Hom-funktori - Hom functor

Vuonna matematiikan , erityisesti luokkaan teoriassa , hom-sarjaa , eli sarjaa morphisms esineiden välillä, aiheutuu huomattavia functors sen luokan sarjaa . Näitä funktoreita kutsutaan homofunttoreiksi, ja niillä on lukuisia sovelluksia kategoriateoriassa ja muissa matematiikan aloissa.

Muodollinen määritelmä

Olkoon C olla paikallisesti pieni luokka (eli luokka , jolle hom-luokat ovat todella sarjaa eikä asianmukaista luokat ).

Kaikki kohteet ja B on C määrittelemme kaksi functors sen luokan sarjaa seuraavasti:

Hom ( A , -): C → Aseta	Hom (-, B ): C → Aseta
Tämä on kovariaattinen funktori, jonka on antanut: Hom ( , -) kartoittaa kunkin objektin X on C ja joukko morphisms , hom ( , X ) Hom ( , -) kartoittaa kunkin morfismi f : X → Y on toiminto Hom ( A , f ): Hom ( A , X ) → Hom ( A , Y ) antaa ${\ displaystyle g \ mapsto f \ circ g}$ jokaiselle Hom: n g : lle ( A , X ).	Tämä on sopiva funktori, jonka on antanut: Hom (-, B ) kuvaa kunkin objektin X on C ja joukko morphisms , hom ( X , B ) Hom (-, B ) kuvaa jokaisen morfismi h : X → Y on toiminto Hom ( h , B ): Hom ( Y , B ) → Hom ( X , B ) antaa ${\ displaystyle g \ mapsto g \ circ h}$ jokaiselle Hom: n g : lle ( Y , B ).

Functoria Hom (-, B ) kutsutaan myös kohteen B pisteiden funktoreiksi .

Huomaa, että Homin ensimmäisen argumentin korjaaminen aiheuttaa luonnollisesti kovariaattisen funktorin ja toisen argumentin korjaaminen luonnollisesti ristiriitaisen funktion. Tämä on artefakti tavasta, jolla morfismit täytyy säveltää.

Funktoripari Hom ( A , -) ja Hom (-, B ) ovat yhteydessä toisiinsa luonnollisella tavalla . Kaikille morfismipareille f : B → B ′ ja h : A ′ → A seuraava kaavio kulkee :

Molemmat polut lähettävät g : A → B kohtaan f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.

Kommutatiivisuus edellä kaavion merkitsee sitä, että Hom (-, -) on bifunctor päässä C- x C ja sarja , joka on contravariant ensimmäisen argumentin ja covariant toisessa. Vastaavasti voimme sanoa, että Hom (-, -) on kovariaattinen bifunktori

Hom (-, -): C ^op × C → Aseta

missä C ^op on päinvastainen luokka on C . Hom _C (-, -) -merkintää käytetään joskus Hom (-, -) -merkinnässä domeenin muodostavan luokan korostamiseksi.

Yonedan lemma

Viitaten yllä olevaan kommutatiiviseen kaavioon havaitaan, että jokainen morfismi

h : A ′ → A

synnyttää luonnollisen muutoksen

Hom ( h , -): Hom ( A , -) → Hom ( A ′, -)

ja jokainen morfismi

f : B → B ′

synnyttää luonnollisen muutoksen

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ')

Yonedan lemma viittaa siihen, että jokainen luonnollinen muutos Hom-funktoreiden välillä on tässä muodossa. Toisin sanoen, Hom functors synnyttää täyden ja uskollinen upottamisen luokan C osaksi functor luokkaan Set ^{C ^op} (covariant tai contravariant riippuen siitä, mikä Hom functor on käytössä).

Sisäinen Hom-toimija

Joissakin luokissa voi olla funktori, joka käyttäytyy kuin Hom-funktori, mutta ottaa arvot itse luokassa C eikä Set . Tällaista funktoria kutsutaan sisäiseksi Hom-funktoriksi , ja se kirjoitetaan usein nimellä

{\ displaystyle \ vasen [- \ - \ oikea]: C ^ {\ text {op}} \ kertaa C \ - C}

korostaa sen tuotteen kaltaista luonnetta tai kuten

{\ displaystyle \ Rightarrow: C ^ {\ text {op}} \ kertaa C \ - C}

korostaa sen funktionaalista luonnetta tai joskus vain pieniä kirjaimia:

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {hom} (-, -): C ^ {\ text {op}} \ kertaa C \ - C.}

Katso esimerkkejä suhteiden luokasta .

Luokat, joilla on sisäinen Hom-funktori, kutsutaan suljetuiksi luokiksi . Yksi on se

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {Hom} (I, \ operaattorin nimi {hom} (-, -)) \ simeq \ operaattorin nimi {Hom} (-, -)}

,

missä I on suljetun luokan yksikkö . Sillä kyseessä on suljetun monoidal luokka , tämä ulottuu käsitettä currying , nimittäin, että

{\ displaystyle \ operaattorin nimi {Hom} (X, Y \ Rightarrow Z) \ simeq \ operaattorin nimi {Hom} (X \ otimes Y, Z)}

missä on bifunctor , sisäinen tuotefunktori , joka määrittelee monoidisen luokan . Isomorfismi on luonnollista sekä X: ssä että Z: ssä . Toisin sanoen, suljetussa monoidal tyylinen sisäinen Hom functor on adjoint functor sisäiseen tuotteen functor. Objektia kutsutaan sisäiseksi Homiksi . Kun on karteesinen tulo , objekti kutsutaan eksponentiaalinen objekti , ja on usein kirjoitettu . ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ kertaa}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$

Sisäiset Homs, ketjutettuina yhteen, muodostavat kielen, jota kutsutaan luokan sisäiseksi kieleksi . Tunnetuimpia näistä ovat yksinkertaisesti kirjoitettu lambda-laskenta , joka on Cartesian suljettujen luokkien sisäinen kieli , ja lineaarinen tyyppijärjestelmä , joka on suljettujen symmetristen yksimuotoisten luokkien sisäinen kieli .

Ominaisuudet

Huomaa, että lomakkeen funktori

Hom (-, A): C ^op → Aseta

on presheaf ; samoin Hom (A, -) on kopiolehti.

Functor F : C → Joukkoa, joka on luonnollisesti isomorfinen Hom: lle (A, -) joillekin C: ssä olevalle A: lle , kutsutaan edustettavaksi funktoriksi (tai edustavaksi kopiolehdeksi); samoin Hom (-, A): n ekvivalenttia funktoria voidaan kutsua edustettavaksi.

Huomaa, että Hom (-, -): C ^op × C → Set on profunctor ja erityisesti identiteettiprunctor . ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {id} _ {C} \ kaksoispiste C \ noightarrow C}$

Sisäinen kotitoiminto säilyttää rajat ; eli lähettää rajoja rajoja, kun taas lähettää rajoituksia , eli colimits , osaksi rajoja . Tietyssä mielessä tätä voidaan pitää raja- tai kolimiittimäärityksenä. ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {hom} (X, -): C \ - C}$ ${\ displaystyle \ operaattorin nimi {hom} (-, X): C ^ {\ text {op}} \ to C}$ ${\ displaystyle C ^ {\ text {op}}}$ ${\ displaystyle C}$

Muut ominaisuudet

Jos on Abelin luokka ja kohde sitten Hom ( , -) on kovariantilla vasemman tarkka functor välillä luokkaan Ab on Abelin ryhmä . Se on tarkka, jos ja vain, jos A on projektiivinen .

Olkoon R on rengas ja M vasemmalta R - moduuli . Functor Hom _R ( M , -): Mod - R → Ab on oikeassa adjoint kuin tensoritulo functor - _R M: Ab → Mod - R . ${\ displaystyle \ otimes}$

Katso myös

Huomautuksia

^ Jacobson (2009), s. 149, ehdotus 3.9.

Viitteet

Mac Lane, Saunders (syyskuu 1998). Luokat työskentelevälle matemaatikolle (toinen painos). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Goldblatt, Robert (2006) [1984]. Topoi, logiikan kategorinen analyysi (tarkistettu toim.). Dover-julkaisut . ISBN 978-0-486-45026-1. Haettu 25.11.2009 .
Jacobson, Nathan (2009). Perusalgebra . 2 (2. painos). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.

Ulkoiset linkit

Hom functor vuonna nLab
Sisäinen Hom vuonna nLab

[1] Jacobson (2009), s. 149, ehdotus 3.9.

Languages

In other projects