Wskaźnik wrażliwości - Sensitivity index

Optymalne prawdopodobieństwo błędu klasyfikacji Bayesa i wskaźniki dyskryminowalności dwóch jednowymiarowych rozkładów normalnych o nierównych wariancjach (u góry) oraz dwóch dwuwymiarowych rozkładów normalnych o nierównych macierzach kowariancji (na dole elipsy są elipsami błędu 1 SD). Granica klasyfikacji jest zaznaczona na czarno. Są one obliczane metodami numerycznymi.${\displaystyle e_{b}}$

Indeks wrażliwości lub indeks discriminability lub wskaźnik wykrywalności jest bezwymiarowym statystyki stosowane w teorii detekcji . Wyższy indeks wskazuje, że sygnał można łatwiej wykryć.

Definicja

Wskaźnik dyskryminowalności to separacja między średnimi z dwóch rozkładów (zazwyczaj rozkładów sygnału i szumu), w jednostkach odchylenia standardowego.

Równe wariancje/kowariancje

Dla dwóch rozkładów jednowymiarowych i przy tym samym odchyleniu standardowym jest to oznaczone ('dee-prime'): ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d'}$

${\ Displaystyle d' = {\ Frac {\ lewo \ vert \ mu _ {a} - \ mu _ {b} \ prawo \ vert} {\ sigma}}}$.

W wyższych wymiarach, tj. z dwoma rozkładami wielowymiarowymi z tą samą macierzą wariancji-kowariancji , (której symetryczny pierwiastek kwadratowy, macierz odchylenia standardowego, wynosi ), to uogólnia się na odległość Mahalanobisa między dwoma rozkładami: ${\displaystyle \mathbf {\sigma}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S}}$

${\ Displaystyle d '= {\ sqrt {({\ boldsymbol {\ mu}} _ {a} - {\ boldsymbol {\ mu}} _ {b}) '\ mathbf {\ Sigma} ^ {-1} ( {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {\mu }} _{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})\rVert =\lVert {\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}\rVert /\sigma _{\symbol pogrubienia {\mu }}}$,

gdzie jest 1d wycinek sd wzdłuż wektora jednostkowego przez środki, tj. równa się wzdłuż 1d wycinka przez środki. ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ boldsymbol {\ mu}} = 1 / \ lVert \ mathbf {S} ^ {-1} {\ boldsymbol {\ mu}} \ rVert}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu}}}$${\displaystyle d'}$${\displaystyle d'}$

Szacuje się to również jako . ${\ Displaystyle Z ({\ tekst {wskaźnik trafień}}) - Z ({\ tekst {wskaźnik fałszywych alarmów}})}$

Nierówne wariancje/kowariancje

Gdy te dwa rozkłady mają różne odchylenia standardowe (lub w ogólnych wymiarach różne macierze kowariancji), istnieje kilka rywalizujących wskaźników, z których wszystkie redukują się do równej wariancji/kowariancji. ${\displaystyle d'}$

Wskaźnik dyskryminacji Bayesa

Jest to maksymalny (optymalny Bayesa) wskaźnik dyskryminowalności dla dwóch rozkładów, oparty na wielkości ich nakładania się, czyli optymalny (Bayesa) błąd klasyfikacji przez idealnego obserwatora lub jego uzupełnienie, optymalna dokładność : ${\displaystyle e_{b}}$${\displaystyle a_{b}}$

${\ Displaystyle d '_ {b} = -2 Z \ lewo ({\ tekst {Bayes wskaźnik błędów}} e_ {b} \ po prawej) = 2 Z \ lewo ({\ tekst {najlepszy wskaźnik dokładności}} a_ {b} \ Prawidłowy)}$,

gdzie jest odwrotną skumulowaną funkcją rozkładu standardowej normalnej. Dyskryminowalność Bayesa między jednowymiarowym lub wielowymiarowym rozkładem normalnym może być obliczona numerycznie ( kod Matlaba ) i może być również używana jako przybliżenie, gdy rozkłady są bliskie normalnemu. ${\ Displaystyle Z}$

${\displaystyle d'_{b}}$jest dodatnio określoną statystyczną miarą odległości, która jest wolna od założeń dotyczących rozkładów, takich jak dywergencja Kullbacka-Leiblera . jest asymetryczny, natomiast jest symetryczny dla dwóch rozkładów. Nie spełnia jednak nierówności trójkąta, więc nie jest to pełna metryka. ${\ Displaystyle D_ {\ tekst {KL}}}$${\ Displaystyle D_ {\ tekst {KL}} (a, b)}$${\ Displaystyle d'_ {b} (a, b)}$${\displaystyle d'_{b}}$

W szczególności, dla zadania tak/nie między dwoma jednowymiarowymi rozkładami normalnymi ze średnimi i wariancjami , optymalne dokładności klasyfikacji Bayesa są następujące: ${\ Displaystyle \ mu _ {a}, \ mu _ {b}}$${\displaystyle v_{a}>v_{b}}$

${\ Displaystyle p (A | a) = p ({\ chi '} _ {1, v_ {a} \ lambda} ^ {2}> v_ {b} c), \; \; p (B | b) =p({\chi '}_{1,v_{b}\lambda }^{2}<v_{a}c)}$,

gdzie oznacza niecentralny rozkład chi-kwadrat , , i . Dyskryminowalność Bayesa${\ Displaystyle \ chi '^ {2}}$${\ Displaystyle \ lambda = \ lewo ({\ Frac {\ mu _ {a} - \ mu _ {b}} {v_ {a}-v_ {b}}} \ prawej) ^ {2}}$${\ Displaystyle c = \ lambda + {\ Frac {\ ln v_ {a} - \ ln v_ {b}} {v_ {a}-v_ {b}}}}$${\ Displaystyle d '_ {b} = 2Z \ lewo ({\ Frac {p \ lewo (A | a \ po prawej) + p \ po lewej (B | b \ po prawej)} {2}} \ po prawej).}$

${\displaystyle d'_{b}}$można również obliczyć z krzywej ROC zadania tak/nie między dwoma jednowymiarowymi rozkładami normalnymi z jednym kryterium przesunięcia. Można go również obliczyć z krzywej ROC dowolnych dwóch rozkładów (w dowolnej liczbie zmiennych) ze zmiennym ilorazem wiarygodności, lokalizując punkt na krzywej ROC, który jest najdalej od przekątnej.

W przypadku zadania dwuprzedziałowego między tymi rozkładami optymalna dokładność wynosi ( oznacza uogólniony rozkład chi-kwadrat ), gdzie . Dyskryminowalność Bayesa . ${\ Displaystyle a_ {b} = p \ lewo ({\ tylda {\ chi}} _ {\ pogrubienie {w}}, {\ pogrubienie {k}}, {\ pogrubienie {\ lambda}}}, 0,0 }^{2}>0\prawo)}$${\displaystyle {\tylda {\chi}}^{2}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {w}} = {\ zacząć {bmatrix} \ sigma _ {s} ^ {2} & - \ sigma _ {n} ^ {2} \ koniec {bmatrix}}, \; {\ boldsymbol {k}}={\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}},\;{\boldsymbol {\lambda }}={\frac {\mu _{s}-\mu _{n}}{ \sigma _{s}^{2}-\sigma _{n}^{2}}}{\begin{bmatrix}\sigma _{s}^{2}&\sigma _{n}^{2} \end{bmatryca}}}$${\ Displaystyle d'_ {b} = 2Z \ lewo (a_ {b} \ prawo)}$

Wskaźnik dyskryminacji RMS sd

Powszechnym przybliżonym (tj. suboptymalnym) wskaźnikiem dyskryminowalności, który ma formę domkniętą, jest przyjmowanie średniej z wariancji, tj. wartości skutecznej dwóch odchyleń standardowych: (oznaczonych również przez ). Jest razy -score obszaru pod odbiornika działającego charakterystyczną krzywą (AUC) obserwator jednego kryterium. Indeks ten jest rozszerzany do wymiarów ogólnych jako odległość Mahalanobisa przy użyciu połączonej kowariancji, tj. jako wspólnej macierzy sd. ${\ Displaystyle d '_ {a} = \ lewo \ vert \ mu _ {a} - \ mu _ {b} \ prawo \ vert / \ sigma _ {\ tekst {rms}}}$${\displaystyle d_{a}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle z}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {\ tekst {RMS}} = \ lewo [\ lewo (\ mathbf {\ Sigma} _ {a} + \ mathbf {\ Sigma} _ {b} \ prawej) / 2 \ w prawo]^{\frac {1}{2}}}$

Średni wskaźnik dyskryminacji sd

Innym indeksem jest , rozszerzony do ogólnych wymiarów przy użyciu jako wspólnej macierzy sd. ${\ Displaystyle d '_ {e} = \ lewo \ vert \ mu _ {a} - \ mu _ {b} \ prawo \ vert / \ sigma _ {\ tekst {średnia}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} _ {\ tekst {śr.}} = \ lewo (\ mathbf {S} _ {a} + \ mathbf {S} _ {b} \ prawej)/2}$

Porównanie indeksów

Wykazano, że dla dwóch jednowymiarowych rozkładów normalnych i dla wielowymiarowych rozkładów normalnych nadal. ${\displaystyle d'_{a}\leq d'_{e}\leq d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}\leq d'_{e}}$

Zatem i nie doceniaj maksymalnej dyskryminowalności jednowymiarowych rozkładów normalnych. można zaniżać maksymalnie o około 30%. Na granicy wysokiej dyskryminowalności dla jednowymiarowych rozkładów normalnych zbiega się do . Wyniki te często są prawdziwe w wyższych wymiarach, ale nie zawsze. Simpson i Fitter promowani jako najlepszy wskaźnik, szczególnie dla zadań dwuprzedziałowych, ale Das i Geisler wykazali, że jest to optymalna dyskryminowalność we wszystkich przypadkach i często jest lepszym przybliżeniem formy zamkniętej niż , nawet dla zadań dwuprzedziałowych. ${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{a}}$${\displaystyle d'_{b}}$${\displaystyle d'_{e}}$${\displaystyle d'_{a}}$

Przybliżony wskaźnik , który wykorzystuje średnią geometryczną wartości sd, jest mniejszy niż przy małej odróżnialności, ale większy przy dużej. ${\displaystyle d'_{gm}}$${\displaystyle d'_{b}}$

Zobacz też

• Charakterystyka pracy odbiornika (ROC)
• Statystyki podsumowujące
• Rozmiar efektu

Bibliografia

• Wickens, Thomas D. (2001). Elementarna teoria wykrywania sygnałów . OUP USA. rozdz. 2, s. 20. Numer ISBN 0-19-509250-3.

Zewnętrzne linki

• Interaktywny samouczek dotyczący teorii wykrywania sygnałów, w tym obliczanie d .

Ten artykuł dotyczący przetwarzania sygnału jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

• v
• T
• mi

Ten artykuł związany ze statystykami jest skrótem . Możesz pomóc Wikipedii, rozwijając ją .

• v
• T
• mi