Funzione binaria - Binary function

In matematica , una funzione binaria (chiamata anche funzione bivariata o funzione di due variabili ) è una funzione che accetta due input.

Detto precisamente, una funzione è binaria se esistono insiemi tali che ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X, Y, Z}$

{\ displaystyle \, f \ due punti X \ volte Y \ freccia destra Z}

dove è il prodotto cartesiano di e ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y.}$

Definizioni alternative

In teoria degli insiemi , una funzione binaria può essere rappresentata come un sottoinsieme del prodotto cartesiano , dove appartiene al sottoinsieme se e solo se . Al contrario, un sottoinsieme definisce una funzione binaria se e solo se per ogni e , esiste un unico tale a cui appartiene . è quindi definito come questo . ${\ Displaystyle X \ times Y \ times Z}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = z}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle z \ in Z}$ ${\ displaystyle (x, y, z)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle z}$

In alternativa, una funzione binaria può essere interpretata semplicemente come una funzione da a . Anche quando si pensa in questo modo, tuttavia, generalmente si scrive invece di . (Cioè, la stessa coppia di parentesi viene utilizzata per indicare sia l' applicazione della funzione che la formazione di una coppia ordinata .) ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle f (x, y)}$ ${\ displaystyle f ((x, y))}$

Esempi

La divisione di numeri interi può essere pensata come una funzione. Se è l'insieme dei numeri interi , è l'insieme dei numeri naturali (eccetto zero) ed è l'insieme dei numeri razionali , allora la divisione è una funzione binaria . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {N} ^ {+} \ to \ mathbb {Q}}$

Un altro esempio è quello dei prodotti interni, o più in generale delle funzioni della forma , dove $x$ , $y$ sono vettori a valori reali di dimensione appropriata e $M$ è una matrice. Se $M$ è una matrice definita positiva , si ottiene un prodotto interno . ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto x ^ {\ mathrm {T}} Mio}$

Funzioni di due variabili reali

Le funzioni il cui dominio è un sottoinsieme di sono spesso chiamate anche funzioni di due variabili anche se il loro dominio non forma un rettangolo e quindi il prodotto cartesiano di due insiemi. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Restrizioni alle funzioni ordinarie

A sua volta, si possono anche derivare funzioni ordinarie di una variabile da una funzione binaria. Dato qualsiasi elemento , c'è una funzione , o , da a , data da . Allo stesso modo, dato qualsiasi elemento , c'è una funzione , o , da a , data da . In informatica, questa identificazione tra una funzione da a e una funzione da a , dove è l'insieme di tutte le funzioni da a , è chiamata currying . ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle f ^ {x}}$ ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ Displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ ${\ displaystyle f (\ cdot, y)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ ${\ displaystyle Z}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Z ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$

Generalizzazioni

I vari concetti relativi alle funzioni possono anche essere generalizzati alle funzioni binarie. Ad esempio, l'esempio di divisione sopra è surjective (o su ) perché ogni numero razionale può essere espresso come un quoziente di un numero intero e un numero naturale. Questo esempio è iniettivo in ogni input separatamente, perché le funzioni f ^x e f _y sono sempre iniettive. Tuttavia, non è iniettabile in entrambe le variabili contemporaneamente, perché (ad esempio) f (2,4) = f (1,2).

Si possono anche considerare funzioni binarie parziali , definibili solo per determinati valori degli ingressi. Ad esempio, l'esempio di divisione sopra può anche essere interpretato come una funzione binaria parziale da Z e N a Q , dove N è l'insieme di tutti i numeri naturali, compreso lo zero. Ma questa funzione non è definita quando il secondo ingresso è zero.

Un'operazione binaria è una funzione binaria in cui gli insiemi X , Y e Z sono tutti uguali; Le operazioni binarie sono spesso utilizzate per definire strutture algebriche .

In algebra lineare , una trasformazione bilineare è una funzione binaria in cui gli insiemi X , Y e Z sono tutti spazi vettoriali e le funzioni derivate f ^x e f _y sono tutte trasformazioni lineari . Una trasformazione bilineare, come qualsiasi funzione binaria, può essere interpretata come una funzione da X × Y a Z , ma questa funzione in generale non sarà lineare. Tuttavia, la trasformazione bilineare può anche essere interpretato come una singola trasformazione lineare dal prodotto tensoriale a Z . ${\ displaystyle X \ otimes Y}$

Generalizzazioni a funzioni ternarie e altre

Il concetto di generalizza funzionali binari a ternaria (o 3-ary ) funzione , quaternario (o 4-ary ) funzione , o più in generale per la funzione n-aria per qualsiasi numero naturale n . Una funzione 0-ario a Z è semplicemente dato da un elemento di Z . Si può anche definire una funzione A-ary dove A è un qualsiasi insieme ; v'è un ingresso per ogni elemento di A .

Teoria delle categorie

Nella teoria delle categorie , le funzioni n -arie si generalizzano a morfismi n -ari in una multicategoria . L'interpretazione di un morfismo n -ary come morfismi ordinari il cui dominio è una sorta di prodotto dei domini del morfismo n -ary originale funzionerà in una categoria monoidale . La costruzione dei morfismi derivati di una variabile funzionerà in una categoria monoidale chiusa . La categoria degli insiemi è monoidale chiusa, ma lo è anche la categoria degli spazi vettoriali, dando la nozione di trasformazione bilineare sopra.

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