Více kategorií - Multicategory

V matematice (zejména v teorii kategorií ) je multikategorie zobecněním pojmu kategorie, který umožňuje morfismy vícenásobné arity . Pokud jsou morfizmy v kategorii považovány za analogické funkcím , pak jsou morfizmy v multikategorii analogické funkcím několika proměnných. Vícekategorií se také někdy říká operády nebo barevné operády.

Definice

(Nesymetrická) multikategorie se skládá z

• sbírka (často správná třída ) předmětů ;
• pro každou konečnou posloupnost objektů (pro von Neumann ordinal ) a objekt Y , soubor morfismů od do Y ; a ${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in n}}$
• pro každý objekt X , speciální identitu morfismus (s n = 1) z X až X .

Kromě toho existují operace s kompozicí: Vzhledem k posloupnosti posloupností objektů, posloupnosti objektů a objektu Z : if ${\ displaystyle ((X_ {ij}) _ {i \ v n_ {j}}) _ {j \ v m}}$${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ v m}}$

• pro každý , f _j je morfismus od do Y _j ; a ${\ displaystyle j \ v m}$${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {i \ v n_ {j}}}$
• g je morfismus od do Z : ${\ displaystyle (Y_ {j}) _ {j \ v m}}$

pak je kompozitní morfismus od do Z . To musí splňovat určité axiomy: ${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ v m}}$${\ displaystyle (X_ {ij}) _ {i \ v n_ {j}, j \ v m}}$

• Pokud m = 1, Z = Y ₀ , a g je morfismus identity pro Y ₀ , pak g ( f ₀ ) = f ₀ ;
• pokud pro každý , n _J = 1, a f _j je identita morfismus pro Y _j , potom ; a ${\ displaystyle j \ v m}$${\ displaystyle X_ {0j} = Y_ {j}}$${\ displaystyle g (f_ {j}) _ {j \ v m} = g}$
• asociativnost podmínkou: pokud pro každý a , je morfismus od do , pak jsou identické morfizmy od k Z . ${\ displaystyle j \ v m}$${\ displaystyle i \ in n_ {j}}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ in o_ {ij}}}$${\ displaystyle X_ {ij}}$${\ displaystyle g \ left (f_ {j} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}} \ right) _ {j \ in m} = g (f_ {j}) _ {j \ in m} (e_ {ij}) _ {i \ in n_ {j}, j \ in m}}$${\ displaystyle (W_ {hij}) _ {h \ v o_ {ij}, i \ v n_ {j}, j \ v m}}$

Podkategorie

Comcategory (ko-multi-kategorie) je zcela uspořádaná množina O objektů, sada ze multiarrows se dvěma funkcemi

${\ displaystyle \ mathrm {head}: A \ rightarrow O,}$

${\ displaystyle \ mathrm {ground}: A \ rightarrow O ^ {\%},}$

kde O ^% je množina všech konečných seřazené sekvence prvků O . Lze shrnout duální obraz multiarrow f

${\ displaystyle f: \ mathrm {head} (f) \ Leftarrow \ mathrm {ground} (f).}$

Kategorie C má také multiprodukt s obvyklým charakterem kompoziční operace. C se říká, že je asociativní, pokud existuje víceproduktový axiom ve vztahu k tomuto operátoru.

Libovolnou vícekategorickou, symetrickou nebo nesymetrickou, spolu s celkovým uspořádáním sady objektů, lze vytvořit ekvivalentní kategorii.

Multiorder je comcategory splňující tyto podmínky.

• Existuje nanejvýš jeden multiarrow s danou hlavou a zemí.
• Každý objekt x má jednotku multiarrow.
• Víceřádkový je jednotka, pokud má její země jeden vstup.

Multiordery jsou zobecněním dílčích objednávek (posetů) a byly poprvé představeny (mimochodem) Tomem Leinsterem.

Příklady

Existuje vícekategorie, jejíž objekty jsou (malé) množiny , kde morfismus ze množin X ₁ , X ₂ , ... a X _n do množiny Y je funkce n -ary , tj. Funkce z kartézského součinu X ₁ x X ₂ × ... × X _n k Y .

Existuje vícekategorie, jejíž objekty jsou vektorové prostory ( řekněme nad racionálními čísly ), kde morfismus z vektorových prostorů X ₁ , X ₂ , ... a X _n do vektorového prostoru Y je multilineární operátor , tj. lineární transformace z tensor produktu X ₁ ⊗ X ₂ ⊗ ... ⊗ X _n k Y .

Obecněji řečeno, vzhledem k jakékoli monoidní kategorii C existuje vícekategorie, jejíž objekty jsou objekty C , kde morfismus z C- objektů X ₁ , X ₂ , ... a X _n do C- objektu Y je C -morphism z monoidal produktu z X ₁ , X ₂ , ..., a X _n k Y .

Operad je multicategory s jedinečnou předmětu; s výjimkou degenerovaných případů taková vícekategorie nepochází z monoidní kategorie.

Příklady multiorderů zahrnují špičaté multisety (sekvence A262671 v OEIS ), celočíselné oddíly (sekvence A063834 v OEIS ) a kombinatorické separace (sekvence A269134 v OEIS ). Trojúhelníky (nebo kompozice) jakéhokoli multiobjednávky jsou morfizmy (ne nutně asociativní) kategorie kontrakcí a kategorie dekompozic . Kategorie kontrakce pro multiobjednávku multimin oddílů (sekvence A255397 v OEIS ) je nejjednodušší známá kategorie multisetů.

Aplikace

Vícekategorie jsou často nesprávně považovány za patřící do teorie vyšších kategorií , protože jejich původní aplikací bylo zjištění, že operátory a identity uspokojené vyššími kategoriemi jsou objekty a víceřádky vícekategorií. Studium n -kategorií bylo zase motivováno aplikacemi v algebraické topologii a pokusy popsat teorii homotopy vyšších dimenzionálních variet . Většinou však vyrostl z této motivace a nyní je také považován za součást čisté matematiky. [1]

Korespondence mezi kontrakcemi a rozklady trojúhelníků v multiobjednávce umožňuje sestrojit asociativní algebru nazývanou algebra dopadu . Jakýkoli prvek, který je nenulový na všech šipkách jednotek, má kompoziční inverzi a Möbiova funkce multiobjednávky je definována jako kompoziční inverze funkce zeta (konstantní jedna) v algebře dopadu.

Dějiny

Vícekategorie pod tímto názvem poprvé představil Jim Lambek v dokumentu „ Deductive systems and categories II“ (1969). Zmínil (str. 108), že mu „bylo řečeno, že vícekategorie byly studovány také [Jean] Benabou a [Pierre] Cartier“ , a Leinster se skutečně domnívá, že „tento nápad mohl napadnout každého, kdo věděl, co jsou kategorie a multilineární mapa“.

Reference

• Garner, Richard (2008). „Polykategorie prostřednictvím pseudodistribučních zákonů“ . Pokroky v matematice . 218 (3): 781–827. arXiv : math / 0606735 . doi : 10.1016 / j.aim.2008.02.001 . S2CID   17057235 .