Nadkategoria - Overcategory

W matematyce, w szczególności w teorii kategorii , nadkategoria (i podkategoria) to wyodrębniona klasa kategorii używanych w wielu kontekstach, takich jak zakrywające przestrzenie (espace etale) . Zostały wprowadzone jako mechanizm do śledzenia danych otaczających stały obiekt w jakiejś kategorii . Istnieje podwójne pojęcie podkategorii, które jest definiowane podobnie. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Definicja

Niech będzie kategorią i przedmiotem stałym ze strony ⁵⁹ . Overcategory (zwany również kategorię plaster ) jest przypisanemu których obiekty są parami , gdzie jest morfizmem się . Następnie morfizm między obiektami jest dany przez morfizm w kategorii takiej, że poniższy diagram dojeżdża do pracy${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle (\ pi, A)}$${\ displaystyle \ pi: od A \ do X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle f: (\ pi, A) \ do (\ pi ', A')}$${\ displaystyle f: A \ do A '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} A i \ xrightarrow {f} & A '\\\ pi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ pi' \\ X & = & X \ end {matrix}}}$

Istnieje podwójne pojęcie zwane podkategorią (zwaną także kategorią koslice), której obiekty są parami, w których występuje morfizm . Następnie morfizmy w są podane przez morfizmy w taki sposób, że poniższy diagram dojeżdża${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle (\ psi, B)}$${\ Displaystyle \ psi: X \ do B}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle g: B \ do B '}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} X & = & X \\\ psi \ downarrow {\ text {}} & {\ text {}} & {\ text {}} \ downarrow \ psi '\\ B & \ xrightarrow {g } & B '\ end {matrix}}}$

Te dwa pojęcia mają uogólnienia w teorii 2 kategorii i teorii wyższych kategorii s. ⁴³ , z definicjami analogicznymi lub zasadniczo takimi samymi.

Nieruchomości

Wiele właściwości kategorialnych jest dziedziczonych przez skojarzone z obiektem nadrzędne i podkategorie . Na przykład, jeśli ma skończone produkty i koprodukty , jest to natychmiastowe kategorie i mają te właściwości, ponieważ produkt i koprodukt można skonstruować w ramach uniwersalnych właściwości, a dzięki właściwościom uniwersalnym istnieje wyjątkowy morfizm do lub z . Ponadto dotyczy to również limitów i kolimitów . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}} / X}$${\ displaystyle X / {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Przykłady

Nadkategorie w witrynie

Przypomnijmy, że teren jest kategorycznym uogólnieniem przestrzeni topologicznej wprowadzonej po raz pierwszy przez Grothendiecka . Jeden z przykładów kanonicznych pochodzi bezpośrednio z topologii, gdzie kategoria, której obiekty są otwartymi podzbiorami pewnej przestrzeni topologicznej , a morfizmy są podane przez mapy inkluzji. Następnie dla ustalonego podzbioru otwartego nadkategoria jest kanonicznie równoważna kategorii dla topologii indukowanej . Dzieje się tak, ponieważ każdy obiekt w jest otwartym podzbiorem zawartym w . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ text {otwórz}} (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ text {Otwórz}} (X) / U}$${\ Displaystyle {\ text {Otwórz}} (U)}$${\ Displaystyle U \ subseteq X}$${\ Displaystyle {\ text {Otwórz}} (X) / U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$

Kategoria algebr jako podkategoria

Kategoria przemienności - algebry jest równoważna podkategorii dla kategorii pierścieni przemiennych. Dzieje się tak, ponieważ struktura -algebry na pierścieniu przemiennym jest bezpośrednio kodowana przez morfizm pierścienia . Jeśli weźmiemy pod uwagę kategorię przeciwną, jest to nadkategoria schematów afinicznych lub po prostu . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A / {\ text {CRing}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A \ do B}$${\ Displaystyle {\ text {Aff}} / {\ tekst {Spec}} (A)}$${\ displaystyle {\ text {Aff}} _ {A}}$

Nadkategorie przestrzeni

Inną powszechną nadkategorią rozważaną w literaturze są nadkategorie przestrzeni, takie jak schematy, rozmaitości gładkie lub przestrzenie topologiczne. Te kategorie kodowania obiektów względem nieruchomego obiektu, na przykład kategorii programów na , . Produkty światłowodowe należące do tych kategorii można uznać za przecięcia, ponieważ obiekty są podobiektami obiektu stałego. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ text {Sch}} / S}$

Zobacz też

• Kategoria z przecinkiem

Bibliografia