Hassasiyet indeksi - Sensitivity index

Eşit olmayan varyanslara sahip iki tek değişkenli normal dağılımın (üstte) ve eşit olmayan kovaryans matrislerine sahip iki çift değişkenli normal dağılımın (altta, elipsler 1 sd hata elipsleridir) Bayes-optimal sınıflandırma hatası olasılığı ve ayırt edilebilirlik endeksleri. Sınıflandırma sınırı siyahtır. Bunlar sayısal yöntemlerle hesaplanır.${\ Displaystyle e_{b}}$

Sensitivitesi veya discriminability göstergesi ya da tespit edilebilirlik göstergesi boyutsuz olan istatistik kullanılan sinyal algılama teorisi . Daha yüksek bir indeks, sinyalin daha kolay tespit edilebileceğini gösterir.

Tanım

Ayırt edilebilirlik indeksi, standart sapma birimlerinde iki dağılımın (tipik olarak sinyal ve gürültü dağılımları) araçları arasındaki ayrımdır.

Eşit varyanslar/kovaryanslar

İki tek değişkenli dağılımlar için ve aynı bir standart sapma ile bu ile işaret edilmektedir ( 'dee-asal'): ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili d'}$

${\displaystyle d'={\frac {\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert }{\sigma }}}$.

Daha yüksek boyutlarda, yani aynı varyans-kovaryans matrisine sahip iki çok değişkenli dağılımla (simetrik karekökü, standart sapma matrisi ), bu , iki dağılım arasındaki Mahalanobis mesafesine genelleşir : ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'\mathbf {\Sigma } ^{-1}( {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {\mu }} _{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})\rVert =\lVert {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}\rVert /\sigma _{\boldsymbol {\mu }}}$,

burada sd'nin araç boyunca birim vektörü boyunca 1d dilimi , yani araçlar boyunca 1d dilimi boyunca eşittir . ${\displaystyle \sigma _{\boldsymbol {\mu }}=1/\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {\mu }}\rVert }$${\ Displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\görüntüleme stili d'}$${\görüntüleme stili d'}$

Bu da olarak tahmin edilmektedir . ${\displaystyle Z({\text{isabet oranı}})-Z({\text{yanlış alarm oranı}})}$

Eşit olmayan varyanslar/kovaryanslar

İki dağılımın farklı standart sapmaları (veya genel boyutlarda, farklı kovaryans matrisleri) olduğunda, tümü eşit varyans/kovaryansa indirgenen birkaç rakip indeks vardır . ${\görüntüleme stili d'}$

Bayes ayırt edilebilirlik indeksi

Bu, örtüşmelerinin miktarına bağlı olarak iki dağılım için maksimum (Bayes-optimal) ayırt edilebilirlik indeksidir, yani ideal bir gözlemci tarafından optimal (Bayes) sınıflandırma hatası veya onun tamamlayıcısı, optimal doğruluk : ${\ Displaystyle e_{b}}$${\ Displaystyle a_{b}}$

${\displaystyle d'_{b}=-2Z\left({\text{Bayes hata oranı }}e_{b}\sağ)=2Z\left({\text{en iyi doğruluk oranı }}a_{b}\ sağ)}$,

standart normalin ters kümülatif dağılım fonksiyonu nerede . Tek değişkenli veya çok değişkenli normal dağılımlar arasındaki Bayes ayırt edilebilirliği sayısal olarak hesaplanabilir ( Matlab kodu ) ve dağılımlar normale yakın olduğunda bir yaklaşım olarak da kullanılabilir. ${\görüntüleme stili Z}$

${\displaystyle d'_{b}}$Kullback-Leibler sapması gibi dağılımlarla ilgili varsayımlardan bağımsız, pozitif-belirli bir istatistiksel uzaklık ölçüsüdür . asimetriktir, oysa iki dağılım için simetriktir. Ancak, üçgen eşitsizliğini sağlamaz, bu nedenle tam bir metrik değildir. ${\displaystyle D_{\metin{KL}}}$${\displaystyle D_{\text{KL}}(a,b)}$${\displaystyle d'_{b}(a,b)}$${\displaystyle d'_{b}}$

Özellikle, ortalamalar ve varyanslarla birlikte iki tek değişkenli normal dağılım arasındaki bir evet/hayır görevi için, Bayes-optimal sınıflandırma doğrulukları: ${\görüntüleme stili \mu _{a},\mu _{b}}$${\displaystyle v_{a}>v_{b}}$

${\displaystyle p(A|a)=p({\chi '}_{1,v_{a}\lambda }^{2}>v_{b}c),\;\;p(B|b) =p({\chi '}_{1,v_{b}\lambda }^{2}<v_{a}c)}$,

nerede gösterir olmayan santral ki-kare dağılımı , ve . Bayes ayırt edilebilirliği${\displaystyle \chi '^{2}}$${\displaystyle \lambda =\left({\frac {\mu _{a}-\mu _{b}}{v_{a}-v_{b}}}\sağ)^{2}}$${\displaystyle c=\lambda +{\frac {\ln v_{a}-\ln v_{b}}{v_{a}-v_{b}}}}$${\displaystyle d'_{b}=2Z\sol({\frac {p\sol(A|a\sağ)+p\sol(B|b\sağ)}{2}}\sağ).}$

${\displaystyle d'_{b}}$tek bir kaydırma kriteri ile iki tek değişkenli normal dağılım arasındaki evet/hayır görevinin ROC eğrisinden de hesaplanabilir . Ayrıca, ROC eğrisi üzerinde diyagonalden en uzak noktayı bularak, değişen bir olasılık oranı ile herhangi iki dağılımın (herhangi bir sayıda değişkende) ROC eğrisinden hesaplanabilir.

Bu dağılımlar arasındaki iki aralık görev için en uygun doğruluğu ( belirtmektedir genelleştirilmiş ki-kare dağılımı ), nerede . Bayes ayırt edilebilirliği . ${\displaystyle a_{b}=p\left({\tilde {\chi }}_{{\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},0,0 }^{2}>0\sağ)}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}^{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {w}}={\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&-\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}},\;{\ boldsymbol {k}}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {\lambda }}={\frac {\mu _{s}-\mu _{n}}{ \sigma _{s}^{2}-\sigma _{n}^{2}}}{\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&\sigma _{n}^{2} \end{bmatris}}}$${\displaystyle d'_{b}=2Z\sol(a_{b}\sağ)}$

RMS sd ayırt edilebilirlik indeksi

Kapalı bir forma sahip ortak bir yaklaşık (yani optimal altı) ayırt edilebilirlik indeksi, varyansların ortalamasını, yani iki standart sapmanın rms'sini almaktır: (ayrıca ile gösterilir ). Bu olduğu zaman altındaki alanın -score işletim karakteristik alıcı tek kriter gözlemcinin eğrisi (AUC). Bu indeks, ortak sd matrisi olarak, havuzlanmış kovaryans kullanılarak Mahalanobis mesafesi olarak genel boyutlara genişletilir . ${\displaystyle d'_{a}=\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{rms}}}$${\görüntüleme stili d_{a}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\görüntüleme stili z}$${\displaystyle \mathbf {S} _{\text{rms}}=\left[\left(\mathbf {\Sigma } _{a}+\mathbf {\Sigma } _{b}\sağ)/2\ sağ]^{\frac {1}{2}}}$

Ortalama sd ayırt edilebilirlik endeksi

Başka bir dizin, ortak sd matrisi olarak kullanılarak genel boyutlara genişletilmiştir . ${\displaystyle d'_{e}=\left\vert \mu _{a}-\mu _{b}\right\vert /\sigma _{\text{ort}}}$${\displaystyle \mathbf {S} _{\text{ort}}=\left(\mathbf {S} _{a}+\mathbf {S} _{b}\sağ)/2}$

Endekslerin karşılaştırılması

İki tek değişkenli normal dağılım için ve çok değişkenli normal dağılımlar için hala gösterilmiştir. ${\displaystyle d'_{a}\leq d'_{e}\leq d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}\leq d'_{e}}$

Böylece, ve maksimum discriminability hafife tek değişkenli Normal dağılımların. maksimum yaklaşık %30 oranında hafife alabilir . Tek değişkenli normal dağılımlar için yüksek ayırt edilebilirlik sınırında, yakınsar . Bu sonuçlar genellikle daha yüksek boyutlarda geçerlidir, ancak her zaman değil. Simpson ve Fitter , özellikle iki aralıklı görevler için en iyi indeks olarak terfi ettirildi , ancak Das ve Geisler bunun her durumda optimal ayırt edilebilirlik olduğunu ve genellikle iki aralıklı görevler için bile ' den daha iyi bir kapalı form yaklaşımı olduğunu gösterdi . ${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{a}}$

sd'lerin geometrik ortalamasını kullanan yaklaşık indeks , küçük ayırt edilebilirlikten daha azdır , ancak büyük ayırt edilebilirlikte daha büyüktür. ${\displaystyle d'_{gm}}$${\displaystyle d'_{b}}$

Ayrıca bakınız

• Alıcı çalışma karakteristiği (ROC)
• Özet istatistikler
• Efekt boyutu

Referanslar

• Wickens, Thomas D. (2001). Temel Sinyal Algılama Teorisi . OUP ABD. ch. 2, s. 20. ISBN'si 0-19-509250-3.

Dış bağlantılar

• d ′ hesaplamasını içeren etkileşimli sinyal algılama teorisi öğreticisi .

Bu işlem sinyal lı makaleye bir olduğunu saplama . Vikipedi'yi genişleterek yardımcı olabilirsiniz .

• v
• T
• e

Bu istatistik lı makale bir taslaktır . Vikipedi'yi genişleterek yardımcı olabilirsiniz .

• v
• T
• e