Opplagsproblem - Circulation problem

Den sirkulasjon problem og dens varianter er en generalisering av nettverk strømningsproblemer, med den ekstra begrenset av en nedre grense på kant flyter, og med strømnings bevaring også er nødvendig for kilden og vask (dvs. det finnes ingen spesielle noder). I varianter av problemet flyter det flere varer gjennom nettverket, og en kostnad på strømmen.

Definisjon

Gitt strømningsnettverk med: ${\ displaystyle G (V, E)}$

${\ displaystyle l (v, w)}$, nedre grense på flyt fra node til node ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle u (v, w)}$, øvre grense på flyt fra node til node ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle c (v, w)}$, kostnad for en strømningsenhet ${\ displaystyle (v, w)}$

og begrensningene:

${\ displaystyle l (v, w) \ leq f (v, w) \ leq u (v, w)}$,

${\ displaystyle \ sum _ {w \ in V} f (u, w) = 0}$ (flyt kan ikke vises eller forsvinne i noder).

Å finne en strømningsoppgave som tilfredsstiller begrensningene gir en løsning på det gitte sirkulasjonsproblemet.

I minimumskostnadsvarianten av problemet, minimer

${\ displaystyle \ sum _ {(v, w) \ in E} c (v, w) \ cdot f (v, w).}$

Multirådsirkulasjon

I et sirkulasjonsproblem med flere varer, må du også følge med på strømmen av de enkelte varene:

${\ displaystyle \, f_ {i} (v, w)}$	Strømmen av vare fra til . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$
${\ displaystyle \, f (v, w) = \ sum _ {i} f_ {i} (v, w)}$	Den totale flyten.

Det er også en nedre grense for hver strøm av vare.

${\ displaystyle \, l_ {i} (v, w) \ leq f_ {i} (v, w)}$

Bevaringsbegrensningen må opprettholdes individuelt for varene:

${\ displaystyle \ \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (u, w) = 0.}$

Løsning

For sirkulasjonsproblemet er det utviklet mange polynomalgoritmer (f.eks. Edmonds og Karp algoritme , 1972; Tarjan 1987-1988). Tardos fant den første sterkt polynomiske algoritmen.

For flere varer er problemet NP-komplett for heltalstrømmer. For brøkstrømmer er det løselig i polynometid , da man kan formulere problemet som et lineært program .

Relaterte problemer

Nedenfor er gitt noen problemer, og hvordan du løser dem med det generelle opplagsoppsettet som er gitt ovenfor.

• Minimumskostnad sirkulasjonsproblem med flere varer - Bruker alle begrensninger gitt ovenfor.
• Minimum sirkulasjonsproblem - Bruk en enkelt vare
• Sirkulasjon med flere varer - Løs uten å optimalisere kostnadene.
• Enkel sirkulasjon - Bruk bare en vare uten kostnad.
• Flervarestrøm - Hvis du betegner et behov for vare fra til , kan du lage en kant med for alle varer . La for alle andre kanter.${\ displaystyle K_ {i} (s_ {i}, t_ {i}, d_ {i})}$${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle (t_ {i}, s_ {i})}$${\ displaystyle l_ {i} (t_ {i}, s_ {i}) = u (t_ {i}, s_ {i}) = d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle l_ {i} (u, v) = 0}$
• Problem med flerbestemmelsesstrømning med minstekostnader - Som ovenfor, men minimer kostnadene.
• Minste kostnadsstrømproblem - Som ovenfor, med 1 vare.
• Maksimal strømningsproblem - Sett alle kostnader til 0, og legg til en kant fra vasken til kilden med , ∞ og .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle l (t, s) = 0}$${\ displaystyle u (t, s) =}$${\ displaystyle c (t, s) = - 1}$
• Minste kostnad maksimal strømningsproblem - Finn først maksimal strømningsmengde . Løs deretter med og .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l (t, s) = u (t, s) = m}$${\ displaystyle c (t, s) = 0}$
• Korteste sti med én kilde - La og for alle kanter i grafen, og legg til en kant med og .${\ displaystyle l (u, v) = 0}$${\ displaystyle c (u, v) = 1}$${\ displaystyle (t, s)}$${\ displaystyle l (t, s) = c (t, s) = 1}$${\ displaystyle a (t, s) = 0}$
• Korteste bane av alle par - La alle kapasiteter være ubegrenset, og finn en flyt på 1 for varer, en for hvert par noder.${\ displaystyle v (v-1) / 2}$

referanser