CW komplex - CW complex

CW komplex je druh topologického prostoru , který je obzvláště důležitý v algebraické topologie . Byla zavedena společností JHC Whitehead, aby splnila potřeby teorie homotopie . Tato třída prostorů je širší a má některé lepší kategorické vlastnosti než zjednodušující komplexy , ale stále si zachovává kombinatorickou povahu, která umožňuje výpočet (často s mnohem menším komplexem). C je zkratka pro „uzavření neurčité“, a W pro „slabou“ topologie. CW komplex lze definovat indukčně.

• 0dimenzionální CW komplex je jen množina nulových nebo více diskrétních bodů (s diskrétní topologií ).
• Jednodimenzionální CW komplex je konstruován tak, že disjunktní spojení 0-dimenzionálního CW komplexu je provedeno s jednou nebo více kopiemi jednotkového intervalu . Pro každou kopii existuje mapa, která „ přilepí “ její hranici (její dva koncové body) k prvkům 0-dimenzionálního komplexu (body). Topologie komplexu CW je topologie kvocientového prostoru definovaného těmito lepicími mapami.
• Obecně platí, že n -dimenzionální CW komplex je konstruován tak, že disjunktní spojení k -dimenzionálního CW komplexu (pro některé ) s jednou nebo více kopiemi n -dimenzionální koule . Pro každou kopii existuje mapa, která „přilepí“ svou hranici ( -dimenzionální sféru ) k prvkům -dimenzionálního komplexu. Topologie komplexu CW je kvocient topologie definovaná těmito lepicími mapami.${\ displaystyle k <n}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle k}$
• Nekonečný-rozměrný CW komplex může být vytvořen opakováním výše uvedený postup spočetně mnohokrát.

V n rozměrné CW komplexu, pro každý , je k-buňka je vnitřek K rozměrné míč přidané na k -tý kroku. K -kostra komplexu je spojením všech jeho k -buněk. ${\ Displaystyle k \ leq n}$

Příklady

Jak bylo uvedeno výše, každá sbírka diskrétních bodů je komplexem CW (dimenze 0).

1-rozměrné CW-komplexy

Některé příklady 1-rozměrných CW komplexů jsou:

• Interval . Může být sestrojen ze dvou bodů ( x a y ) a jednorozměrné koule B (interval), takže jeden koncový bod B je přilepený k x a druhý je přilepený k y . Dva body x a y jsou 0 buněk; vnitřek B je 1článek. Alternativně může být vytvořen pouze z jednoho intervalu, bez 0 buněk.
• Kruh . Může být sestrojen z jednoho bodu x a jednorozměrné koule B , takže oba koncové body B jsou přilepené k x . Alternativně může být sestrojen ze dvou bodů x a y a dvou jednorozměrných koulí A a B tak, že koncové body A jsou přilepeny k x a y a koncové body B jsou přilepeny také k x a y .
• Graf . Jedná se o 1-rozměrný CW komplex, ve kterém 0 buněk jsou vrcholy a 1 buňky jsou okraje. Koncové body každé hrany jsou označeny vrcholy sousedícími s ní.
  • 3-pravidelné grafy lze považovat za obecné 1-rozměrné CW komplexy. Konkrétně, pokud X je 1-rozměrný CW komplex se připojí mapa pro 1-buňky je mapa z dvoubodového prostoru na X , . Tato mapa může být narušena jako disjoint od 0-kostry X právě tehdy, když a nejsou 0-Valence vrcholy X .${\ Displaystyle f: \ {0,1 \} \ to X}$${\ displaystyle f (0)}$${\ Displaystyle f (1)}$
• Standardní CW struktura na reálných čísel má jako 0-kostra celá čísla a je 1-buňky intervalů . Podobně má standardní struktura CW krychlové buňky, které jsou produkty 0 a 1 buněk z . Toto je standardní struktura kubických mřížkových buněk .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {[n, n+1]: n \ in \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Multidimenzionální CW-komplexy

Některé příklady vícerozměrných CW komplexů jsou:

• N -dimenzionální koule . Přijímá CW strukturu se dvěma buňkami, jednou 0-buňkou a jednou n-buňkou. Zde je n-buňka připojena konstantním mapováním od své hranice k jediné 0-buňce. Alternativní buněčný rozklad má jednu ( n -1) dimenzionální sféru („ rovník “) a dvě n- buňky, které jsou k ní připojeny („horní hemisféra“ a „dolní hemisféra“). Indukčně to dává CW rozklad se dvěma buňkami v každé dimenzi k tak, že .${\ displaystyle D^{n}}$${\ Displaystyle S^{n-1}}$${\ displaystyle S^{n}}$${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$
• N rozměrný reálný projektivní prostor . Připouští CW strukturu s jednou buňkou v každé dimenzi.
• Terminologie pro generický 2-dimenzionální CW komplex je stín .
• Polyhedron je přirozeně komplexní CW.
• Grassmannian potrubí připouští CW strukturu nazývanou Schubertovy buňky .
• Diferencovatelné variety , algebraické a projektivní varianty mají homotopické typy CW komplexů.
• Jednobodová kompaktifikace z cusped hyperbolické potrubí má kanonickou CW rozklad s pouze jeden 0-buněk (na kompaktifikace bod) nazvaný Epstein-Penner rozkladu . Takové buněčné dekompozice se často nazývají ideální polyhedrální dekompozice a používají se v populárním počítačovém softwaru, jako je SnapPea .

Non CW-komplexy

• Nekonečně dimenzionální Hilbertův prostor není komplexem CW: je to Baireův prostor, a proto jej nelze zapsat jako spočitatelné spojení n -koster, z nichž každý je uzavřenou sadou s prázdným vnitřkem. Tento argument se rozšiřuje na mnoho dalších nekonečně dimenzionálních prostorů.
• Prostor má homotopický typ CW komplexu (je stahovatelný), ale nepřipouští rozklad CW, protože není místně stahovatelný .${\ Displaystyle \ {re^{2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subseteq \ mathbb {C}}$
• Hawaiian náušnice je příklad topologického prostoru, který nemá homotopy typu komplexu CW.

Formulace

Zhruba řečeno, komplex CW je vyroben ze základních stavebních bloků nazývaných buňky . Přesná definice předepisuje, jak mohou být buňky topologicky slepeny .

N -dimenzionální uzavřených buněk je obraz n rozměrné uzavřené kouli pod upevňovacího mapy . Například simplex je uzavřená buňka a obecněji je konvexní polytop uzavřená buňka. N -dimenzionální s otevřenými buňkami je topologický prostor, který je homeomorphic k n rozměrné otevřené míče . 0rozměrná otevřená (a uzavřená) buňka je singletonový prostor. Uzavření-konečná znamená, že každá uzavřená buňka je pokryta konečným spojením otevřených buněk (nebo splňuje jen konečně mnoho dalších buněk).

CW komplex je Hausdorff prostoru X spolu s přepážkou z X do otevřených buněk (z asi měnícího rozměru), který splňuje dvě další vlastnosti:

• Pro každou n -rozměrnou otevřenou buňku C v oddílu X existuje spojitá mapa f od n -rozměrné uzavřené koule do X tak, že
  • omezení f na vnitřek uzavřené koule je homeomorfismus na buňku C a
  • obraz hranice uzavřené koule je obsažen ve spojení konečného počtu prvků oddílu, z nichž každý má rozměr buňky menší než n .
• Podskupina X je uzavřena právě tehdy, pokud splňuje uzavření každé buňky v uzavřené sadě.

Oddíl X se také nazývá celulace .

Pravidelné CW komplexy

CW komplex se nazývá regulární , jestliže pro každou n rozměrné otevřené buněčné C v oddílu X , v kontinuálním mapě f z n rozměrné uzavřené koule k X je homeomorfismus na uzavření buněčného C . V souladu s tím je oddíl X nazýván také pravidelnou celulací . Loopless graf je pravidelný 1-rozměrné CW-komplex. Uzavřený 2-buňka graf vkládání na povrchu je pravidelný 2-rozměrný CW-komplex. Konečně 3-sférická domněnka pravidelné celulózy tvrdí, že každý 2-spojený graf je 1-kostrou pravidelného CW-komplexu na 3-dimenzionální sféře ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino/DeAgostino.pdf ).

Relativní CW komplexy

Zhruba řečeno, relativní komplex CW se liší od komplexu CW v tom, že mu umožňujeme mít jeden další stavební blok, který nemusí mít nutně buněčnou strukturu. Tento extra blok lze v dřívější definici považovat za (-1) dimenzionální buňku.

Indukční konstrukce CW komplexů

Pokud je největší rozměr některé z buněk n , pak CW komplex má údajně rozměr n . Pokud neexistuje žádná vazba na rozměry buněk, pak se říká, že je nekonečně dimenzionální. N -skeleton komplexu CW je spojení buněk, jejichž rozměr je nejvýše n . Pokud je sjednocení sady buněk uzavřeno, pak je toto spojení samo CW komplexem, nazývaným subkomplex. Tak n -skeleton je největší subcomplex dimenze n nebo méně.

CW komplex je často konstruován definováním jeho skelety induktivně „připojením“ buněk rostoucí dimenze. Prostřednictvím ‚upevnění‘ u n p-buněk na topologického prostoru X jeden znamená adjunkce prostor , kde f je spojitá mapa od hranice uzavřené n rozměrné míče na X . Chcete-li sestrojit komplex CW, začněte s 0dimenzionálním komplexem CW, tj. Diskrétním prostorem . Připojte 1 buňky, abyste získali 1-rozměrný komplex CW . Připojte 2 buňky k získání 2-dimenzionálního komplexu CW . Pokračování tímto způsobem získáme vnořené sekvence bojové chemické komplexy zvyšování rozměr takový, že v případě, pak je i -skeleton z . ${\ Displaystyle B \ cup _ {f} X}$${\ displaystyle B \ subseteq R^{n}}$ ${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {1}}$${\ displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle X_ {0} \ subseteq X_ {1} \ subseteq \ cdots X_ {n} \ subseteq \ cdots}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

Až do izomorfismu může být každý n -dimenzionální CW komplex získán z jeho ( n  -1) -skeletonu připojením n -buněk, a tudíž každý konečně -rozměrný CW komplex může být vybudován výše uvedeným postupem. To platí i pro nekonečně dimenzionální komplexy s tím, že výsledkem nekonečného procesu je přímý limit skelety: množina je uzavřena v X právě tehdy, když se setká s každou kostrou v uzavřené množině.

Homologie a cohomologie komplexů CW

Singulární homologie a kohomologie komplexů CW je snadno vyčíslitelná pomocí buněčné homologie . Navíc v kategorii CW komplexů a buněčných map lze buněčnou homologii interpretovat jako teorii homologie . Pro výpočet mimořádné (ko) homologické teorie pro CW komplex je spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch analogem buněčné homologie .

Nějaké příklady:

• Pro sféru vezměte buněčný rozklad dvěma buňkami: jednou 0 -buňkou a jednou n -buňkou. Komplexní řetězec buněčné homologie a homologie jsou dány vztahem:${\ displaystyle S^{n},}$ ${\ displaystyle C _ {*}}$

${\ Displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}$

protože všechny diferenciály jsou nulové.

Alternativně, pokud použijeme ekvatoriální rozklad se dvěma buňkami v každé dimenzi

${\ Displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^{2} & 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

a diferenciály jsou matice ve formě To dává stejný výpočet homologie výše, protože komplex řetězců je přesný ve všech termínech kromě a${\ Displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}$${\ displaystyle C_ {0}}$${\ displaystyle C_ {n}.}$

• Neboť dostáváme podobně${\ displaystyle \ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle H ^{k} \ left (\ mathbb {P} ^{n} (\ mathbb {C}) \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$

Oba výše uvedené příklady jsou obzvláště jednoduché, protože homologie je dána počtem buněk - tj. Mapy připojující buňky nemají v těchto výpočtech žádnou roli. Jedná se o velmi zvláštní jev, který nenaznačuje obecný případ.

Modifikace struktur CW

Existuje technika, vyvinutá společností Whitehead, pro nahrazení CW komplexu homotopickým ekvivalentem CW komplexu, který má jednodušší CW rozklad.

Zvažte například libovolný CW komplex. Jeho 1 kostra může být poměrně komplikovaná, protože jde o libovolný graf . Nyní v tomto grafu zvažte maximální les F. Vzhledem k tomu, že je sbírka stromů a stromy jsou stažitelné, zvážit prostor , kde je vztah rovnocennosti generované , pokud jsou obsaženy ve společném stromu v maximální lese F . Mapa kvocientu je homotopická ekvivalence. Kromě toho samozřejmě zdědí struktury CW, s buňkami odpovídajícími buňkami, které nejsou obsaženy v F . Zejména 1-kostra je disjunktní spojení klínů kruhů. ${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle X \ to X/{\ sim}}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X/{\ sim}}$

Další způsob, jak konstatovat výše uvedené, je, že připojený komplex CW může být nahrazen komplexem CW ekvivalentním homotopii, jehož 0-kostra se skládá z jednoho bodu.

Zvažte šplhání po žebříčku konektivity-předpokládejme, že X je jednoduše připojený CW komplex, jehož 0-kostra se skládá z bodu. Můžeme vhodnými úpravami nahradit X homogenním ekvivalentem CW komplexu, který se skládá z jediného bodu? Odpověď je ano. Prvním krokem je uvést, že a spojená mapy konstruovat z formy na prezentaci skupiny . Tietze teorém pro skupinové prezentace uvádí, že existuje sled pohybů můžeme provádět snížit tuto prezentaci skupine triviální prezentaci triviální skupiny. Existují dva tahy Tietze: ${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle X^{1}}$

1) Přidání/odebrání generátoru. Přidání generátoru z hlediska rozkladu CW spočívá v přidání 1 buňky a 2 buněk, jejichž připojovací mapa se skládá z nové 1 buňky a zbývající část připojovací mapy je in . Necháme-li být odpovídající CW komplex pak je homotopy ekvivalence dána vysunutím nové 2-buňka, do X .${\ displaystyle X^{1}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{1} \ cup e^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}$

2) Přidání/odebrání relace. Akt přidání relace je podobný, pouze jeden nahrazuje X tím, že nová 3 -buňka má připojovací mapu, která se skládá z nové 2 -buňky a mapování zbytku do . Podobný snímek poskytuje homotopickou ekvivalenci .${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e^{2} \ cup e^{3}}$${\ displaystyle X^{2}}$${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}$

Pokud CW komplex X je n -connected lze najít homotopy-ekvivalent CW komplex , jehož n -skeleton sestává z jednoho bodu. Argument pro je podobný jako v případě, pouze jeden nahrazuje Tietzeho tahy pro prezentaci základní skupiny elementárními maticovými operacemi pro prezentační matice pro (pomocí prezentačních matic pocházejících z buněčné homologie . Tj .: podobně lze elementární maticové operace realizovat sekvencí přidání/odebrání buněk nebo vhodných homotopií připojujících se map. ${\ displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ displaystyle X^{n}}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$

Kategorie „homotopy“

Homotopy kategorii CW komplexy je, podle názoru některých odborníků to nejlepší, ne-li jediným kandidátem v kategorii homotopie (z technických důvodů verze pro špičaté prostranství se skutečně používá). Příležitostně musí být použity pomocné konstrukce, které poskytují mezery, které nejsou CW komplexy. Jedním ze základních výsledků je, že reprezentovatelné funktory v kategorii homotopy mají jednoduchou charakterizaci ( Brownova věta o reprezentativnosti ).

Vlastnosti

• CW komplexy jsou lokálně stahovatelné.
• CW komplexy splňují Whiteheadovu větu : mapa mezi CW komplexy je ekvivalentem homotopy právě tehdy, pokud indukuje izomorfismus na všech homotopických skupinách.
• Součin dvou komplexů CW lze zpracovat na komplex CW. Konkrétně, pokud X a Y jsou CW komplexy, pak lze vytvořit CW komplex X × Y, ve kterém je každá buňka produktem buňky v X a buňky v Y , vybavené slabou topologií . Podkladové sadu X x Y je pak kartézský součin z X a Y , jak se očekávalo. Slabá topologie v této sadě navíc často souhlasí se známější topologií produktu na X × Y , například pokud je X nebo Y konečný. Slabá topologie však může být jemnější než topologie produktu, například pokud X ani Y nejsou lokálně kompaktní . V tomto nepříznivém případě produkt X × Y v produktové topologii není komplexem CW. Na druhé straně součin X a Y v kategorii kompaktně generovaných prostor souhlasí se slabou topologií, a proto definuje CW komplex.
• Nechť X a Y jsou CW komplexy. Pak funkční prostory Hom ( X , Y ) (s kompaktní otevřenou topologií ) nejsou obecně CW komplexy. Pokud X je konečné, pak Hom ( X , Y ) je homotopy ekvivalentní CW komplexu podle věty Johna Milnora (1959). Všimněte si, že X a Y jsou kompaktně generované Hausdorffovy prostory , takže Hom ( X , Y ) je často brán s kompaktně generovanou variantou kompaktně otevřené topologie; výše uvedená tvrzení zůstávají pravdivá.
• Pokrývající prostor komplexu CW je také složitý CW.
• CW komplexy jsou paracompact . Konečné CW komplexy jsou kompaktní . Kompaktní podprostor CW komplexu je vždy obsažen v konečném subkomplexu.

Viz také

• Abstraktní buněčný komplex
• Pojem CW komplex má adaptaci na hladké varhany nazývaný rozklad rukojeti , což je v těsné souvislosti s chirurgickou teorií .

Reference

Poznámky

Obecné reference