Problém oběhu - Circulation problem

Problém cirkulace a jeho varianty jsou zevšeobecněním problémů s tokem v síti , s přidaným omezením dolní meze okrajových toků a se zachováním toku je také nutné pro zdroj a propad (tj. Neexistují žádné speciální uzly). Ve variantách problému protéká sítí několik komodit a náklady na tok.

Definice

Vzhledem k tomu, síť toku s: ${\ displaystyle G (V, E)}$

${\ displaystyle l (v, w)}$, dolní hranice toku z uzlu do uzlu ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle u (v, w)}$, horní hranice toku z uzlu do uzlu ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle c (v, w)}$, cena za jednotku toku ${\ displaystyle (v, w)}$

a omezení:

${\ Displaystyle l (v, w) \ leq f (v, w) \ leq u (v, w)}$,

${\ displaystyle \ sum _ {w \ ve V} f (u, w) = 0}$ (tok se nemůže objevit nebo zmizet v uzlech).

Nalezení přiřazení toku splňujícího omezení poskytuje řešení daného problému s cirkulací.

Ve variantě problému s minimálními náklady minimalizujte

${\ displaystyle \ sum _ {(v, w) \ v E} c (v, w) \ cdot f (v, w).}$

Multikomoditní oběh

V případě problému s oběhem více komodit musíte také sledovat tok jednotlivých komodit:

${\ displaystyle \, f_ {i} (v, w)}$	Tok zboží z do . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$
${\ displaystyle \, f (v, w) = \ součet _ {i} f_ {i} (v, w)}$	Celkový tok.

Na každém toku komodity je také spodní hranice.

${\ displaystyle \, l_ {i} (v, w) \ leq f_ {i} (v, w)}$

Omezení ochrany musí být u komodit dodržováno individuálně:

${\ displaystyle \ \ součet _ {w \ ve V} f_ {i} (u, w) = 0.}$

Řešení

Pro problém cirkulace bylo vyvinuto mnoho polynomiálních algoritmů (např. Edmonds and Karp algorithm , 1972; Tarjan 1987-1988). Tardos našel první silně polynomiální algoritmus.

V případě více komodit je problém celočíselných toků NP-úplný . U zlomkových toků je řešitelný v polynomiálním čase , protože lze problém formulovat jako lineární program .

Související problémy

Níže jsou uvedeny některé problémy a jak je vyřešit pomocí obecného nastavení oběhu uvedeného výše.

• Problém multikomoditního oběhu s minimálními náklady - s využitím všech výše uvedených omezení.
• Problém s cirkulací minimálních nákladů - použijte jednu komoditu
• Multi-komoditní oběh - řešte bez optimalizace nákladů.
• Jednoduchý oběh - stačí použít jednu komoditu a žádné náklady.
• Multi-komodita proudění - Pokud označuje požadavek pro komodity z k , vytvořit hranu se pro všechny komodity . Nechte pro všechny ostatní hrany.${\ displaystyle K_ {i} (s_ {i}, t_ {i}, d_ {i})}$${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle (t_ {i}, s_ {i})}$${\ displaystyle l_ {i} (t_ {i}, s_ {i}) = u (t_ {i}, s_ {i}) = d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle l_ {i} (u, v) = 0}$
• Problém multikomoditních toků s minimálními náklady - Jak je uvedeno výše, ale minimalizujte náklady.
• Problém s minimálními náklady - Jak je uvedeno výše, s 1 komoditou.
• Problém s maximálním průtokem - Nastavte všechny náklady na 0 a přidejte hranu z umyvadla ke zdroji pomocí , ∞ a .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle l (t, s) = 0}$${\ displaystyle u (t, s) =}$${\ displaystyle c (t, s) = - 1}$
• Problém s minimálním průtokem při minimální ceně - Nejprve najděte maximální množství . Poté vyřešte pomocí a .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l (t, s) = u (t, s) = m}$${\ displaystyle c (t, s) = 0}$
• Nejkratší cesta jednoho zdroje - Nechte a pro všechny hrany v grafu a přidejte hranu pomocí a .${\ displaystyle l (u, v) = 0}$${\ displaystyle c (u, v) = 1}$${\ displaystyle (t, s)}$${\ displaystyle l (t, s) = c (t, s) = 1}$${\ displaystyle a (t, s) = 0}$
• Nejkratší cesta všech párů - Nechte všechny kapacity neomezené a najděte tok 1 pro komodity, jeden pro každou dvojici uzlů.${\ displaystyle v (v-1) / 2}$

Reference