Dekoodausmenetelmät - Decoding methods

In koodausteoriaan , dekoodaus on prosessi kääntäminen vastaanotetut viestit koodisanoja tietyn koodin . On ollut monia yleisiä menetelmiä viestien yhdistämisessä koodisanoihin. Näitä käytetään usein meluisalla kanavalla , kuten binaarisymmetrisellä kanavalla , lähetettyjen viestien palauttamiseen .

Merkintä

${\ displaystyle C \ osajoukko \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ pidetään binäärikoodina , jonka pituus on ; on osia ; ja on näiden elementtien välinen etäisyys. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d (x, y)}$

Ihanteellinen tarkkailijan dekoodaus

Voidaan antaa viesti , sitten ihanteellinen tarkkailijan dekoodaus tuottaa koodisanan . Prosessi johtaa tähän ratkaisuun: ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ sisään C}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {lähetetty}} \ mid x {\ mbox {vastaanotettu}})}

Esimerkiksi henkilö voi valita koodisanan, joka todennäköisesti vastaanotetaan viestinä lähetyksen jälkeen. ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$

Dekoodauskäytännöt

Kullakin koodisanalla ei ole odotettua mahdollisuutta: koodisanaa voi olla useampi kuin yksi, ja todennäköisyys mutatoitua vastaanotettuun viestiin on yhtä suuri. Tällöin lähettäjän ja vastaanottajien on vastaanotettava etukäteen dekoodauskäytäntö. Suosittuja käytäntöjä ovat:

Pyydä koodisanan lähettämistä uudelleen - automaattinen uusintapyyntö .
Valitse mikä tahansa satunnaisempi koodisana todennäköisimpien koodisanojen joukosta, joka on sitä lähempänä.
Jos seuraava koodi seuraa , merkitse koodisanan epäselvät bitit poistona ja toivon, että ulompi koodi erottaa ne

Suurin dekoodauksen todennäköisyys

Annetun vastaanotetun vektorin suurimman todennäköisyyden dekoodaus valitsee koodisanan, joka maksimoi ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ sisään C}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {vastaanotettu}} \ keskellä y {\ mbox {lähetetty}})}

,

eli koodisana, joka maksimoi vastaanotetun todennäköisyyden , kun otetaan huomioon lähetetty. Jos kaikki koodisanat lähetetään yhtä todennäköisesti, tämä järjestelmä vastaa ihanteellista tarkkailijan dekoodausta. Itse asiassa Bayesin lause , ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathbb {P} (x {\ mbox {vastaanotettu}} \ keskellä y {\ mbox {lähetetty}}) & {} = {\ frac {\ mathbb {P} (x { \ mbox {vastaanotettu}}, y {\ mbox {lähetetty}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox {lähetetty}})}} \\ & {} = \ mathbb {P} (y {\ mbox {lähetetty}} \ mid x {\ mbox {vastaanotettu}}) \ cdot {\ frac {\ mathbb {P} (x {\ mbox {vastaanotettu}})} {\ mathbb {P} (y {\ mbox { lähetetty}})}}. \ end {tasattu}}}

Korjauksen yhteydessä se on uudelleenjärjestelty ja vakio, koska kaikki koodisanat lähetetään yhtä todennäköisesti. Siksi se maksimoidaan muuttujan funktiona juuri silloin, kun se on maksimoitu, ja väite seuraa. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {vastaanotettu}})}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {lähetetty}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (x {\ mbox {vastaanotettu}} \ keskellä y {\ mbox {lähetetty}})}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (y {\ mbox {lähetetty}} \ mid x {\ mbox {vastaanotettu}})}$

Kuten ihanteellisella tarkkailijan dekoodauksella, ei-ainutlaatuisella dekoodauksella on sovittava sopimuksesta.

Suurimman todennäköisyyden dekoodausongelma voidaan mallintaa myös kokonaisluvun ohjelmointiongelmana .

Suurimman todennäköisyyden dekoodausalgoritmi on esimerkki "marginalisoi tuotefunktio" -ongelmasta, joka ratkaistaan soveltamalla yleistä jakelulakia .

Pienin etäisyyden dekoodaus

Kun vastaanotettu koodisana on , minimietäisyyden dekoodaus valitsee koodisanan Hamming-etäisyyden minimoimiseksi : ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y \ sisään C}$

{\ displaystyle d (x, y) = \ # \ {i: x_ {i} \ not = y_ {i} \}}

ts. valitse koodisana, joka on mahdollisimman lähellä . ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x}$

Huomaa, että jos erillisen muistittoman kanavan virhetodennäköisyys on ehdottomasti alle puolet, vähimmäisetäisyysdekoodaus vastaa suurimman todennäköisyyden dekoodausta , koska jos ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle d (x, y) = d, \,}

sitten:

{\ displaystyle {\ begin {tasattu} \ mathbb {P} (y {\ mbox {vastaanotettu}} \ mid x {\ mbox {sent}}) & {} = (1-p) ^ {nd} \ cdot p ^ {d} \\ & {} = (1-p) ^ {n} \ cdot \ vasen ({\ frac {p} {1-p}} \ oikea) ^ {d} \\\ loppu {tasattu} }}

joka (koska p on alle puolet) maksimoidaan minimoimalla d .

Pienimmän etäisyyden dekoodaus tunnetaan myös lähimmän naapurin dekoodauksena . Sitä voidaan avustaa tai automatisoida käyttämällä tavallista taulukkoa . Pienin etädekoodaus on kohtuullinen dekoodausmenetelmä, kun seuraavat ehdot täyttyvät:

Virheen todennäköisyys on riippumaton symbolin sijainnista. ${\ displaystyle p}$
Virheet ovat itsenäisiä tapahtumia - virhe yhdessä paikassa viestissä ei vaikuta muihin sijainteihin.

Nämä oletukset voivat olla kohtuullisia lähetyksiä binaarisymmetrisellä kanavalla . Ne voivat olla kohtuuttomia muille tietovälineille, kuten DVD-levyille, joissa yksi naarmu levyllä voi aiheuttaa virheen monissa naapurisymboleissa tai koodisanoissa.

Kuten muillakin dekoodausmenetelmillä, on sovittava sopimuksesta ei-ainutlaatuisesta dekoodauksesta.

Oireyhtymän dekoodaus

Oireyhtymä dekoodaus on erittäin tehokas menetelmä dekoodaamiseksi lineaarisen koodin yli meluisassa kanava , eli yksi, jossa virhe on tehty. Pohjimmiltaan oireyhtymän dekoodaus on vähimmäisetäisyyden dekoodaus käyttämällä pienennettyä hakutaulukkoa. Tämän sallii koodin lineaarisuus.

Oletetaan, että on lineaarinen koodi, jonka pituus ja minimietäisyys kanssa pariteettitarkistuksen matriisi . Sitten pystyy selvästi korjaamaan jopa ${\ displaystyle C \ osajoukko \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle t = \ vasen \ lfloor {\ frac {d-1} {2}} \ right \ rfloor}

kanavan tekemät virheet (koska jos ei tehdä enempää kuin virheitä, vähimmäisetäisyysdekoodaus dekoodaa edelleen virheellisesti lähetetyn koodisanan oikein). ${\ displaystyle t}$

Oletetaan nyt, että koodisana lähetetään kanavan kautta ja virheilmoitus tapahtuu. Sitten vastaanotetaan. Tavallinen vähimmäisetäisyys dekoodauksen olisi lookup vektori taulukossa koon lähimmän ottelussa - eli elementti (ei välttämättä ainutlaatuinen) kanssa ${\ displaystyle x \ sisään \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle e \ sisään \ mathbb {F} _ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z = x + e}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle | C |}$ ${\ displaystyle c \ sisään C}$

{\ displaystyle d (c, z) \ leq d (y, z)}

kaikille . Oireyhtymän dekoodaus hyödyntää pariteettimatriisin ominaisuutta, joka: ${\ displaystyle y \ sisään C}$

{\ displaystyle Hx = 0}

kaikille . Oireyhtymä vastaanotettujen on määritelty olevan: ${\ displaystyle x \ sisään C}$ ${\ displaystyle z = x + e}$

{\ displaystyle Hz = H (x + e) ​​= Hx + He = 0 + He = He}

Suorittaa ML dekoodaamiseksi on binaarinen symmetrisen kanavan , yksi on look-up esilaskettu taulukon koko , kartoitus ja . ${\ displaystyle 2 ^ {nk}}$ ${\ displaystyle Hän}$ ${\ displaystyle e}$

Huomaa, että tämä on jo huomattavasti vähemmän monimutkaista kuin tavallisen taulukon dekoodauksen .

Jos oletetaan, että lähetyksen aikana ei tapahtunut enempää kuin virheitä, vastaanotin voi etsiä arvon edelleen pienennetystä kokotaulukosta ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle Hän}$

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ sum _ {i = 0} ^ {t} {\ binom {n} {i}} \\\ end {matrix}}}

Luettelon dekoodaus

Tietojoukon dekoodaus

Tämä on Las Vegas -probabilististen menetelmien perhe, joka perustuu havaintoon, että on helpompaa arvata riittävän virheettömiä sijainteja kuin kaikkien virhepaikkojen arvata.

Yksinkertaisin muoto johtuu Prange: Let on generaattorimatriisi, jota käytetään koodaukseen. Valitse sarakkeet satunnaisesti ja merkitään vastaavalla alimatriisilla . Kohtuullisella todennäköisyydellä, on täysi sijoitus, mikä tarkoittaa, että jos annamme olla osa-vektorin vastaaviin kohtiin minkä tahansa koodisanan ja viestiä , voimme palauttaa niin . Siksi, jos olisimme onnekkaita, että nämä vastaanotetun sanan sijainnit eivät sisällä virheitä, ja näin ollen yhtä suuret kuin lähetetyn koodisanan sijainnit, voimme dekoodata. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle k \ kertaa n}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G '}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G '}$ ${\ displaystyle c '}$ ${\ displaystyle c = mG}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m = c'G '^ {- 1}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle y}$

Jos virheitä tapahtui, todennäköisyyden tällaiseen onnekkaaseen sarakevalintaan antaa . ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {nt} {k}} / {\ binom {n} {k}}}$

Tätä menetelmää on parannettu monin tavoin, esimerkiksi Stern ja Canteaut sekä Sendrier.

Osittaisen vasteen suurin todennäköisyys

Osittaisen vasteen maksimitodennäköisyys ( PRML ) on menetelmä magneettisen levy- tai nauha-aseman pään heikon analogisen signaalin muuntamiseksi digitaaliseksi signaaliksi.

Viterbi-dekooderi

Viterbi-dekooderi käyttää Viterbi-algoritmia dekoodaamaan bittivirran, joka on koodattu käyttämällä konvoluutiokoodiin perustuvaa eteenpäin tulevaa virhekorjausta . Hamming-etäisyys käytetään metriikka kovan päätöksen Viterbi-dekooderit. Neliöity euklidisen etäisyyden käytetään metriikka pehmeän päätöksen dekooderit.

Katso myös

Viitteet

Lisälukemista

Hill, Raymond (1986). Ensimmäinen kurssi koodausteoriassa . Oxford Applied Mathematics and Computing Science -sarja. Oxford University Press . ISBN 978-0-19-853803-5 .
Pless, Vera (1982). Johdatus virheenkorjauskoodien teoriaan . Wiley-Interscience -sarja diskreettisessä matematiikassa. John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-08684-0 .
van Lint, Jacobus H. (1992). Johdatus koodausteoriaan . Matematiikan valmistuneet tekstit (GTM). 86 (2 painos). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-54894-2 .

Languages

In other projects