Binární funkce - Binary function

V matematice je binární funkce (nazývaná také bivariační funkce nebo funkce dvou proměnných ) funkce, která přijímá dva vstupy.

Přesně řečeno, funkce je binární, pokud existuje sady taková, že ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

${\ displaystyle \, f \ dvojtečka X \ krát Y \ pravá šipka Z}$

kde je kartézský součin of a ${\ displaystyle X \ krát Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Alternativní definice

Set-teoreticky , binární funkce může být reprezentována jako podmnožina z kartézského součinu , kde patří do podskupiny tehdy, když . Naopak, podmnožina definuje binární funkci tehdy a jen tehdy, když pro všechny a , existuje jedinečný tak, že patří . je pak definováno jako toto . ${\ displaystyle X \ krát Y \ krát Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle y \ v Y}$ ${\ displaystyle z \ v Z}$${\ displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle z}$

Alternativně lze binární funkci interpretovat jako jednoduše funkci od do . I když o tom tak přemýšlíme, obvykle se píše místo . (To znamená, že stejná dvojice závorek se používá k označení aplikace funkcí i vytvoření uspořádaného páru .) ${\ displaystyle X \ krát Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f (x, y)}$${\ displaystyle f ((x, y))}$

Příklady

Dělení celých čísel lze považovat za funkci. Pokud je množina celých čísel , je množina přirozených čísel (kromě nuly) a je množinou racionálních čísel , pak je dělení binární funkcí . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ krát \ mathbb {N} ^ {+} \ do \ mathbb {Q}}$

Dalším příkladem jsou vnitřní produkty nebo obecněji funkce formuláře , kde x , y jsou vektory se skutečnou hodnotou vhodné velikosti a M je matice. Pokud M je kladná určitá matice , získá se vnitřní součin . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {\ mathrm {T}} můj}$

Funkce dvou reálných proměnných

Funkce, jejichž doménou je podmnožina, se často nazývají také funkcí dvou proměnných, i když jejich doména netvoří obdélník, a tedy kartézský součin dvou množin. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Omezení běžných funkcí

Na druhé straně lze také odvodit běžné funkce jedné proměnné z binární funkce. Vzhledem k libovolnému prvku existuje funkce nebo od, do , dané . Podobně, vzhledem k jakémukoli prvku , existuje funkce nebo od, do , dané . V informatice se této identifikaci mezi funkcí od do a funkcí od do , kde je množina všech funkcí od do , říká kari . ${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle f ^ {x}}$${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$${\ displaystyle y \ v Y}$${\ displaystyle f_ {y}}$${\ displaystyle f (\ cdot, y)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$${\ displaystyle X \ krát Y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Z ^ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Z}$

Zobecnění

Různé koncepty týkající se funkcí lze také zobecnit na binární funkce. Například výše uvedený příklad dělení je surjektivní (nebo na ), protože každé racionální číslo může být vyjádřeno jako podíl celého čísla a přirozeného čísla. Tento příklad je injektivní v každém vstupu zvlášť, protože funkce f ^x a f _y jsou vždy injektivní. Není to však injektivní v obou proměnných současně, protože (například) f (2,4) = f (1,2).

Lze také uvažovat částečné binární funkce, které lze definovat pouze pro určité hodnoty vstupů. Například výše uvedený příklad dělení lze také interpretovat jako částečnou binární funkci od Z a N do Q , kde N je množina všech přirozených čísel, včetně nuly. Ale tato funkce není definována, když je druhý vstup nulový.

Binární operace je binární funkce, kde množiny X , Y , a Z jsou všechny rovny; binární operace se často používají k definování algebraických struktur .

V lineární algebře je bilineární transformace binární funkcí, kde množiny X , Y a Z jsou všechny vektorové prostory a odvozené funkce f ^x a f _y jsou lineární transformace . Bilineární transformaci, stejně jako jakoukoli binární funkci, lze interpretovat jako funkci od X × Y do Z , ale tato funkce obecně nebude lineární. Nicméně, transformace bilineární může být také interpretován jako jediný lineární transformace z tensor produktu do Z . ${\ displaystyle X \ mnohokrát Y}$

Zobecnění na ternární a další funkce

Koncept binární funkce zobecňuje na ternární (nebo 3-ary ) funkci , kvartérní (nebo 4-ary ) funkci nebo obecněji na n-ary funkci pro jakékoli přirozené číslo n . 0 ary funkce pro Z je potom dána prvek Z . Lze také definovat funkci A-ary, kde A je libovolná množina ; pro každý prvek A je jeden vstup .

Teorie kategorií

V teorii kategorií se n -ary funkce zobecňují na n -ary morfismy v multikategorii . Interpretace n -ary morfismu jako obyčejných morfismů, jejichž doména je jakýmsi produktem domén původního n -ary morfismu, bude fungovat v monoidní kategorii . Konstrukce odvozených morfismů jedné proměnné bude fungovat v uzavřené monoidní kategorii . Kategorie množin je uzavřena monoidně, ale stejně tak je tomu u kategorie vektorových prostorů, což dává výše představu o bilineární transformaci.

Reference