Nilpotent - Nilpotent

Gelen matematik , bir elemanın X a halka R denir nilpotenttir olumlu mevcutsa tamsayı , n adlandırılan indeks (ya da bazen derecesi ), öyle ki x ^{, n}  = 0 dır.

Terim, Benjamin Peirce tarafından cebirlerin sınıflandırılması konusundaki çalışmaları bağlamında tanıtıldı .

Örnekler

• Bu tanım özellikle kare matrislere uygulanabilir . matris

${\displaystyle A={\başlangıç{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

çünkü nilpotenttir bir ³ = 0 bakınız nilpotentlik matrisi daha fazlası.

• Olarak faktör halkası , Z / 9 Z , denklik sınıfı 3 çünkü 3 nilpotenttir ² olan uyumlu 0 modülo 9.
• Varsayalım iki eleman , bir ,  B , bir halka içerisinde R, tatmin ab  = 0 Daha sonra eleman c  =  ba olarak nilpotenttir C ²  = ( ba ) ²  =  b ( ab ) bir  matrisleri = 0 örnek olarak, ( a ,  b ):

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$

Burada AB  = 0, BA  =  B .

• Tanım olarak, bir nilsemigrubunun herhangi bir elemanı nilpotenttir.

Özellikler

Hiçbir nilpotent öğe bir birim olamaz ( yalnızca tek bir öğeye sahip olan {0} önemsiz halkada 0 = 1 ). Sıfır olmayan tüm nilpotent elemanlar sıfır bölenlerdir .

Bir n -by- N matrisi bir bir gelen girişlerle alanı olan, ancak ve ancak nilpotenttir karakteristik polinom olan T ⁿ .

Eğer X - üstel sıfır, daha sonra 1  x olan bir birim , çünkü x ^{, n} = 0 gerektirir bir

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.}$

Daha genel olarak, bir birim elemanın ve bir sıfır potansiyelli elemanın toplamı, işe gidip geldiklerinde bir birimdir.

değişmeli halkalar

Değişmeli bir halkadan gelen nilpotent elemanlar bir ideal oluşturur ; bu, binom teoreminin bir sonucudur . Bu ideal halkanın sıfırdır . Değişmeli bir halkadaki her nilpotent eleman , o halkanın her asal idealinde bulunur, çünkü . Yani tüm asal ideallerin kesişiminde bulunur. ${\görüntüleme stili R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$${\görüntüleme stili x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

Nilpotent değilse , sıfır olmayan bir halka elde etmek için : kuvvetlerine göre yerelleştirme yapabiliriz . Lokalize halkanın asal idealleri , with asal ideallerine tam olarak karşılık gelir . Her sıfır olmayan değişmeli halkanın, asal olan bir maksimum ideali olduğundan, her sıfır potansiyelli olmayan bir asal idealde yer almaz. Böylece tam olarak tüm asal idealler kesişimi olduğunu. ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}}$${\ Displaystyle S^{-1}R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\görüntüleme stili R}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$

'Dekine karakteristik benzer Jacobson radikal ve basit modüllerin imha nilradical için kullanılabilir: halka nilpotentlik elemanları R tam halka iç tüm tamamlayıcı etki olanlar bu yok etmesi gereken olan R (bu form etmektedir R / I asal idealin için bir ). Bu, nilradikal'in tüm asal ideallerin kesişimi olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Lie cebirinde Nilpotent elemanlar

Izin bir olmak Lie cebiri . Daha sonra, bir elemanı , bir nilpotent dönüşümdeyse ve bir nilpotent dönüşüm ise, nilpotent olarak adlandırılır . Ayrıca bakınız: Bir Lie cebirinde Jordan ayrıştırması . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle \operatör adı {ad} x}$

Fizikte Nilpotens

Bir işlenen S tatmin olduğu Q ² = 0 nilpotenttir. Fermiyonik alanlar için bir yol integrali gösterimine izin veren Grassmann sayıları , kareleri yok olduğundan nilpotentlerdir. BRST şarj önemli bir örnektir fiziği .

Doğrusal operatörler bir ilişkisel cebir ve dolayısıyla bir halka oluşturduğundan, bu ilk tanımın özel bir durumudur. Daha genel olarak, yukarıdaki tanımların ışığında, bir operatör S olması durumunda nilpotenttir n ∈ N öyle ki Q ^{, n}  = 0 ( sıfır fonksiyonu ). Bu durumda, bir doğrusal harita nilpotenttir IFF bazı olarak bir nilpotentlik bir matrise sahiptir. Bunun için başka bir örnek, dış türevdir (yine n = 2 ile ). Edward Witten tarafından ünlü bir makalede gösterildiği gibi , her ikisi de süpersimetri ve Mors teorisi yoluyla bağlantılıdır .

Elektromanyetik alan bu cinsinden ifade edildiğinde kaynaklar olmadan düzlem dalgası nilpotenttir fiziksel mekan cebir . Daha genel olarak, teoremleri türetmek için kullanılan mikro toplamsallık tekniği, nilpotent veya nilsquare sonsuz küçükleri kullanır ve kısmen pürüzsüz sonsuz küçük analizdir .

cebirsel nilpotentler

İki boyutlu çift ​​sayılar bir sıfır potansiyelli boşluk içerir. Üstel sıfır boşluk içeren diğer cebir ve sayılar dahil bölünmüş quaternions (coquaternions), bölünmüş Oktonyonlar , biquaternions ve karmaşık Oktonyonlar . ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {O} }$

Ayrıca bakınız

• İdempotent eleman (halka teorisi)
• tek güçlü
• azaltılmış halka
• sıfır ideal

Referanslar