Element puternic al Nilului

Un element nilpotent este un termen din teoria inelului , o ramură a matematicii . Un element al unui inel se numește nilpotent dacă este înmulțit suficient de des de unul singur pentru a produce elementul zero .

definiție

Un element al unui inel se numește nilpotent dacă există un număr natural pozitiv astfel încât . Se spune că un ideal este nilpotent dacă există un număr natural pozitiv astfel . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle I \ subseteq R}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle I ^ {n} = (0)}$

Exemple

De exemplu, matricea este

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

nilpotent, deoarece se aplică

{\ displaystyle A ^ {3} = 0}

.

(Pentru proprietăți speciale ale matricilor nilpotente, consultați articolul Matricea nilpotentă .)

În inelul de clasă rest , clasele restante de 0, 2, 4 și 6 sunt nilpotente, deoarece a treia lor putere este congruentă cu 0 modulo 8. În acest inel, fiecare element este fie nilpotent, fie o unitate . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 8 \ mathbb {Z}}$

În inelul de clasă rest , elementele nilpotente sunt exact clasele restante de 0 și 6. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 12 \ mathbb {Z}}$

Elementul zero al unui inel este întotdeauna nilpotent, există . ${\ displaystyle 0 ^ {1} = 0}$

proprietăți

Setul tuturor elementelor nilpotente ale unui inel comutativ formează un ideal, așa-numitul radical Nil .

Intersecția tuturor idealurilor prime într-un inel comutativ cu 1 este exact radicalul Nilului.

În cele ce urmează, să fie un inel, un element nilpotent și cel mai mic număr natural cu . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a ^ {n} = 0}$

Este , atunci este și este divizor zero , deoarece și . ${\ displaystyle a \ neq 0}$ ${\ displaystyle n> 1}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle aa ^ {n-1} = 0}$ ${\ displaystyle a ^ {n-1} \ neq 0}$

Dacă există și un inel cu 1 și nu inelul zero , atunci: ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle a}$ nu este inversabil (în ceea ce privește multiplicarea), deoarece contradicția urmează pentru un element inelar (a fost ales minim!). ${\ displaystyle from = 1}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle 0 = a ^ {n} b = a ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle n}$
${\ displaystyle 1-a}$ este inversabil deoarece se aplică . ${\ displaystyle (1-a) \ left (1 + a + a ^ {2} + \ dotsb + a ^ {n-1} \ right) = 1-a ^ {n} = 1 = \ left (1+ a + a ^ {2} + \ dotsb + a ^ {n-1} \ right) (1-a)}$
Dacă există și o unitate care face naveta, atunci ceea ce se vede ca privind reprezentarea poate fi, de asemenea, inversat . ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b + a}$ ${\ displaystyle b + a = b \ cdot \ left (1- \ left (-b ^ {- 1} a \ right) \ right)}$

Fie un inel de clasă reziduală și produsul tuturor divizorilor primi ai , adică a tuturor numerelor prime care apar în factorizarea primă a lui . De exemplu pentru este . Atunci elementele nilpotente ale lui sunt exact clasele restante de numere întregi care sunt multipli ai lui . Ideea demonstrației este următoarea: Dacă cel mai mare exponent care apare în factorizarea primă a lui , atunci este un multiplu al ; fiecare număr pentru care o putere este multiplu trebuie să aibă în sine fiecare divizor prim al . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m = 12 = 2 ^ {2} \ cdot 3}$ ${\ displaystyle p = 6 = 2 \ cdot 3}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$