Proces punctual - Point process

În statistică și teoria probabilității , un proces punct sau câmp punct este o colecție de puncte matematice situate aleator pe un spațiu matematic, cum ar fi linia reală sau spațiul euclidian. Procesele punctuale pot fi utilizate ca modele matematice ale fenomenelor sau obiectelor reprezentabile ca puncte într-un anumit tip de spațiu.

Există diferite interpretări matematice ale unui proces punctual, cum ar fi o măsură de numărare aleatorie sau un set aleatoriu. Unii autori consideră un proces punctual și un proces stocastic ca două obiecte diferite, astfel încât un proces punctual este un obiect aleatoriu care apare dintr-un proces stocastic sau este asociat cu acesta, deși s-a remarcat că diferența dintre procesele punctuale și procesele stocastice nu este clară. . Alții consideră un proces punct ca un proces stochastic, în care procesul este indexat de seturi ale spațiului subiacent pe care este definit, cum ar fi linia reală sau spațiul euclidian dimensional. Alte procese stochastice precum procesele de reînnoire și numărare sunt studiate în teoria proceselor punctuale. Uneori termenul „proces punct” nu este preferat, deoarece istoric cuvântul „proces” denotă o evoluție a unui sistem în timp, astfel încât procesul punctual este numit și câmp punctual aleatoriu. ${\ displaystyle n}$

Procesele punctuale sunt obiecte bine studiate în teoria probabilităților și subiectul unor instrumente puternice în statistici pentru modelarea și analiza datelor spațiale , care prezintă interes în discipline atât de diverse precum silvicultură, ecologie vegetală, epidemiologie, geografie, seismologie, știința materialelor, astronomie, telecomunicații , neuroștiințe computaționale, economie și altele.

Procesele punctelor pe linia reală formează un caz special important, care este deosebit de susceptibil de studiu, deoarece punctele sunt ordonate într-un mod natural, iar procesul întregului punct poate fi descris complet prin intervalele (aleatorii) dintre puncte. Aceste procese punctiforme sunt frecvent utilizate ca modele pentru evenimente aleatorii în timp, cum ar fi sosirea clienților într-o coadă ( teoria cozii ), a impulsurilor într-un neuron ( neuroștiințe de calcul ), particule într-un contor Geiger , localizarea posturilor de radio într-un rețea de telecomunicații sau de căutări pe web-ul mondial .

Teoria proceselor punctuale generale

În matematică, un proces punct este un element aleatoriu , ale cărui valori sunt „modele de puncte“ pe un set de S . În timp ce în definiția matematică exactă un model de punct este specificat ca o măsură de numărare finită local , este suficient pentru mai multe scopuri aplicate să ne gândim la un model de punct ca un subset de numărare al lui S care nu are puncte limită .

Definiție

Pentru a defini procesele punctuale generale, începem cu un spațiu de probabilitate și un spațiu măsurabil unde este un al doilea spațiu Hausdorff contabil local compus și care este algebra lui Borel . Să considerăm acum un nucleu cu valori întreg local finite de la , adică, o cartografiere astfel încât: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$ ${\ displaystyle (S, {\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ times {\ mathcal {S}} \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$

Pentru fiecare , este o măsură finită la nivel local . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi (\ omega, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S}$
Pentru fiecare , este o variabilă aleatorie peste . ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ xi (\ cdot, B): \ Omega \ mapsto \ mathbb {Z} _ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$

Acest nucleu definește o măsură aleatorie în felul următor. Am dori să ne gândim ca definind o mapare care se mapează la o măsură (și anume ), unde este setul tuturor măsurilor finite local . Acum, pentru a face această mapare măsurabilă, trebuie să definim un -field over . Acest câmp este construit ca algebră minimă, astfel încât toate hărțile de evaluare ale formei , unde este relativ compactă , să fie măsurabile. Echipat cu acest -field, atunci este un element aleatoriu, în cazul în care pentru fiecare , este o măsură local finită peste . ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega} \ in {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ Omega \ mapsto {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathcal {S}})}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ pi _ {B}: \ mu \ mapsto \ mu (B)}$ ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {S}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ xi _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle S}$

Acum, printr - un proces punct de pe înțelegem pur și simplu o măsură de prim rang-număr întreg aleator (sau echivalent, cu valori întreg nucleu) construit ca mai sus. Cel mai comun exemplu pentru spațiul de stare S este spațiul euclidian R ⁿ sau un subset al acestuia, unde un caz special deosebit de interesant este dat de jumătatea reală [0, ∞). Cu toate acestea, procesele punctuale nu se limitează la aceste exemple și pot fi folosite printre altele și dacă punctele sunt ele însele subseturi compacte ale lui R ⁿ , caz în care ξ este denumit de obicei un proces de particule . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ xi}$

S-a observat că termenul proces punct nu este unul foarte bun dacă S nu este un subset al liniei reale, deoarece ar putea sugera că ξ este un proces stocastic . Cu toate acestea, termenul este bine stabilit și necontestat chiar și în cazul general.

Reprezentare

Fiecare instanță (sau eveniment) al unui proces punctual ξ poate fi reprezentată ca

{\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ delta _ {X_ {i}},}

unde denotă măsura Dirac , n este o variabilă aleatoare cu valori întregi și sunt elemente aleatoare ale S . Dacă sunt aproape sigur distincte (sau echivalent, aproape sigur pentru toate ), atunci procesul punctual este cunoscut ca simplu . ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ xi (x) \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

O altă reprezentare diferită, dar utilă a unui eveniment (un eveniment în spațiul evenimentului, adică o serie de puncte) este notația de numărare, în care fiecare instanță este reprezentată ca o funcție, o funcție continuă care ia valori întregi : ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle N: {\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {Z} ^ {+}}}$

{\ displaystyle N (t_ {1}, t_ {2}) = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ xi (t) dt}

care este numărul de evenimente din intervalul de observare . Uneori este notat cu , și sau rău . ${\ displaystyle (t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle N_ {t_ {1}, t_ {2}}}$ ${\ displaystyle N_ {T}}$ ${\ displaystyle N (T)}$ ${\ displaystyle N_ {0, T}}$

Măsura de așteptare

Măsura așteptare Eξ (cunoscută și ca măsură medie ) a unui proces ξ punct este o măsură pe S care asignează fiecare Borel submulțime B din S numărul preconizat de puncte de ξ în B . Acesta este,

{\ displaystyle E \ xi (B): = E {\ bigl (} \ xi (B) {\ bigr)} \ quad {\ text {pentru fiecare}} B \ în {\ mathcal {B}}.}

Laplace funcțional

Funcționalitatea Laplace a unui proces punctual N este o hartă de la setul tuturor funcțiilor valorice pozitive f pe spațiul de stare al lui N , definite după cum urmează: ${\ displaystyle \ Psi _ {N} (f)}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$

{\ displaystyle \ Psi _ {N} (f) = E [\ exp (-N (f))]}

Acestea joacă un rol similar ca funcțiile caracteristice pentru variabila aleatoare . O teoremă importantă spune că: două procese puncte au aceeași lege dacă funcționalitățile lor Laplace sunt egale.

Măsura momentului

Lea putere a unui proces punct, este definit pe spațiul de produs , după cum urmează: ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ xi ^ {n},}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$

{\ displaystyle \ xi ^ {n} (A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ xi (A_ {i})}

Prin monotonă clasa teorema , acest lucru definește în mod unic măsura produs pe Așteptarea este numit - lea măsură momentul . Prima măsură de moment este măsura medie. ${\ displaystyle (S ^ {n}, B (S ^ {n})).}$ ${\ displaystyle E \ xi ^ {n} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle n}$

Lasă . La Intensitățile comune ale unui proces punct de WRT măsura Lebesgue sunt funcții astfel încât pentru orice disjoint mărginit subseturi Borel ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {(k)}: (\ mathbb {R} ^ {d}) ^ {k} \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {k}}$

{\ displaystyle E \ left (\ prod _ {i} \ xi (B_ {i}) \ right) = \ int _ {B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {k}} \ rho ^ {(k )} (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \, dx_ {1} \ cdots dx_ {k}.}

Intensitățile articulare nu există întotdeauna pentru procesele punctuale. Având în vedere că momentele unei variabile aleatorii determină variabila aleatoare în multe cazuri, este de așteptat un rezultat similar pentru intensitățile articulare. Într-adevăr, acest lucru a fost demonstrat în multe cazuri.

Staționaritate

Se spune că un proces punctar este staționar dacă are aceeași distribuție ca pentru toate Pentru un proces punctar staționar, măsura medie pentru o constantă și unde reprezintă măsura Lebesgue. Aceasta se numește intensitatea procesului punctual. Un proces de punct staționar are aproape sigur fie 0, fie un număr infinit de puncte în total. Pentru mai multe despre procesele punctului staționar și măsurarea aleatorie, consultați capitolul 12 din Daley & Vere-Jones. Staționaritatea a fost definită și studiată pentru procesele punctuale în spații mai generale decât . ${\ displaystyle \ xi \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ xi + x: = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ delta _ {X_ {i} + x}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d}.}$ ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = \ lambda \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$

Exemple de procese punctuale

Vom vedea câteva exemple de procese punctuale în ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Procesul punctului Poisson

Cel mai simplu și omniprezent exemplu de proces punctual este procesul punctului Poisson , care este o generalizare spațială a procesului Poisson . Un proces Poisson (numărare) pe linie poate fi caracterizat prin două proprietăți: numărul de puncte (sau evenimente) în intervale disjuncte sunt independente și au o distribuție Poisson . Un proces de punct Poisson poate fi definit și folosind aceste două proprietăți. Și anume, spunem că un proces punctual este un proces punctual Poisson dacă următoarele două condiții sunt valabile ${\ displaystyle \ xi}$

1) sunt independente pentru subseturi disjuncte ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$ ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}.}$

2) Pentru orice subset delimitat , are o distribuție Poisson cu parametru unde denotă măsura Lebesgue . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |,}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

Cele două condiții pot fi combinate împreună și scrise după cum urmează: Pentru orice subseturi mărginite disjunt și numere întregi non-negative avem că ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}$

{\ displaystyle \ Pr [\ xi (B_ {i}) = k_ {i}, 1 \ leq i \ leq n] = \ prod _ {i} e ^ {- \ lambda \ | B_ {i} \ |} {\ frac {(\ lambda \ | B_ {i} \ |) ^ {k_ {i}}} {k_ {i}!}}.}

Constanta se numește intensitatea procesului punctului Poisson. Rețineți că procesul punctului Poisson este caracterizat de parametrul unic. Este un proces punctar staționar simplu. Pentru a fi mai specific, se numește procesul punctului de mai sus un proces omogen al punctului Poisson. Un proces neomogen Poisson este definit mai sus, dar prin înlocuirea cu unde este activată o funcție non-negativă ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda.}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {} {}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}.}$

Procesul punctului Cox

Un proces Cox (numit după Sir David Cox ) este o generalizare a procesului punctului Poisson, prin faptul că folosim măsuri aleatorii în locul . Mai formal, să fie o măsură aleatorie . Un proces de punct Cox condus de măsurarea aleatorie este procesul de punct cu următoarele două proprietăți: ${\ displaystyle \ lambda \ | B \ |}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ ${\ displaystyle \ xi}$

Dat , Poisson este distribuit cu parametru pentru orice subset delimitat ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ xi (B)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B)}$ ${\ displaystyle B.}$
Pentru orice colecție finită de subseturi disjuncte și condiționate de noi avem independență. ${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Lambda (B_ {1}), \ ldots, \ Lambda (B_ {n}),}$ ${\ displaystyle \ xi (B_ {1}), \ ldots, \ xi (B_ {n})}$

Este ușor de văzut că procesul punctului Poisson (omogen și neomogen) urmează ca cazuri speciale ale proceselor punctului Cox. Măsura medie a unui proces de punct Cox este și, prin urmare, în cazul special al unui proces de punct Poisson, este ${\ displaystyle E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda \ | \ cdot \ |.}$

Pentru un proces de punct Cox, se numește măsurarea intensității . Mai mult, dacă are o densitate (aleatorie) ( derivat Radon-Nikodym ) adică, ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ Lambda (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

{\ displaystyle \ Lambda (B) {\ stackrel {\ text {as}} {=}} \ int _ {B} \ lambda (x) \, dx,}

atunci se numește câmpul de intensitate al procesului punctului Cox. Staționaritatea măsurilor de intensitate sau câmpurilor de intensitate implică staționaritatea proceselor corespunzătoare punctului Cox. ${\ displaystyle \ lambda (\ cdot)}$

Au existat multe clase specifice de procese punct Cox care au fost studiate în detaliu, cum ar fi:

Jurnalul proceselor punctului Gaussian Cox: pentru un câmp aleatoriu Gaussian ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ exp (X (y))}$ ${\ displaystyle X (.)}$
Zgomot de fotografiere Procese punct Cox :, pentru un proces punct Poisson și nucleu ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (\ cdot, \ cdot)}$
Zgomot de fotografiere generalizat Procese punct Cox: pentru un proces punct și nucleu ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ sum _ {X \ in \ Phi} h (X, y)}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Procese de puncte Cox bazate pe Lévy: pentru o bază și un nucleu Lévy și ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ int h (x, y) L (dx)}$ ${\ displaystyle L (\ cdot)}$ ${\ displaystyle h (.,.)}$
Procese punct de Permanental Cox: pentru k câmpuri aleatoare Gaussian independente s“ ${\ displaystyle \ lambda (y) = X_ {1} ^ {2} (y) + \ cdots + X_ {k} ^ {2} (y)}$ ${\ displaystyle X_ {i} (\ cdot)}$
Procese punctiforme sigmoidiene Gaussian Cox: pentru un câmp aleatoriu Gauss și aleatoriu ${\ displaystyle \ lambda (y) = \ lambda ^ {\ star} / (1+ \ exp (-X (y)))}$ ${\ displaystyle X (\ cdot)}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {\ star}> 0}$

Prin inegalitatea lui Jensen, se poate verifica dacă procesele punctului Cox satisfac următoarea inegalitate: pentru toate subseturile Borel mărginite , ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ xi (B)) \ geq \ operatorname {Var} (\ xi _ {\ alpha} (B)),}

unde reprezintă un proces punct Poisson cu măsură de intensitate Astfel punctele sunt distribuite cu o variabilitate mai mare într-un proces punct Cox comparativ cu un proces punct Poisson. Aceasta se numește uneori grupare sau proprietate atractivă a procesului punct Cox. ${\ displaystyle \ xi _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha (\ cdot): = E \ xi (\ cdot) = E \ Lambda (\ cdot).}$

Procese punctiforme determinante

O clasă importantă de procese punctuale, cu aplicații la fizică , teoria matricii aleatorii și combinatorică , este cea a proceselor punctuale determinante .

Procese Hawkes (autoexcitante)

Un proces Hawkes , cunoscut și sub numele de proces de numărare auto-excitant, este un proces punctual simplu a cărui intensitate condiționată poate fi exprimată ca ${\ displaystyle N_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ lambda (t) & = \ mu (t) + \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ nu (ts) dN_ {s} \\ & = \ mu (t) + \ sum _ {T_ {k} <t} \ nu (t-T_ {k}) \ end {array}}}$

unde este o funcție de nucleu care exprimă influența pozitivă a evenimentelor trecute asupra valorii actuale a procesului de intensitate , este o funcție posibil nestatiară care reprezintă partea așteptată, previzibilă sau deterministă a intensității și este momentul apariției Primul eveniment al procesului. ${\ displaystyle \ nu: \ mathbb {R} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle T_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda (t)}$ ${\ displaystyle \ mu (t)}$ ${\ displaystyle \ {T_ {i}: T_ {i} <T_ {i + 1} \} \ în \ mathbb {R}}$

Procese geometrice

Având în vedere o succesiune de variabile aleatorii non-negative:, dacă sunt independente și cdf de este dat de for , unde este o constantă pozitivă, atunci se numește proces geometric (GP). ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ dots \}}$ ${\ displaystyle X_ {k}}$ ${\ displaystyle F (a ^ {k-1} x)}$ ${\ displaystyle k = 1,2, \ dots}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ {X_ {k}, k = 1,2, \ ldots \}}$

Procesul geometric are mai multe extensii, inclusiv procesul seriei α și procesul dublu geometric .

Procese punctate pe jumătatea reală

Din punct de vedere istoric, primele procese punctuale care au fost studiate au avut drept jumătate reală R ₊ = [0, ∞) ca spațiu de stare, care în acest context este interpretat de obicei ca timp. Aceste studii au fost motivate de dorința de a modela sistemele de telecomunicații, în care punctele reprezentau evenimente în timp, cum ar fi apelurile către o centrală telefonică.

Procesele punctuale de pe R ₊ sunt de obicei descrise oferind secvența timpilor lor inter-evenimente (aleatorii) ( T ₁ , T ₂ , ...), din care secvența reală ( X ₁ , X ₂ , ...) a orele evenimentelor pot fi obținute ca

{\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} T_ {j} \ quad {\ text {for}} k \ geq 1.}

Dacă orele între evenimente sunt independente și distribuite identic, procesul punctual obținut se numește proces de reînnoire .

Intensitatea unui proces punctual

Intensitatea X ( t | H _t ) a unui proces punct pe jumătate linia reală cu privire la o filtrare H _t este definit ca

{\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr ({\ text {Un eveniment are loc în interval de timp}} \, [t, t + \ Delta t] \ mid H_ {t}),}

H _t poate indica istoria timpilor punctului eveniment care preced timpul t, dar poate corespunde și altor filtrări (de exemplu, în cazul unui proces Cox).

În -notation, acest lucru poate fi scris într - o formă mai compactă: . ${\ displaystyle N (t)}$ ${\ displaystyle \ lambda (t \ mid H_ {t}) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {1} {\ Delta t}} \ Pr (N (t + \ Delta t) -N (t) = 1 \ mijloc H_ {t})}$

Compensatorul unui proces punct, de asemenea , cunoscut sub numele de proiecția dual-previzibil , este funcția de intensitate condiționată integrată definită de

${\ displaystyle \ Lambda ^ {} (s _ {}, u) = \ int _ {s} ^ {u} \ lambda ^ {} (t | H_ {t}) \ mathrm {d} t}$

Funcții conexe

Funcția de intensitate Papangelou

Funcția de intensitate Papangelou a unui proces punctual în spațiul euclidian dimensional este definită ca ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ lambda _ {p} (x) = \ lim _ {\ delta \ to 0} {\ frac {1} {| B _ {\ delta} (x) |}} {P} \ {{\ text {Un eveniment are loc în}} \, B _ {\ delta} (x) \ mid \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))] \},}

unde este bila centrată pe o rază și denotă informațiile procesului punctului exterior . ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ sigma [N (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ delta} (x))]}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle B _ {\ delta} (x)}$

Funcția de probabilitate

Probabilitatea logaritmică a unui proces punctar simplu parametrizat condiționat de unele date observate este scrisă ca

${\ displaystyle \ ln {\ mathcal {L}} (N (t) _ {t \ in [0, T]}) = \ int _ {0} ^ {T} (1- \ lambda (s)) ds + \ int _ {0} ^ {T} \ ln \ lambda (s) dN_ {s}}$

Procese punctuale în statistici spațiale

Analiza datelor modelului punctual într-un subset compact S al lui R ⁿ este un obiect major de studiu în cadrul statisticii spațiale . Astfel de date apar într-o gamă largă de discipline, printre care se numără

silvicultură și ecologie vegetală (pozițiile copacilor sau plantelor în general)
epidemiologie (localizarea domiciliului pacienților infectați)
zoologie (vizuini sau cuiburi de animale)
geografie (pozițiile așezărilor umane, orașelor sau orașelor)
seismologie (epicentrele cutremurelor)
știința materialelor (pozițiile defectelor materialelor industriale)
astronomie (locații ale stelelor sau galaxiilor)
neuroștiințe computaționale (vârfuri de neuroni).

Necesitatea utilizării proceselor punctuale pentru modelarea acestor tipuri de date constă în structura lor spațială inerentă. În consecință, o primă întrebare de interes este adesea dacă datele date prezintă aleatoritate spațială completă (adică sunt o realizare a unui proces Poisson spațial ) spre deosebire de a prezenta fie agregare spațială, fie inhibare spațială.

În schimb, multe seturi de date luate în considerare în statisticile clasice multivariate constau din puncte de date generate independent care pot fi guvernate de una sau mai multe covariabile (de obicei non-spațiale).

În afară de aplicațiile din statistica spațială, procesele punctuale sunt unul dintre obiectele fundamentale din geometria stocastică . Cercetările s-au concentrat, de asemenea, pe diverse modele construite pe procese punctiforme, cum ar fi Teselări Voronoi, grafice geometrice aleatorii, model boolean etc.

Languages

In other projects