Keringési probléma - Circulation problem

A keringetési probléma és annak változatai a hálózati áramlási problémák általánosítását jelentik , azzal a megkötéssel, hogy a széláramok alsó korlátja korlátozódik, és az áramlás megőrzésére szintén szükség van a forrás és a mosogató számára (azaz nincs speciális csomópont). A probléma egy változatában több áru áramlik át a hálózaton, és ennek költségei vannak.

Meghatározás

Adott áramlási hálózat : ${\ displaystyle G (V, E)}$

${\ displaystyle l (v, w)}$, a csomóponttól a csomópontig történő áramlás alsó határa ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle u (v, w)}$, a csomóponttól a csomópontig történő áramlás felső határát ,${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle c (v, w)}$, áramlási egység költsége ${\ displaystyle (v, w)}$

és a korlátozások:

${\ displaystyle l (v, w) \ leq f (v, w) \ leq u (v, w)}$,

${\ displaystyle \ sum _ {w \ in V} f (u, w) = 0}$ (az áramlás nem jelenhet meg és nem tűnik el csomópontokban).

A korlátozásoknak megfelelő áramlás-hozzárendelés megtalálása megoldást nyújt az adott keringési problémára.

A probléma minimális költségű változatában minimalizálja

${\ displaystyle \ sum _ {(v, w) \ az E} c (v, w) \ cdot f (v, w).}$

Több árucikk forgalma

Több árucikk forgalmával kapcsolatos probléma esetén a különféle áruk áramlását is nyomon kell követnie:

${\ displaystyle \, f_ {i} (v, w)}$	Az áru áramlása a - ig . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$
${\ displaystyle \, f (v, w) = \ összeg _ {i} f_ {i} (v, w)}$	A teljes áramlás.

Alsó küszöbérték van az egyes árucikkek áramlásán is.

${\ displaystyle \, l_ {i} (v, w) \ leq f_ {i} (v, w)}$

Az áruk megőrzésének korlátozását külön kell megtartani:

${\ displaystyle \ \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (u, w) = 0.}$

Megoldás

A keringési probléma megoldására számos polinomiális algoritmust fejlesztettek ki (pl. Edmonds és Karp algoritmus , 1972; Tarjan 1987-1988). Tardos megtalálta az első erősen polinomiális algoritmust.

Több árucikk esetében az egész áramlások NP-teljes problémája . Frakcionált áramlások esetén polinomiális időben oldható meg , mivel a problémát lineáris programként fogalmazhatjuk meg .

Kapcsolódó problémák

Az alábbiakban felsorolunk néhány problémát, és hogyan lehet ezeket megoldani a fent megadott általános forgalmazási beállításokkal.

• Minimális költségű, többféle áru forgalmával kapcsolatos probléma - A fent megadott összes korlátozás felhasználásával.
• Minimális költségforgalmi probléma - Használjon egyetlen árut
• Több árucikk forgalma - Oldja meg a költségek optimalizálása nélkül.
• Egyszerű forgalom - Csak egy árut használjon, és költség nélkül.
• Multi-flow áru - Ha jelöli a kereslet az áru származó hogy hozzon létre egy él együtt az összes alkatrészt . Hagyja az összes többi szélt.${\ displaystyle K_ {i} (s_ {i}, t_ {i}, d_ {i})}$${\ displaystyle d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ displaystyle (t_ {i}, s_ {i})}$${\ displaystyle l_ {i} (t_ {i}, s_ {i}) = u (t_ {i}, s_ {i}) = d_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle l_ {i} (u, v) = 0}$
• Minimális költségű, több árucikk áramlási problémája - Mint fent, de minimalizáljuk a költségeket.
• Minimális költségáramlási probléma - Mint fentebb, 1 áruval.
• Maximális áramlási probléma - Minden költséget állítson 0-ra, és adjon hozzá egy szélt a mosogatótól a forráshoz a , ∞ és . Gombbal .${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle l (t, s) = 0}$${\ displaystyle u (t, s) =}$${\ displaystyle c (t, s) = - 1}$
• Minimális költség maximális áramlási probléma - Először keresse meg a maximális áramlási mennyiséget . Ezután oldja meg a és gombokkal .${\ displaystyle m}$${\ displaystyle l (t, s) = u (t, s) = m}$${\ displaystyle c (t, s) = 0}$
• Egy forrásból származó legrövidebb út - Jelölje meg és a grafikon minden széle számára, és adjon hozzá egy évet a és a gombokkal .${\ displaystyle l (u, v) = 0}$${\ displaystyle c (u, v) = 1}$${\ displaystyle (t, s)}$${\ displaystyle l (t, s) = c (t, s) = 1}$${\ displaystyle a (t, s) = 0}$
• All-párok legrövidebb út - Legyen korlátlan az összes kapacitás, és keresse meg az árucikkek 1-es áramlását, mindegyik csomóponti egyhez.${\ displaystyle v (v-1) / 2}$

Irodalom