Følsomhedsindeks - Sensitivity index

Bayes-optimal klassificeringsfejlsandsynlighed og diskrimineringsindeks for to univariate normalfordelinger med ulige afvigelser (øverst) og to bivariate normalfordelinger med ulige kovariansmatriser (nederst, ellipser er 1 sd fejlelipser). Klassifikationsgrænsen er i sort. Disse beregnes ved hjælp af numeriske metoder.${\ displaystyle e_ {b}}$

Den følsomhed indeks eller discriminability indeks eller detekterbarhed indeks er en dimensionsløs statistik anvendes i signaldetektering teori . Et højere indeks angiver, at signalet lettere kan detekteres.

Definition

Diskrimineringsindekset er adskillelsen mellem midlerne til to fordelinger (typisk signalet og støjfordelingerne) i enheder af standardafvigelsen.

Lige afvigelser/kovarianser

For to univariate distributioner og med samme standardafvigelse betegnes det med ('dee-prime'): ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle d '}$

${\ displaystyle d '= {\ frac {\ left \ vert \ mu _ {a}-\ mu _ {b} \ right \ vert} {\ sigma}}}$.

I højere dimensioner, dvs. med to multivariate fordelinger med samme varians-kovariansmatrix , (hvis symmetriske kvadratrod, standardafvigelsesmatricen er ), generaliserer dette til Mahalanobis-afstanden mellem de to fordelinger: ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$${\ displaystyle \ mathbf {S}}$

${\ displaystyle d '= {\ sqrt {({\ boldsymbol {\ mu}} _ {a}-{\ boldsymbol {\ mu}} _ {b})' \ mathbf {\ Sigma} ^{-1} ( {\ boldsymbol {\ mu}} _ {a}-{\ boldsymbol {\ mu}} _ {b})}} = \ lVert \ mathbf {S} ^{-1} ({\ boldsymbol {\ mu}} _ {a}-{\ boldsymbol {\ mu}} _ {b}) \ rVert = \ lVert {\ boldsymbol {\ mu}} _ {a}-{\ boldsymbol {\ mu}} _ {b} \ rVert /\ sigma _ {\ boldsymbol {\ mu}}}$,

hvor er 1d -skiven af ​​sd langs enhedsvektoren gennem midlerne, dvs. lig med 1d -skiven gennem midlerne. ${\ displaystyle \ sigma _ {\ boldsymbol {\ mu}} = 1/\ lVert \ mathbf {S} ^{-1} {\ boldsymbol {\ mu}} \ rVert}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$${\ displaystyle d '}$${\ displaystyle d '}$

Dette anslås også som . ${\ displaystyle Z ({\ text {hit rate}})-Z ({\ text {false alarm rate}})}}$

Ulige forskelle/kovarianser

Når de to fordelinger har forskellige standardafvigelser (eller i generelle dimensioner, forskellige kovariansmatriser), findes der flere modstridende indekser, som alle reduceres til for lige varians/kovarians. ${\ displaystyle d '}$

Bayes diskrimineringsindeks

Dette er det maksimale (Bayes-optimale) diskrimineringsindeks for to fordelinger, baseret på mængden af ​​deres overlapning, det vil sige den optimale (Bayes) klassificeringsfejl ved en ideel observatør eller dens komplement, den optimale nøjagtighed : ${\ displaystyle e_ {b}}$${\ displaystyle a_ {b}}$

${\ displaystyle d '_ {b} =-2Z \ venstre ({\ text {Bayes fejlrate}} e_ {b} \ højre) = 2Z \ venstre ({\ text {bedste nøjagtighedsrate}} a_ {b} \ ret)}$,

hvor er den inverse kumulative fordelingsfunktion for standardnormalen. Bayes -diskrimineringen mellem univariate eller multivariate normalfordelinger kan beregnes numerisk ( Matlab -kode ) og kan også bruges som en tilnærmelse, når distributionerne er tæt på det normale. ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle d '_ {b}}$er en positiv-bestemt statistisk afstandsmåling, der er fri for antagelser om fordelingen, ligesom Kullback-Leibler-divergensen . er asymmetrisk, hvorimod den er symmetrisk for de to fordelinger. Imidlertid tilfredsstiller trekantens ulighed ikke, så det er ikke en fuld metrik. ${\ displaystyle D _ {\ tekst {KL}}}$${\ displaystyle D _ {\ tekst {KL}} (a, b)}$${\ displaystyle d '_ {b} (a, b)}$${\ displaystyle d '_ {b}}$

Især for en ja/nej-opgave mellem to univariate normalfordelinger med midler og afvigelser er de Bayes-optimale klassificeringsnøjagtigheder: ${\ displaystyle \ mu _ {a}, \ mu _ {b}}$${\ displaystyle v_ {a}> v_ {b}}$

${\ displaystyle p (A | a) = p ({\ chi '} _ {1, v_ {a} \ lambda}^{2}> v_ {b} c), \; \; p (B | b) = p ({\ chi '} _ {1, v_ {b} \ lambda}^{2} <v_ {a} c)}$,

hvor betegner den ikke-centrale chi i anden-fordeling , og . Bayes diskriminering${\ displaystyle \ chi '^{2}}$${\ displaystyle \ lambda = \ venstre ({\ frac {\ mu _ {a}-\ mu _ {b}} {v_ {a} -v_ {b}}} \ højre)^{2}}$${\ displaystyle c = \ lambda +{\ frac {\ ln v_ {a}-\ ln v_ {b}} {v_ {a} -v_ {b}}}}}$${\ displaystyle d '_ {b} = 2Z \ venstre ({\ frac {p \ venstre (A | a \ højre)+p \ venstre (B | b \ højre)} {2}} \ højre).}$

${\ displaystyle d '_ {b}}$kan også beregnes ud fra ROC -kurven for en ja/nej -opgave mellem to univariate normalfordelinger med et enkelt skiftende kriterium. Det kan også beregnes ud fra ROC-kurven for to fordelinger (i et vilkårligt antal variabler) med et forskydende sandsynlighedsforhold ved at lokalisere det punkt på ROC-kurven, der er længst fra diagonalen.

For en to-interval opgave mellem disse fordelinger er den optimale nøjagtighed ( betegner den generaliserede chi-kvadratiske fordeling ), hvor . Bayes diskriminering . ${\ displaystyle a_ {b} = p \ venstre ({\ tilde {\ chi}} _ {{\ boldsymbol {w}}, {\ boldsymbol {k}}, {\ boldsymbol {\ lambda}}, 0,0 }^{2}> 0 \ højre)}$${\ displaystyle {\ tilde {\ chi}}^{2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {w}} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {s}^{2} &-\ sigma _ {n}^{2} \ end {bmatrix}}, \; {\ boldsymbol {k}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \ end {bmatrix}}, \; {\ boldsymbol {\ lambda}} = {\ frac {\ mu _ {s}-\ mu _ {n}} { \ sigma _ {s}^{2}-\ sigma _ {n}^{2}}} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {s}^{2} & \ sigma _ {n}^{2} \ end {bmatrix}}}$${\ displaystyle d '_ {b} = 2Z \ venstre (a_ {b} \ højre)}$

RMS sd diskrimineringsindeks

Et almindeligt omtrentligt (dvs. suboptimalt) diskrimineringsindeks, der har en lukket form, er at tage gennemsnittet af afvigelserne, dvs. rms af de to standardafvigelser: (også betegnet med ). Det er gange -score for området under modtagerens driftskarakteristikkurve (AUC) for en enkelt -kriterieobservatør. Dette indeks udvides til generelle dimensioner som Mahalanobis -afstanden ved hjælp af den samlede kovarians, dvs. med som den fælles sd -matrix. ${\ displaystyle d '_ {a} = \ left \ vert \ mu _ {a}-\ mu _ {b} \ right \ vert /\ sigma _ {\ text {rms}}}$${\ displaystyle d_ {a}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {\ text {rms}} = \ venstre [\ venstre (\ mathbf {\ Sigma} _ {a}+\ mathbf {\ Sigma} _ {b} \ højre)/2 \ højre]^{\ frac {1} {2}}}$

Gennemsnitligt sd diskrimineringsindeks

Et andet indeks udvides til generelle dimensioner, der bruges som den fælles sd -matrix. ${\ displaystyle d '_ {e} = \ left \ vert \ mu _ {a}-\ mu _ {b} \ right \ vert /\ sigma _ {\ text {avg}}}$${\ displaystyle \ mathbf {S} _ {\ text {avg}} = \ left (\ mathbf {S} _ {a}+\ mathbf {S} _ {b} \ right)/2}$

Sammenligning af indekserne

Det er blevet vist, at for to univariate normalfordelinger , og for multivariate normalfordelinger, stadig. ${\ displaystyle d '_ {a} \ leq d' _ {e} \ leq d '_ {b}}$${\ displaystyle d '_ {a} \ leq d' _ {e}}$

Således, og undervurdere den maksimale discriminability af univariate normalfordelinger. maksimalt kan undervurdere cirka 30%. Ved grænsen for høj forskelsbehandling for univariate normalfordelinger, konvergerer til . Disse resultater gælder ofte i højere dimensioner, men ikke altid. Simpson og Fitter blev fremmet som det bedste indeks, især for to-interval opgaver, men Das og Geisler har vist, at det er den optimale forskelsbehandling i alle tilfælde, og er ofte en bedre tilnærmelse til lukket form end , selv for to-interval opgaver. ${\ displaystyle d '_ {a}}$${\ displaystyle d '_ {e}}$${\ displaystyle d '_ {b}}$${\ displaystyle d '_ {a}}$${\ displaystyle d '_ {b}}$${\ displaystyle d '_ {e}}$${\ displaystyle d '_ {b}}$${\ displaystyle d '_ {a}}$${\ displaystyle d '_ {b}}$${\ displaystyle d '_ {e}}$${\ displaystyle d '_ {a}}$

Det omtrentlige indeks , der bruger det geometriske middel af sd'erne, er mindre end ved lille forskelsbehandling, men større ved stor forskelsbehandling. ${\ displaystyle d '_ {gm}}$${\ displaystyle d '_ {b}}$

Se også

• Modtagerens driftskarakteristik (ROC)
• Opsummerende statistik
• Effektstørrelse

Referencer

• Wickens, Thomas D. (2001). Elementær signaldetektionsteori . OUP USA. kap. 2, s. 20. ISBN 0-19-509250-3.

eksterne links

• Interaktiv signaldetektionsteoriundervisning inklusive beregning af d ′.

Denne signalbehandlingsrelaterede artikel er en stubbe . Du kan hjælpe Wikipedia ved at udvide den .

• v
• t
• e

Denne statistikrelaterede artikel er en stubbe . Du kan hjælpe Wikipedia ved at udvide den .

• v
• t
• e