Flera integraler - Multiple integral

Del av en serie artiklar om
Beräkning
Grundläggande sats Leibniz integrerad regel Funktionsgränser Kontinuitet Medelvärdes sats Rolles sats
Differentiell Definitioner Derivat  ( generaliseringar ) Differentiell oändligt liten av en funktion total Begrepp Differentieringsnotation Andra derivatet Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterade priser Taylors sats Regler och identiteter Belopp Produkt Kedja Kraft Kvot L'Hotels regel Omvänd General Leibniz Faà di Brunos formel Reynolds
Väsentlig Listor över integraler Integrerad omvandling Definitioner Antiderivativ Integral  ( felaktig ) Riemann integrerad Lebesgue -integration Konturintegrering Integrerad omvända funktioner Integration av Delar Skivor Cylindriska skal Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Partiella fraktioner Ändrar ordning Reduktionsformler Differentieras under det integrerade tecknet Risch algoritm
Serier Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Omväxlande Kraft Binom Taylor Konvergensprov Summand limit (term test) Förhållande Rot Väsentlig Direkt jämförelse Begränsa jämförelsen Alternerande serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Lutning Divergens Ringla Laplacian Riktningsderivat Identiteter Satser Lutning Green's Stokes Divergens generaliserade Stokes
Multivariabel Formalism Matris Tensor Exteriör Geometrisk Definitioner Delvis derivat Flera integraler Linje integrerad Yt integrerad Volym integrerad Jacobian Hessian
Specialiserad Fraktionerad Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historia Ordlista Lista över ämnen Integrationsbi Analys
v t e

I matematik (specifikt multivariabel beräkning ) är en multipelintegral en bestämd integral av en funktion av flera verkliga variabler , till exempel f ( x , y ) eller f ( x , y , z ) . Integraler av en funktion av två variabler över ett område i (det verkliga antalet planet) kallas dubbelintegraler och integraler av en funktion av tre variabler över ett område i (real-antal 3D-rymd) kallas trippelintegraler . För flera integraler av en enkelvariabel funktion, se Cauchy-formeln för upprepad integration . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Introduktion

Precis som den bestämda integralen av en positiv funktion av en variabel representerar området av regionen mellan grafen av funktionen och x -axeln, den dubbla integralen av en positiv funktion av två variabler representerar volymen av regionen mellan den yta som definieras av funktionen (på det tredimensionella kartesiska planet där z = f ( x , y ) ) och planet som innehåller dess domän . Om det finns fler variabler ger en multipel integral hypervolymer av flerdimensionella funktioner.

Multipel integration av en funktion i n variabler: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) över en domän D representeras oftast av kapslade integrala tecken i omvänd ordningsföljd (integraltecknet längst till vänster beräknas sist ), följt av funktionen och integrandargumenten i rätt ordning (integralen med avseende på argumentet längst till höger beräknas sist). Integrationsdomänen representeras antingen symboliskt för varje argument över varje integraltecken eller förkortas av en variabel längst till höger om integraltecknet:

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {\ mathbf {D}} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Eftersom begreppet antiderivativ endast definieras för funktioner i en enda verklig variabel, sträcker sig inte den vanliga definitionen av den obestämda integralen omedelbart till multipelintegralen.

Matematisk definition

För n > 1 , överväga en så kallad " halvöppen " n -dimensionell hyperrektangulär domän T , definierad som:

${\ displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}) \ subseteq \ mathbb {R} ^{n}.}$

Dela varje intervall [ a _j , b _j ) i en ändlig familj I _j av icke-överlappande delintervaller i _{j α} , med varje delintervall stängt i vänster ände och öppet i höger ände.

Sedan den finita familjen av subrektanglar C ges av

${\ displaystyle C = I_ {1} \ times I_ {2} \ times \ cdots \ times I_ {n}}$

är en partition av T ; det vill säga, de subrectangles C _k är icke-överlappande och deras förening är T .

Låt f  : T → R vara en funktion definierad på T . Betrakta en partition C av T enligt definitionen ovan, så att C är en familj av m subrektanglar C _m och

${\ displaystyle T = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {m}}$

Vi kan approximera den totala ( n + 1) th -dimensionella volymen som avgränsas nedan av n -dimensionella hyperrektangel T och över av n -dimensionella grafen för f med följande Riemann -summa :

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

där P _k är en punkt i C _k och m ( C _k ) är produkten av längden på de intervaller vars kartesiska produkt är C _k , även känd som måttet för C _k .

Den diameter hos en subrectangle C _k är den största av längderna av intervallen vars kartesisk produkt är C _k . Diametern för en given partition av T definieras som den största av diametrarna på subrektanglarna i partitionen. Intuitivt, eftersom diametern på partitionen C begränsas mindre och mindre, blir antalet subrektanglar m större och måttet m ( C _k ) för varje subrektangel blir mindre. Funktionen f sägs vara Riemann integrerbar om gränsen

${\ displaystyle S = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sum _ {k = 1}^{m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}}$

existerar, där gränsen tas över alla möjliga skiljeväggar av T med diametern högst δ .

Om f är Riemann integrerbar, kallas S för Riemann -integralen av f över T och betecknas

${\ displaystyle \ int \ cdots \ int _ {T} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Denna notation förkortas ofta som

${\ displaystyle \ int _ {T} \! f (\ mathbf {x}) \, d^{n} \ mathbf {x}.}$

där x betecknar n -tuple ( x ₁ , ..., x _n ) och d ⁿ x är den n -dimensionella volym avvikelsen .

Riemann -integralen för en funktion definierad över en godtyckligt begränsad n -dimensionell uppsättning kan definieras genom att utöka funktionen till en funktion definierad över en halvöppen rektangel vars värden är noll utanför den ursprungliga funktionens domän. Då definieras integralen av den ursprungliga funktionen över den ursprungliga domänen som integralen av den utökade funktionen över dess rektangulära domän, om den existerar.

I det följande kommer Riemann -integralen i n -dimensioner att kallas multipelintegralen .

Egenskaper

Flera integraler har många egenskaper som är gemensamma för egenskaperna hos integraler av funktioner i en variabel (linjäritet, kommutativitet, monotonicitet och så vidare). En viktig egenskap hos flera integraler är att värdet på en integral är oberoende av integrandernas ordning under vissa förhållanden. Denna fastighet är populärt känd som Fubinis sats .

Särskilda fall

I fallet , integral ${\ displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^{2}}$

${\ displaystyle l = \ iint _ {T} f (x, y) \, dx \, dy}$

är dubbelintegralen av f på T , och om integralen ${\ displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^{3}}$

${\ displaystyle l = \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz}$

är den tredubbla integralen av f på T .

Lägg märke till att dubbelintegralen enligt konventionen har två integrala tecken, och den tredubbla integralen har tre; detta är en notationskonvention som är bekväm när man beräknar en multipelintegral som en itererad integral, som visas senare i denna artikel.

Metoder för integration

Lösningen av problem med flera integraler består i de flesta fall av att hitta ett sätt att reducera multipelintegralen till en itererad integral , en serie integraler av en variabel, var och en direkt lösbar. För kontinuerliga funktioner motiveras detta av Fubinis sats . Ibland är det möjligt att få resultatet av integrationen genom direkt undersökning utan några beräkningar.

Följande är några enkla integrationsmetoder:

Integrering av konstanta funktioner

När integranden är en konstant funktion c , är integralen lika med produkten av c och måttet på integrationsdomänen. Om c = 1 och domänen är en underregion av R ² , ger integralen området av regionen, medan om domänen är en underregion av R ³ , ger integralen volymen av regionen.

Exempel. Låt f ( x , y ) = 2 och

${\ displaystyle D = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^{2} \: \ 2 \ leq x \ leq 4 \; \ 3 \ leq y \ leq 6 \ right \}}$

i vilket fall

${\ displaystyle \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{4} \ 2 \ dx \, dy = 2 \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{ 4} \ 1 \ dx \, dy = 2 \ cdot \ operatorname {area} (D) = 2 \ cdot (2 \ cdot 3) = 12,}$

eftersom vi per definition har:

${\ displaystyle \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{4} \ 1 \ dx \, dy = \ operatorname {area} (D).}$

Användning av symmetri

När integrationsdomänen är symmetrisk om ursprunget med avseende på åtminstone en av integrationsvariablerna och integranden är udda med avseende på denna variabel är integralen lika med noll, eftersom integralerna över domänens två halvor har samma absoluta värde men motsatta tecken. När integranden är jämn med avseende på denna variabel är integralen lika med två gånger integralen över ena halvan av domänen, eftersom integralerna över domänens två halvor är lika.

Exempel 1. Tänk på funktionen f ( x , y ) = 2 sin ( x ) - 3 y ³ + 5 integrerad över domänen

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R}^{2} \: \ x^{2}+y^{2} \ leq 1 \ right \},}$

en skiva med radie  1 centrerad vid ursprunget med gränsen inkluderad.

Med hjälp av linjäritetsegenskapen kan integralen sönderdelas i tre delar:

${\ displaystyle \ iint _ {T} \ left (2 \ sin x-3y^{3} +5 \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {T} 2 \ sin x \, dx \, dy -\ iint _ {T} 3y^{3} \, dx \, dy+\ iint _ {T} 5 \, dx \, dy}$

Funktionen 2 sin ( x ) är en udda funktion i variabeln x och skivan T är symmetrisk med avseende på y -axeln, så värdet på den första integralen är 0. På samma sätt är funktionen 3 y ³ en udda funktion av y , och T är symmetrisk med avseende på x -axeln, så det enda bidraget till det slutliga resultatet är det för den tredje integralen. Därför är den ursprungliga integralen lika med diskens yta 5 eller 5 π .

Exempel 2. Betrakta funktionen f ( x , y , z ) = x exp ( y ² + z ² ) och som integrationsregion är bollen med radie 2 centrerad vid ursprunget,

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R}^{3} \: \ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ leq 4 \höger\}.}$

"Bollen" är symmetrisk kring alla tre axlarna, men det är tillräckligt att integrera med avseende på x -axeln för att visa att integralen är 0, eftersom funktionen är en udda funktion av den variabeln.

Normala domäner på R ²

Denna metod är tillämplig på alla domäner D för vilka:

• den projektion av D på antingen x -axeln eller y -axeln begränsas av de två värdena, en och b
• varje linje vinkelrätt mot denna axel som passerar mellan dessa två värden skär skärmen i ett intervall vars slutpunkter ges av graferna för två funktioner, α och β .

En sådan domän kommer här att kallas en normal domän . På andra ställen i litteraturen kallas normala domäner ibland typ I- eller typ II -domäner, beroende på vilken axel domänen är fibrerad över. I alla fall måste funktionen som ska integreras vara Riemann integrerbar på domänen, vilket är sant (till exempel) om funktionen är kontinuerlig.

x -axel

Om domänen D är normal med avseende på x -axeln och f  : D → R är en kontinuerlig funktion ; därefter α ( x ) och β ( x ) (vilka båda är definierade på intervallet [ a , b ] ) är de två funktioner som avgör D . Sedan, enligt Fubinis sats:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a}^{b} dx \ int _ {\ alpha (x)}^{\ beta (x) } f (x, y) \, dy.}$

y -axel

Om D är normalt med avseende på y -axeln och f  : D → R är en kontinuerlig funktion; därefter α ( y ) och β ( y ) (vilka båda är definierade på intervallet [ a , b ] ) är de två funktioner som avgör D . Återigen, med Fubinis sats:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a}^{b} dy \ int _ {\ alpha (y)}^{\ beta (y) } f (x, y) \, dx.}$

Normala domäner på R ³

Om T är en domän som är normal med avseende på xy -planet och bestäms av funktionerna α ( x , y ) och β ( x , y ) , då

${\ displaystyle \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iint _ {D} \ int _ {\ alpha (x, y)}^{\ beta ( x, y)} f (x, y, z) \, dz \, dx \, dy}$

Denna definition är densamma för de andra fem normalitetsfallen på R ³ . Det kan generaliseras på ett enkelt sätt till domäner i R ⁿ .

Ändring av variabler

Gränserna för integration är ofta inte lätt utbytbara (utan normalitet eller med komplexa formler att integrera). Man gör en förändring av variabler för att skriva om integralen i en mer "bekväm" region, vilket kan beskrivas i enklare formler. För att göra det måste funktionen anpassas till de nya koordinaterna.

Exempel 1a. Funktionen är f ( x , y ) = ( x - 1) ² + √ y ; om man antar substitutionen u = x - 1 , v = y därför x = u + 1 , y = v får man den nya funktionen f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• På samma sätt för domänen eftersom den avgränsas av de ursprungliga variablerna som transformerades tidigare ( x och y i exempel).
• differentialerna dx och dy transformeras via det absoluta värdet av determinanten för den jakobiska matrisen som innehåller partiella derivat av transformationerna angående den nya variabeln (betrakta som ett exempel differentialtransformationen i polära koordinater).

Det finns tre huvudsakliga "typer" av förändringar av variabel (en i R ² , två i R ³ ); mer generella substitutioner kan dock göras med samma princip.

Polära koordinater

I R ² om domänen har en cirkelsymmetri och funktionen har vissa särskilda egenskaper kan man tillämpa transformationen på polära koordinater (se exemplet på bilden) vilket innebär att de generiska punkterna P ( x , y ) i kartesiska koordinater växlar till deras respektive punkter i polära koordinater. Det gör att man kan ändra domänens form och förenkla operationerna.

Det grundläggande förhållandet för att göra omvandlingen är följande:

${\ displaystyle f (x, y) \ högerpil f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi).}$

Exempel 2a. Funktionen är f ( x , y ) = x + y och tillämpar transformationen man får

${\ displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi +\ rho \ sin \ varphi = \ rho (\ cos \ varphi +\ sin \ varphi).}$

Exempel 2b. Funktionen är f ( x , y ) = x ² + y ² , i det här fallet har man:

${\ displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho ^{2} \ left (\ cos ^{2} \ varphi +\ sin ^{2} \ varphi \ right) = \ rho ^{2}}$

med hjälp av den pythagoreanska trigonometriska identiteten (mycket användbart för att förenkla denna operation).

Transformationen av domänen görs genom att definiera radiens kronlängd och amplituden för den beskrivna vinkeln för att definiera ρ , φ intervall som börjar från x , y .

Exempel 2c. Domänen är D = { x ² + y ² ≤ 4} , det vill säga en omkrets av radie 2; det är uppenbart att den täckta vinkeln är cirkelvinkeln, så φ varierar från 0 till 2 π , medan kronradien varierar från 0 till 2 (kronan med den inre radien noll är bara en cirkel).

Exempel 2d. Domänen är D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , det vill säga den cirkulära kronan i det positiva y -halvplanet (se bilden i exemplet); φ beskriver en plan vinkel medan ρ varierar från 2 till 3. Därför kommer den transformerade domänen att vara följande rektangel :

${\ displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi \}.}$

Den Jacobianska determinanten för denna omvandling är följande:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell (x, y)} {\ partiell (\ rho, \ varphi)}} = {\ börja {vmatrix} \ cos \ varphi &-\ rho \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ rho \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho}$

som har erhållits genom att sätta in partiella derivat av x = ρ cos ( φ ) , y = ρ sin ( φ ) i den första kolumnen med avseende på ρ och i det andra avseendet på φ , så att dx dy -skillnaderna i denna transformation blir ρ dρ dφ .

När funktionen har transformerats och domänen utvärderats är det möjligt att definiera formeln för förändring av variabler i polära koordinater:

${\ displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

φ är giltigt i [0, 2π] intervallet medan ρ , som är ett mått på en längd, bara kan ha positiva värden.

Exempel 2e. Funktionen är f ( x , y ) = x och domänen är densamma som i exempel 2d. Från den tidigare analysen av D känner vi till intervallet för ρ (från 2 till 3) och för φ (från 0 till π ). Nu ändrar vi funktionen:

${\ displaystyle f (x, y) = x \ longrightarrow f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi.}$

slutligen låt oss tillämpa integrationsformeln:

${\ displaystyle \ iint _ {D} x \, dx \, dy = \ iint _ {T} \ rho \ cos \ varphi \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

När intervallen väl är känd har du

${\ displaystyle \ int _ {0}^{\ pi} \ int _ {2}^{3} \ rho^{2} \ cos \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi = \ int _ {0 }^{\ pi} \ cos \ varphi \ d \ varphi \ vänster [{\ frac {\ rho^{3}} {3}} \ höger] _ {2}^{3} = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} \ \ vänster (9-{\ frac {8} {3}} \ höger) = 0.}$

Cylindriska koordinater

I R ³ integrationen på domäner med en cirkulär bas kan göras av passagen till cylindriska koordinater ; omvandlingen av funktionen görs av följande relation:

${\ displaystyle f (x, y, z) \ högerpil f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z)}$

Domänomvandlingen kan uppnås grafiskt, eftersom endast basens form varierar, medan höjden följer formen på startområdet.

Exempel 3a. Regionen är D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (det är "röret" vars bas är den cirkulära kronan i exempel 2d och vars höjd är 5) ; om transformationen tillämpas, erhålls denna region:

${\ displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq z \ leq 5 \}}$

(det vill säga parallellpiped vars bas liknar rektangeln i exempel 2d och vars höjd är 5).

Eftersom z -komponenten är ovarierad under transformationen varierar dx dy dz -differentialerna som i passagen till polära koordinater: därför blir de ρ dρ dφ dz .

Slutligen är det möjligt att tillämpa den slutliga formeln på cylindriska koordinater:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z ) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Denna metod är bekväm vid cylindriska eller koniska domäner eller i områden där det är lätt att individuellt z -intervallet och till och med transformera den cirkulära basen och funktionen.

Exempel 3b. Funktionen är f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z och som integrationsdomän är denna cylinder : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . Transformationen av D i cylindriska koordinater är följande:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -5 \ leq z \ leq 5 \}.}$

medan funktionen blir

${\ displaystyle f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) = \ rho ^{2}+z}$

Slutligen kan man tillämpa integrationsformeln:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x^{2}+y^{2}+z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ left (\ rho^ {2}+z \ höger) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz;}$

utveckla den formel du har

${\ displaystyle \ int _ {-5}^{5} dz \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0}^{3} \ left (\ rho^{3}+ \ rho z \ höger) \, d \ rho = 2 \ pi \ int _ {-5} ^{5} \ vänster [{\ frac {\ rho ^{4}} {4}}+{\ frac {\ rho^{2} z} {2}} \ höger] _ {0}^{3} \, dz = 2 \ pi \ int _ {-5}^{5} \ vänster ({\ frac {81} { 4}}+{\ frac {9} {2}} z \ höger) \, dz = \ cdots = 405 \ pi.}$

Sfäriska koordinater

I R ^{3 har} vissa domäner en sfärisk symmetri, så det är möjligt att ange koordinaterna för varje punkt i integrationsområdet med två vinklar och ett avstånd. Det är därför möjligt att använda passagen till sfäriska koordinater ; funktionen transformeras av denna relation:

${\ displaystyle f (x, y, z) \ longrightarrow f (\ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ cos \ varphi)}$

Punkterna på z -axeln har ingen exakt karakterisering i sfäriska koordinater, så θ kan variera mellan 0 och 2 π .

Den bättre integrationsdomänen för denna passage är sfären.

Exempel 4a. Domänen är D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (sfär med radie 4 och centrum vid ursprunget); genom att tillämpa transformationen får du regionen

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Den Jacobianska determinanten för denna transformation är följande:

${\ displaystyle {\ frac {\ partiell (x, y, z)} {\ partiell (\ rho, \ theta, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ theta \ sin \ varphi &-\ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ varphi & 0 &-\ rho \ sin \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho ^{2} \ sin \ varphi}$

Den dx dy dz skillnaderna därför transformeras till p ² sin ( φ ) dρ dθ d $ .

Detta ger den slutliga integrationsformeln:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Det är bättre att använda denna metod i fall av sfäriska domäner och i händelse av funktioner som lätt kan förenklas genom den första grundläggande förhållande av trigonometri utvidgas till R ³ (se exempel 4b); i andra fall kan det vara bättre att använda cylindriska koordinater (se exempel 4c).

${\ displaystyle \ iiint _ {T} f (a, b, c) \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

De extra ρ ² och synden φ kommer från jakobianska.

I följande exempel har rollerna för φ och θ blivit omvända.

Exempel 4b. D är samma region som i exempel 4a och f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² är funktionen att integrera. Dess omvandling är mycket lätt:

${\ displaystyle f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) = \ rho ^{2},}$

medan vi känner intervallerna för den transformerade regionen T från D :

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Vi tillämpar därför integrationsformeln:

${\ displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x^{2}+y^{2}+z^{2} \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \, \ rho ^{2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi,}$

och, utveckla, vi får

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{4} \ rho^{4} d \ rho \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ theta = 2 \ pi \ int _ {0}^ {\ pi} \ sin \ varphi \ vänster [{\ frac {\ rho ^{5}} {5}} \ höger] _ {0} ^{4} \, d \ varphi = 2 \ pi \ vänster [{ \ frac {\ rho^{5}} {5}} \ höger] _ {0}^{4} {\ Big [}-\ cos \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} = {\ frac {4096 \ pi} {5}}.}$

Exempel 4c. Domänen D är bollen med centrum vid ursprunget och radie 3 a ,

${\ displaystyle D = \ left \ {x^{2}+y^{2}+z^{2} \ leq 9a^{2} \ right \}}$

och f ( x , y , z ) = x ² + y ² är funktionen som ska integreras.

Om man tittar på domänen verkar det bekvämt att anta passagen till sfäriska koordinater, i själva verket är intervallet för variablerna som avgränsar den nya T -regionen uppenbarligen:

${\ displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \}.}$

Men när vi tillämpar transformationen får vi

${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^{2} +y ^{2} \ longrightarrow \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ cos ^{2} \ varphi +\ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ sin ^{2} \ varphi = \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta.}$

Genom att tillämpa integrationsformeln får vi:

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ rho ^{2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi}$

som kan lösas genom att göra det till en itererad integral.

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ underbrace {\ int _ {0} ^{ 3a} \ rho ^{4} d \ rho} _ {I} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{3} \ theta \, d \ theta} _ {II} \, \ underbrace {\ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi} _ {III}}$.

${\ displaystyle I = \ left. \ int _ {0} ^{3a} \ rho ^{4} d \ rho = {\ frac {\ rho ^{5}} {5}} \ right \ vert _ {0 }^{3a} = {\ frac {243} {5}} a^{5}}$,

${\ displaystyle II = \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{3} \ theta \, d \ theta =-\ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{2} \ theta \, d (\ cos \ theta) = \ int _ {0} ^{\ pi} (\ cos ^{2} \ theta -1) \, d (\ cos \ theta) = \ left. {\ frac { \ cos^{3} \ theta} {3}} \ höger | _ {0}^{\ pi}-\ vänster. \ cos \ theta \ höger | _ {0}^{\ pi} = {\ frac { 4} {3}}}$,

${\ displaystyle III = \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi = 2 \ pi}$.

Samlar alla delar,

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = I \ cdot II \ cdot III = {\ frac {243} {5}} a^{5} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot 2 \ pi = {\ frac {648} {5}} \ pi a^{5}}$.

Alternativt kan detta problem lösas genom att använda passagen till cylindriska koordinater. De nya T -intervallen är

${\ displaystyle T = \ left \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -{\ sqrt {9a ^{2} -\ rho ^{2}}} \ leq z \ leq {\ sqrt {9a ^{2}-\ rho ^{2}}} \ right \};}$

den z -intervallet har erhållits genom delning av bollen i två hemisfärer helt enkelt genom att lösa ojämlikhet från formeln för D (och sedan direkt omvandla x ² + y ² in ρ ² ). Den nya funktionen är helt enkelt ρ ² . Tillämpa integrationsformeln

${\ displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Då får vi

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0}^{3a} \ rho^{3} d \ rho \ int _ {-{\ sqrt {9a^{2}-\ rho^{2}}}}^{\ sqrt {9a^{2}-\ rho^{2}}} \, dz & = 2 \ pi \ int _ {0}^ {3a} 2 \ rho ^{3} {\ sqrt {9a ^{2}-\ rho ^{2}}} \, d \ rho \\ & =-2 \ pi \ int _ {9a ^{2} }^{0} (9a^{2} -t) {\ sqrt {t}} \, dt && t = 9a^{2}-\ rho^{2} \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^{9a^{2}} \ vänster (9a^{2} {\ sqrt {t}}-t {\ sqrt {t}} \ höger) \, dt \\ & = 2 \ pi \ vänster (\ int _ {0}^{9a^{2}} 9a^{2} {\ sqrt {t}} \, dt- \ int _ {0}^{9a^{2}} t {\ sqrt {t}} \, dt \ höger) \\ & = 2 \ pi \ vänster [9a^{2} {\ frac {2} {3}} t^{\ frac {3} {2}}-{\ frac {2} {5}} t^{\ frac {5} {2}} \ höger] _ {0}^{9a^{2}} \\ & = 2 \ cdot 27 \ pi a^{5} \ vänster (6 -{\ frac {18} {5}} \ höger) \\ & = {\ frac {648 \ pi} {5}} a^{5}. \ end {align}}}$

Tack vare passagen till cylindriska koordinater var det möjligt att reducera trippelintegralen till en enklare envariabel integral.

Se även differentialvolymposten i nabla i cylindriska och sfäriska koordinater .

Exempel

Dubbel integral över en rektangel

Låt oss anta att vi vill integrera en multivariabel funktion f över en region A :

${\ displaystyle A = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^{2} \: \ 11 \ leq x \ leq 14 \; \ 7 \ leq y \ leq 10 \ right \} { \ mbox {och}} f (x, y) = x^{2}+4y \,}$

Från detta formulerar vi den itererade integralen

${\ displaystyle \ int _ {7}^{10} \ int _ {11}^{14} (x^{2}+4y) \, dx \, dy}$

Den inre integralen utförs först, integreras med avseende på x och tar y som en konstant, eftersom det inte är variabeln för integration . Resultatet av denna integral, som är en funktion som endast beror på y , integreras sedan med avseende på y .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {11}^{14} \ left (x^{2}+4y \ right) \, dx & = \ left [{\ frac {1} {3}} x ^{3}+4yx \ höger] _ {x = 11}^{x = 14} \\ & = {\ frac {1} {3}} (14)^{3}+4y (14)-{\ frac {1} {3}} (11)^{3} -4y (11) \\ & = 471+12y \ end {align}}}$

Vi integrerar sedan resultatet med avseende på y .

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {7}^{10} (471+12y) \ dy & = {\ Big [} 471y+6y^{2} {\ Big]} _ {y = 7} ^{y = 10} \\ & = 471 (10) +6 (10)^{2} -471 (7) -6 (7)^{2} \\ & = 1719 \ end {align}}}$

I de fall då dubbelintegralen för funktionens absoluta värde är ändlig, är integrationsordningen utbytbar, det vill säga integrering med x först och integrering med avseende på y först ger samma resultat. Det är Fubinis sats . Till exempel ger samma beräkning med omvänd ordning samma resultat:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {11}^{14} \ int _ {7}^{10} \, \ left (x^{2}+4y \ right) \, dy \, dx & = \ int _ {11}^{14} {\ Big [} x^{2} y+2y^{2} {\ Big]} _ {y = 7}^{y = 10} \, dx \\ & = \ int _ {11}^{14} \, (3x^{2} +102) \, dx \\ & = {\ Big [} x^{3}+102x {\ Big]} _ {x = 11}^{x = 14} \\ & = 1719. \ end {align}}}$

Dubbel integral över en normal domän

Tänk på regionen (se grafiken i exemplet):

${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^{2} \: \ x \ geq 0, y \ leq 1, y \ geq x ^{2} \}}$

Beräkna

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x+y) \, dx \, dy.}$

Denna domän är normal med avseende på både x - och y -axlarna. För att tillämpa formlerna är det nödvändigt att hitta de funktioner som bestämmer D och de intervall som dessa funktioner definieras över. I detta fall är de två funktionerna:

${\ displaystyle \ alpha (x) = x^{2} {\ text {och}} \ beta (x) = 1}$

medan intervallet ges av skärningspunkterna mellan funktionerna med x  = 0, så intervallet är [ a ,  b ] = [0, 1] (normalitet har valts med avseende på x -axeln för en bättre visuell förståelse).

Det är nu möjligt att tillämpa formeln:

${\ displaystyle \ iint _ {D} (x+y) \, dx \, dy = \ int _ {0}^{1} dx \ int _ {x^{2}}^{1} (x+y ) \, dy = \ int _ {0}^{1} dx \ \ vänster [xy+{\ frac {y^{2}} {2}} \ höger] _ {x^{2}}^{1} }$

(först beräknas den andra integralen med tanke på x som en konstant). De återstående operationerna består av att tillämpa de grundläggande teknikerna för integration:

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} \ vänster [xy+{\ frac {y^{2}} {2}} \ höger] _ {x^{2}}^{1} \, dx = \ int _ {0}^{1} \ vänster (x+{\ frac {1} {2}}-x^{3}-{\ frac {x^{4}} {2}} \ höger) dx = \ cdots = {\ frac {13} {20}}.}$

Om vi ​​väljer normalitet med avseende på y -axeln kan vi beräkna

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} dy \ int _ {0}^{\ sqrt {y}} (x+y) \, dx.}$

och få samma värde.

Beräkning av volym

Med hjälp av de metoder som beskrivits tidigare är det möjligt att beräkna volymerna för några vanliga fasta ämnen.

• Cylinder : Volymen för en cylinder med höjd h och cirkulär bas med radie R kan beräknas genom att integrera den konstanta funktionen h över den cirkulära basen, med hjälp av polära koordinater.

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \, \ int _ {0}^{R} h \ rho \, d \ rho = 2 \ pi h \ vänster [{\ frac {\ rho^{2}} {2}} \ höger] _ {0}^{R} = \ pi R^{2} h}$

Detta överensstämmer med formeln för ett prisma

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ text {basområde}} \ gånger {\ text {höjd}}.}$

• Sfär : Volymen för en sfär med radie R kan beräknas genom att integrera konstantfunktionen 1 över sfären med hjälp av sfäriska koordinater.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Volume}} & = \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz \\ & = \ iiint _ {D } 1 \, dV \\ & = \ iiint _ {S} \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi \\ & = \ int _ {0} ^{2 \ pi} \, d \ theta \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{R} \ rho^{2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{R} \ rho^{2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi {\ frac {R^{3}} {3}} \, d \ varphi \\ & = {\ frac {2 } {3}} \ pi R^{3} {\ Big [}-\ cos \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^{3}. \ End {align}}}$

• Tetrahedron (triangulär pyramid eller 3 -simplex ): Volymen för en tetraeder med dess spets vid längden och längden ℓ längs x -, y - och z -axlarna kan beräknas genom att integrera konstantfunktionen 1 över tetraedern.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {Volume}} & = \ int _ {0}^{\ ell} dx \ int _ {0}^{\ ell -x} \, dy \ int _ { 0}^{\ ell -xy} \, dz \\ & = \ int _ {0}^{\ ell} dx \ int _ {0}^{\ ell -x} (\ ell -xy) \, dy \\ & = \ int _ {0}^{\ ell} \ vänster (l^{2} -2 \ ell x+x^{2}-{\ frac {(\ ell -x)^{2}} {2}} \ höger) \, dx \\ & = \ ell ^{3}-\ ell \ ell ^{2}+{\ frac {\ ell ^{3}} {3}}-\ vänster [{ \ frac {\ ell^{2} x} {2}}-{\ frac {\ ell x^{2}} {2}}+{\ frac {x^{3}} {6}} \ höger] _ {0} ^{\ ell} \\ & = {\ frac {\ ell ^{3}} {3}}-{\ frac {\ ell ^{3}} {6}} = {\ frac {\ ell ^{3}} {6}} \ end {align}}}$

Detta överensstämmer med formeln för en pyramides volym

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ frac {1} {3}} \ gånger {\ text {basområde}} \ gånger {\ text {höjd}} = {\ frac {1} {3}} \ gånger {\ frac {\ ell ^{2}} {2}} \ times \ ell = {\ frac {\ ell ^{3}} {6}}.}$

Flera felaktig integral

I fall av obegränsade domäner eller funktioner som inte är begränsade nära gränsen för domänen måste vi införa den dubbla felaktiga integralen eller den tredubbla felaktiga integralen .

Flera integraler och itererade integraler

Fubinis sats säger att if

${\ displaystyle \ iint _ {A \ gånger B} \ vänster | f (x, y) \ höger | \, d (x, y) <\ infty,}$

det vill säga, om integralen är absolut konvergent, kommer multipelintegralen att ge samma resultat som någon av de två itererade integralerna:

${\ displaystyle \ iint _ {A \ gånger B} f (x, y) \, d (x, y) = \ int _ {A} \ left (\ int _ {B} f (x, y) \, dy \ höger) \, dx = \ int _ {B} \ vänster (\ int _ {A} f (x, y) \, dx \ höger) \, dy.}$

Detta kommer särskilt att ske om | f ( x , y ) | är en begränsad funktion och A och B är begränsade uppsättningar .

Om integralen inte är helt konvergent är det nödvändigt att inte förväxla begreppen multipel integral och itererad integral , särskilt eftersom samma notation ofta används för båda begreppen. Notationen

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy \, dx}$

betyder i vissa fall en itererad integral snarare än en sann dubbelintegral. I en itererad integral, den yttre integralen

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} \ cdots \, dx}$

är integralen med avseende på x av följande funktion av x :

${\ displaystyle g (x) = \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy.}$

En dubbel integral, å andra sidan, definieras med avseende på arean i xy -planet. Om dubbelintegralen existerar, är den lika med var och en av de två itererade integralerna (antingen " dy dx " eller " dx dy ") och man beräknar det ofta genom att beräkna någon av de itererade integralerna. Men ibland existerar de två itererade integralerna när dubbelintegralen inte gör det, och i vissa sådana fall är de två itererade integralerna olika tal, dvs den ena har

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy \, dx \ neq \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dx \, dy.}$

Detta är ett exempel på omorganisation av en villkorligt konvergent integral.

Å andra sidan säkerställer vissa villkor att de två itererade integralerna är lika trots att dubbelintegralen inte behöver finnas. Enligt Fichtenholz - Lichtenstein -satsen, om f är begränsat till [0, 1] × [0, 1] och båda itererade integralerna existerar, så är de lika. Dessutom säkerställer existensen av de inre integralerna existensen av de yttre integralerna. Den dubbla integralen behöver inte existera i det här fallet ens som Lebesgue -integralen , enligt Sierpiński .

Notationen

${\ displaystyle \ int _ {[0,1] \ gånger [0,1]} f (x, y) \, dx \, dy}$

kan användas om man vill vara eftertrycklig med avsikten med en dubbelintegral snarare än en itererad integral.

Några praktiska tillämpningar

Helt generellt, precis som i en variabel, kan man använda multipelintegralen för att hitta medelvärdet för en funktion över en given uppsättning. Med en uppsättning D ⊆ R ⁿ och en integrerbar funktion f över D , ges medelvärdet av f över dess domän av

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {m (D)}} \ int _ {D} f (x) \, dx,}$

där m ( D ) är ett mått på D .

Dessutom används flera integraler i många tillämpningar inom fysik . Exemplen nedan visar också några variationer i notationen.

I mekaniken , det tröghetsmoment beräknas som volymen gral (trippel gral) av densiteten vägdes med kvadraten på avståndet från axeln:

${\ displaystyle I_ {z} = \ iiint _ {V} \ rho r^{2} \, dV.}$

Den gravitations potentialen förknippad med en massafördelning som ges av en massåtgärd dm på tredimensionella euklidiska rymden R ³ är

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = -\ iiint _ {\ mathbf {R} ^{3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} -\ mathbf {y} |}} \ , dm (\ mathbf {y}).}$

Om det finns en kontinuerlig funktion ρ ( x ) som representerar densiteten för distributionen vid x , så att dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , där d ³ x är det euklidiska volymelementet , då är gravitationens potential

${\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = -\ iiint _ {\ mathbf {R} ^{3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} -\ mathbf {y} |}} \ , \ rho (\ mathbf {y}) \, d^{3} \ mathbf {y}.}$

Inom elektromagnetism kan Maxwells ekvationer skrivas med flera integraler för att beräkna det totala magnetiska och elektriska fältet. I följande exempel erhålls det elektriska fältet som produceras genom en fördelning av laddningar som ges av volymladdningstätheten ρ ( r → ) genom en trippelintegral av en vektorfunktion:

${\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {{\ vec {r}}-{\ vec {r}} '} {\ left \ | {\ vec {r}}-{\ vec {r}}' \ right \ |^{3}}} \ rho ({\ vec {r}} ') \, d^{ 3} r '.}$

Detta kan också skrivas som en integral med avseende på en undertecknad åtgärd som representerar avgiftsfördelningen.

Se även

• Huvudanalys satser som relaterar flera integraler:
  • Divergenssats
  • Stokes sats
  • Grön sats

Referenser

Vidare läsning

• Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5: e upplagan). ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Advanced Engineering Mathematics (3: e upplagan). Narosa förlag. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus: Volume 3  : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN  978-1-50669-805-2 . ( PDF )

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Multiple Integral" . MathWorld .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Multiple integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Matematisk assistent på webben online utvärdering av dubbla integraler i kartesiska koordinater och polära koordinater (inkluderar mellansteg i lösningen, drivs av Maxima (programvara) )