Problém multikomoditního toku - Multi-commodity flow problem

Problém více zboží proudění je proud síť problém s více komodit (průtok nároky) mezi různých zdrojových a dřez uzlů.

Definice

Vzhledem k toku sítě , kde má hrana kapacitu . Existují komodity , definované , kde a je zdrojem a jímkou komodity , a je její poptávkou. Proměnná definuje podíl toku podél okraje , kde v případě, že lze tok rozdělit mezi více cest, a jinak (tj. „Směrování jedné cesty“). Najděte přiřazení všech proměnných toku, které splňuje následující čtyři omezení: ${\ displaystyle \, G (V, E)}$ ${\ displaystyle (u, v) \ v E}$ ${\ displaystyle \, c (u, v)}$ ${\ displaystyle \, k}$ ${\ displaystyle K_ {1}, K_ {2}, \ tečky, K_ {k}}$ ${\ displaystyle \, K_ {i} = (s_ {i}, t_ {i}, d_ {i})}$ ${\ displaystyle \, s_ {i}}$ ${\ displaystyle \, t_ {i}}$ ${\ displaystyle \, i}$ ${\ displaystyle \, d_ {i}}$ ${\ displaystyle \, f_ {i} (u, v)}$ ${\ displaystyle \, i}$ ${\ displaystyle \, (u, v)}$ ${\ displaystyle \, f_ {i} (u, v) \ v [0,1]}$ ${\ displaystyle \, f_ {i} (u, v) \ v \ {0,1 \}}$

(1) Kapacita linky: Součet všech toků směrovaných přes linku nepřesahuje jeho kapacitu.

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ v E: \, \ součet _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ cdot d_ {i} \ leq c (u, v )}

(2) Zachování toku na tranzitních uzlech: Množství toku vstupujícího do mezilehlého uzlu je stejné, jaké opouští uzel. ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle \ forall i \ in K: \, \ součet _ {w \ ve V} f_ {i} (u, w) - \ součet _ {w \ ve V} f_ {i} (w, u) = 0 \ quad \ mathrm {když} \ quad u \ neq s_ {i}, t_ {i}}

(3) Zachování toku u zdroje: Tok musí zcela opustit svůj zdrojový uzel.

{\ displaystyle \ forall i \ in K: \, \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (s_ {i}, w) - \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (w, s_ {i}) = 1}

(4) Zachování toku v cílovém místě: Tok musí zcela vstoupit do svého uzlu ponoru.

{\ displaystyle \ forall i \ in K: \, \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (w, t_ {i}) - \ sum _ {w \ in V} f_ {i} (t_ { i}, w) = 1}

Odpovídající optimalizační problémy

Vyrovnávání zatížení je pokus o směrování toků tak, aby využití všech odkazů bylo rovnoměrné, kde ${\ displaystyle U (u, v)}$ ${\ displaystyle (u, v) \ v E}$

{\ displaystyle U (u, v) = {\ frac {\ součet _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ cdot d_ {i}} {c (u, v)} }}

Problém lze vyřešit např. Minimalizací . Běžnou linearizací tohoto problému je minimalizace maximálního využití , kde ${\ displaystyle \ suma _ {u, v \ ve V} (U (u, v)) ^ {2}}$ ${\ displaystyle U_ {max}}$

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ v E: \, U_ {max} \ geq U (u, v)}

V případě problému s multikomoditním tokem s minimálními náklady jsou náklady na odeslání toku dále . Pak musíte minimalizovat ${\ displaystyle a (u, v) \ cdot f (u, v)}$ ${\ displaystyle \, (u, v)}$

{\ displaystyle \ sum _ {(u, v) \ v E} \ vlevo (a (u, v) \ součet _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (u, v) \ vpravo)}

V problému s maximálním tokem více komodit není poptávka po každé komoditě pevná a celková propustnost je maximalizována maximalizací součtu všech požadavků ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} d_ {i}}$

Vztah k dalším problémům

Varianta minimálních nákladů problému multikomoditního toku je zobecněním problému minimálních nákladů (ve kterém je pouze jeden zdroj a jedno umyvadlo . Varianty problému oběhu jsou zobecněním všech problémů s tokem. To znamená jakýkoli problém toku lze považovat za konkrétní problém oběhu. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle t}$

Používání

Směrování a přiřazení vlnová délka (RWA) v optické přepínání roztržení z optické sítě by se mělo přistupovat pomocí vzorců proudění více komodit.

Řešení

V rozhodovací verzi problémů je problém výroby celočíselného toku splňujícího všechny požadavky NP-úplný , dokonce pouze pro dvě komodity a jednotkové kapacity ( v tomto případě je problém silně NP-úplný ).

Pokud jsou povoleny dílčí toky, lze problém vyřešit v polynomiálním čase lineárním programováním nebo prostřednictvím (obvykle mnohem rychlejších) plně polynomiálních schémat aproximace času .

Externí zdroje

Články Clifforda Steina o tomto problému: http://www.columbia.edu/~cs2035/papers/#mcf
Software řešící problém: https://web.archive.org/web/20130306031532/http://typo.zib.de/opt-long_projects/Software/Mcf/

Reference

^ Ahuja, Ravindra K .; Magnanti, Thomas L .; Orlin, James B. (1993). Toky sítě. Teorie, algoritmy a aplikace . Prentice Hall.
^ S. Even a A. Itai a A. Shamir (1976). "O složitosti časového plánu a problémech toku více akomodit". SIAM Journal on Computing . SIAM. 5 (4): 691–703. doi : 10.1137 / 0205048 . Dokonce, S .; Itai, A .; Shamir, A. (1975). "O složitosti časového plánu a problémech s multikomoditním tokem". 16. výroční sympozium o základech informatiky (SFCS 1975) . 184–193. doi : 10,1109 / SFCS.1975.21 .
^ Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest a Clifford Stein (2009). „29“. Úvod do algoritmů (3. vyd.). MIT Press a McGraw – Hill. p. 862. ISBN 978-0-262-03384-8 . CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )
^ George Karakostas (2002). Msgstr "Rychlejší aproximační schémata pro problémy s tokem dílčích multi akomodit" . Sborník z třináctého ročníku sympozia ACM-SIAM o diskrétních algoritmech . str. 166-173 . ISBN 0-89871-513-X .

Doplnit: Jean-Patrice Netter, Flow Augmenting Meshings: prvotní typ přístupu k maximálnímu celočíselnému toku v multikomoditní síti, doktorská disertační práce Johns Hopkins University, 1971

[ahuja_et_al_1993-1] Ahuja, Ravindra K .; Magnanti, Thomas L .; Orlin, James B. (1993). Toky sítě. Teorie, algoritmy a aplikace . Prentice Hall.

[EIS76-2] S. Even a A. Itai a A. Shamir (1976). "O složitosti časového plánu a problémech toku více akomodit". SIAM Journal on Computing . SIAM. 5 (4): 691–703. doi : 10.1137 / 0205048 . Dokonce, S .; Itai, A .; Shamir, A. (1975). "O složitosti časového plánu a problémech s multikomoditním tokem". 16. výroční sympozium o základech informatiky (SFCS 1975) . 184–193. doi : 10,1109 / SFCS.1975.21 .

[3] Thomas H. Cormen , Charles E. Leiserson , Ronald L. Rivest a Clifford Stein (2009). „29“. Úvod do algoritmů (3. vyd.). MIT Press a McGraw – Hill. p. 862. ISBN 978-0-262-03384-8 . CS1 maint: více jmen: seznam autorů ( odkaz )

[4] George Karakostas (2002). Msgstr "Rychlejší aproximační schémata pro problémy s tokem dílčích multi akomodit" . Sborník z třináctého ročníku sympozia ACM-SIAM o diskrétních algoritmech . str. 166-173 . ISBN 0-89871-513-X .

Languages

In other projects