 0604626 . Bibcode : 2006math ...... 4626H . Citovat deník vyžaduje |journal=( pomoc )
• „algebraická topologie“ (PDF) . Podzim 2010. Přednášky Michaela Hopkinse a Notes Akhila Mathewa na Harvardu.
• Lurie, J. (2015). „Algebraická K-teorie a topologie potrubí“ . Matematika 281 . Harvardská Univerzita.
• Lurie, J. (2011). „Chromatická teorie homotopy“ . 252x . Harvardská Univerzita.
• May, J. „Stručný kurz v algebraické topologii“ (PDF) .
• May, J .; Ponto, K. „Stručnější algebraická topologie: lokalizace, dokončení a kategorie modelů“ (PDF) .
• Smět; Sigurdsson. „Teorie parametrizované homotopy“ (PDF) . (navzdory názvu obsahuje značné množství obecných výsledků.)
• Sullivan, Dennis . „Geometrická topologie“ (PDF) . poznámky MIT z roku 1970
• Whitehead, George William (1978). Základy teorie homotopy . Postgraduální texty z matematiky. 61 (3. vyd.). Springer-Verlag. str. xxi + 744. ISBN 978-0-387-90336-1. MR  0516508 .
• Wickelgren, Kirsten Graham. „8803 The Stable Homotopy Theory“ .

Další čtení

• José I. Burgos Gil, regulační orgány Beilinsona a Borela

externí odkazy

• Algebraická topologie: Průvodce literaturou