Simplex - Simplex

I geometri , en simplex : (plural simplexes eller simplex är) en generalisering av föreställningen om en triangel eller tetraeder till godtyckliga dimensioner . Simplexen är så kallad eftersom den representerar den enklaste möjliga polytopen i ett givet utrymme.

Till exempel,

• en 0-simplex är en poäng ,
• en 1-simplex är ett linjesegment ,
• en 2-simplex är en triangel ,
• en 3-simplex är en tetraeder ,
• en 4-simplex är en 5-cell .

Specifikt är en k -simplex en k -dimensionell polytop som är det konvexa skrovet på dess k  + 1 -hörn . Anta mer formellt att k  + 1 -punkterna är i hög grad oberoende , vilket betyder att de är linjärt oberoende . Den simplex som bestäms av dem är sedan uppsättningen punkter ${\ displaystyle u_ {0}, \ dots, u_ {k} \ in \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle u_ {1} -u_ {0}, \ dots, u_ {k} -u_ {0}}$

${\ displaystyle C = \ left \ {\ theta _ {0} u_ {0} +\ dots +\ theta _ {k} u_ {k} ~ {\ Bigg |} ~ \ sum _ {i = 0}^{ k} \ theta _ {i} = 1 {\ mbox {och}} \ theta _ {i} \ geq 0 {\ mbox {för}} i = 0, \ dots, k \ höger \}}$

Denna representation i termer av viktade hörn är känd som det barycentriska koordinatsystemet .

En vanlig simplex är en simplex som också är en vanlig polytop . En vanlig k -simplex kan konstrueras från en vanlig ( k  -1) -simplex genom att ansluta en ny toppunkt till alla ursprungliga hörn med den gemensamma kantlängden.

Den standard simplex eller sannolikhets simplex är k - en dimensions simplex vars hörn är de k standard enhetsvektorer, eller

${\ displaystyle \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^{k}: x_ {0} +\ dots +x_ {k-1} = 1, x_ {i} \ geq 0 {\ text {för} } i = 0, \ dots, k-1 \ right \}.}$

Inom topologi och kombinatorik är det vanligt att ”limma ihop” enklar för att bilda ett förenklat komplex . Den associerade kombinatoriska strukturen kallas ett abstrakt förenklat komplex , i vilket sammanhang ordet ”simplex” helt enkelt betyder alla ändliga uppsättningar hörn.

Historia

Begreppet simplex var känt för William Kingdon Clifford , som skrev om dessa former 1886 men kallade dem "främsta gränser". Henri Poincaré , som skrev om algebraisk topologi år 1900, kallade dem "generaliserade tetraeder". 1902 beskrev Pieter Hendrik Schoute begreppet först med det latinska superlativa simplicissimum ("enklaste") och sedan med samma latinska adjektiv i normalformen simplex ("enkel").

Den vanliga simplexfamiljen är den första av tre vanliga polytopfamiljer , märkta av Donald Coxeter som α _n , de andra två är cross-polytop- familjen, märkt som β _n , och hyperkuberna , märkta som γ _n . En fjärde familj, tessellationen av n -dimensionellt utrymme med oändligt många hyperkubar , märkte han som δ _n .

Element

Det konvexa skrovet på alla icke -fördelade delmängder av n  + 1 -punkterna som definierar en n -simplex kallas för simplexens yta . Ansikten är själva förenklingar. I synnerhet är det konvexa skrovet för en delmängd av storlek m  + 1 (av de n  + 1 -definierande punkterna) ett m -komplex, kallat en m -yta för n -komplexet. 0-ytorna (dvs. själva definieringspunkterna som uppsättningar av storlek 1) kallas hörnen (singular: vertex), 1-ytorna kallas kanterna , ( n-  1) -ytorna kallas fasetterna , och den enda n -ytan är hela n -simplexet i sig. I allmänhet är antalet m -ansikten lika med binomialkoefficienten . Följaktligen kan antalet m -ansikten för en n -komplex hittas i kolumn ( m  + 1) i rad ( n  + 1) i Pascals triangel . En simplex A är en Coface av en simplex B om B är ett ansikte av A . Ansikte och fasett kan ha olika betydelser när man beskriver typer av enkelheter i ett förenklat komplex ; se enklare komplex för mer detaljer. ${\ displaystyle {\ tbinom {n+1} {m+1}}}$

Antalet 1 -sidor (kanter) på n -simplexet är det n -th triangelnumret , antalet 2 -ytor på n -simplexet är ( n -1  ) th tetraeder -talet , antalet 3 -ytor av n -simplex är den ( n  - 2): te 5-cellantal, och så vidare.

n -Enkla element

Δ n	namn	Schläfli Coxeter	0- ansikten (hörn)	1- ytor (kanter)	2- ansikten (ansikten)	3- ansikten (celler)	4- ansikten	5 ansikten	6- ansikten	7- ansikten	8 ansikten	9 ansikten	10 ansikten	Summa = 2 n +1  - 1
Δ 0	0- simplex ( punkt )	()	1											1
Δ 1	1- simplex ( linjesegment )	{} = () ∨ () = 2 ⋅ ()	2	1										3
Δ 2	2- simplex ( triangel )	{3} = 3 ⋅ ()	3	3	1									7
Δ 3	3- simplex ( tetraeder )	{3,3} = 4 ⋅ ()	4	6	4	1								15
Δ 4	4- simplex ( 5-cell )	{3 3 } = 5 ⋅ ()	5	10	10	5	1							31
Δ 5	5- simplex	{3 4 } = 6 ⋅ ()	6	15	20	15	6	1						63
Δ 6	6-simplex	{3 5 } = 7 ⋅ ()	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ 7	7-simplex	{3 6 } = 8 ⋅ ()	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ 8	8- simplex	{3 7 } = 9 ⋅ ()	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ 9	9-simplex	{3 8 } = 10 ⋅ ()	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ 10	10- simplex	{3 9 } = 11 ⋅ ()	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

I lekmannas termer är en n -simplex en enkel form (en polygon) som kräver n -dimensioner. Betrakta ett linjesegment AB som en "form" i ett 1-dimensionellt utrymme (det 1-dimensionella utrymmet är linjen som segmentet ligger i). Man kan placera en ny punkt C någonstans utanför linjen. Den nya formen, triangel ABC , kräver två dimensioner; den får inte plats i det ursprungliga 1-dimensionella rummet. Triangeln är 2-simplexen, en enkel form som kräver två dimensioner. Tänk på en triangel ABC , en form i ett tvådimensionellt utrymme (planet där triangeln finns). Man kan placera en ny punkt D någonstans utanför planet. Den nya formen, tetraeder ABCD , kräver tre dimensioner; den får inte plats i det ursprungliga 2-dimensionella rummet. Tetraeder är 3-simplexen, en enkel form som kräver tre dimensioner. Tänk på tetraeder ABCD , en form i ett tredimensionellt utrymme (det 3-utrymme där tetraedern ligger). Man kan placera en ny punkt E någonstans utanför 3-mellanslag. Den nya formen ABCDE , kallad en 5-cell, kräver fyra dimensioner och kallas 4-simplex; den får inte plats i det ursprungliga tredimensionella utrymmet. (Det kan inte heller visualiseras enkelt.) Denna idé kan generaliseras, det vill säga lägga till en enda ny punkt utanför det för närvarande upptagna rummet, vilket kräver att man går till nästa högre dimension för att hålla den nya formen. Denna idé kan också arbetas bakåt: linjesegmentet vi började med är en enkel form som kräver ett 1-dimensionellt utrymme för att hålla det; linjesegmentet är 1-simplex. Själva linjesegmentet bildades genom att börja med en enda punkt i 0-dimensionellt utrymme (denna startpunkt är 0-simplexen) och lägga till en andra punkt, vilket krävde ökningen till 1-dimensionellt utrymme.

Mer formellt kan en ( n  + 1) -simplex konstrueras som en sammanslutning (∨ operator) av en n -simplex och en punkt, (). En ( m  +  n  + 1) -simplex kan konstrueras som en sammanslutning av en m -simplex och en n -simplex. De två enkelheterna är inriktade på att vara helt normala från varandra, med översättning i en riktning vinkelrät mot dem båda. En 1-simplex är sammanfogningen av två punkter: () ∨ () = 2 ⋅ (). En allmän 2-simplex (skalen triangel) är sammanslagningen av tre punkter: () ∨ () ∨ (). En likbent triangel är sammanslutningen av en 1-simplex och en punkt: {} ∨ (). En liksidig triangel är 3 ⋅ () eller {3}. En allmän 3-simplex är sammanfogningen av 4 punkter: () ∨ () ∨ () ∨ (). En 3-simplex med spegelsymmetri kan uttryckas som sammanfogning av en kant och två punkter: {} ∨ () ∨ (). En 3-simplex med triangulär symmetri kan uttryckas som sammanfogningen av en liksidig triangel och 1 punkt: 3. () ∨ () eller {3} ∨ (). En vanlig tetraeder är 4 ⋅ () eller {3,3} och så vidare.

Antalet ansikten i tabellen ovan är desamma som i Pascals triangel , utan den vänstra diagonalen.

Det totala antalet ansikten är alltid en effekt på två minus ett. Denna figur (ett projektion av tesserakten ) visar centroiderna på tetraederns 15 ytor.

I vissa konventioner definieras den tomma uppsättningen som en (-1) -simplex. Definitionen av simplexet ovan är fortfarande meningsfullt om n  = −1. Denna konvention är vanligare i tillämpningar på algebraisk topologi (t.ex. enkel homologi ) än vid studier av polytoper.

Symmetriska grafer för vanliga förenklingar

Dessa Petrie -polygoner (snedställda ortogonala projektioner) visar alla hörn för den vanliga simplexen på en cirkel och alla hörnpar som är förbundna med kanter.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20

Standard simplex

Den standard n -simplex (eller enhet n -simplex ) är den undergrupp av R ^{n 1} ges av

${\ displaystyle \ Delta ^{n} = \ left \ {(t_ {0}, \ dots, t_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n+1} ~ {\ Bigg |} ~ \ sum _ {i = 0}^{n} t_ {i} = 1 {\ text {och}} t_ {i} \ geq 0 {\ text {för}} i = 0, \ ldots, n \ höger \}}$

Simplex Δ ⁿ ligger i det affin hyperplan som erhålls genom avlägsnande av restriktions t _i ≥ 0 i ovanstående definition.

De n  + 1 hörn av standard n -simplex är punkterna e _i ∈ R ^{n 1} , där

e ₀ = (1, 0, 0,…, 0),

e ₁ = (0, 1, 0,…, 0),

⋮

e _n = (0, 0, 0,…, 1).

Det finns en kanonisk karta från standard n -simplex till en godtycklig n -simplex med hörn ( v ₀ , ..., v _n ) som ges av

${\ displaystyle (t_ {0}, \ ldots, t_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 0}^{n} t_ {i} v_ {i}}$

Koefficienterna t _i kallas de barycentriska koordinaterna för en punkt i n -simplexet. En sådan allmän simplex kallas ofta en affin n -simplex , att betona att den kanoniska karta är en affin transformation . Det kallas också ibland en orienterad affin n -simplex för att betona att den kanoniska kartan kan vara orienteringsbevarande eller bakåtvänd.

Mer allmänt finns det en kanonisk karta från standarden -simplex (med n hörn) till valfri polytop med n hörn, givet med samma ekvation (modifiering av indexering): ${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle (t_ {1}, \ ldots, t_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 1}^{n} t_ {i} v_ {i}}$

Dessa är kända som generaliserade barycentriska koordinater och uttrycker varje polytop som bilden av en simplex:${\ displaystyle \ Delta ^{n-1} \ twoheadrightarrow P.}$

En vanligt förekommande funktion från R ⁿ till det inre av standardsimplex är softmax -funktionen , eller normaliserad exponentiell funktion; detta generaliserar standardlogistikfunktionen . ${\ displaystyle (n-1)}$

Exempel

• Δ ⁰ är punkten 1 i R ¹ .
• Δ ¹ är linjesegmentet som förbinder (1, 0) och (0, 1) i R ² .
• Δ ² är den liksidiga triangeln med hörn (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1) i R ³ .
• Δ ³ är den vanliga tetraeder med hörn (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) och (0, 0, 0, 1) i R ⁴ .

Ökande koordinater

Ett alternativt koordinatsystem ges genom att ta den obestämda summan :

${\ displaystyle {\ begin {align} s_ {0} & = 0 \\ s_ {1} & = s_ {0}+t_ {0} = t_ {0} \\ s_ {2} & = s_ {1} +t_ {1} = t_ {0}+t_ {1} \\ s_ {3} & = s_ {2}+t_ {2} = t_ {0}+t_ {1}+t_ {2} \\ & \; \; \ vdots \\ s_ {n} & = s_ {n-1}+t_ {n-1} = t_ {0}+t_ {1}+\ cdots+t_ {n-1} \\ s_ {n+1} & = s_ {n}+t_ {n} = t_ {0}+t_ {1}+\ cdots+t_ {n} = 1 \ end {align}}}$

Detta ger den alternativa presentationen efter beställning, nämligen som icke -minskande n -dubblar mellan 0 och 1:

${\ displaystyle \ Delta _ {*} ^{n} = \ left \ {(s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n} \ mid 0 = s_ {0 } \ leq s_ {1} \ leq s_ {2} \ leq \ dots \ leq s_ {n} \ leq s_ {n+1} = 1 \ höger \}.}$

Geometriskt är detta en n -dimensionell delmängd av (maximal dimension, kodimension 0) snarare än av (kodimension 1). Facetterna, som på standard simplex motsvarar att en koordinat försvinner, motsvarar här att successiva koordinater är lika, medan interiören motsvarar att ojämlikheterna blir strikta (ökande sekvenser). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n+1}}$${\ displaystyle t_ {i} = 0,}$${\ displaystyle s_ {i} = s_ {i+1},}$

En viktig skillnad mellan dessa presentationer är beteendet under permuterande koordinater - standard simplexen stabiliseras genom permuterande koordinater, medan permuterande element i den "ordnade simplexen" inte lämnar den invariant, eftersom permuting av en ordnad sekvens generellt gör den orörd. I själva verket är den beställda simplex en (stängd) grundläggande domän för åtgärden i symmetriska gruppen på n -cube, vilket innebär att bana den beställda simplex under n ! element i den symmetriska gruppen delar n -kuben i mestadels osammanhängande enkelheter (disjoint förutom gränser), vilket visar att denna simplex har volym Alternativt kan volymen beräknas av en itererad integral, vars successiva integrander är${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle 1/n!}$${\ displaystyle 1, x, x^{2}/2, x^{3}/3!, \ dots, x^{n}/n!}$

Ytterligare en egenskap hos denna presentation är att den använder ordningen men inte tillägget, och därmed kan definieras i vilken dimension som helst över en ordnad uppsättning, och till exempel kan användas för att definiera en oändlig-dimensionell simplex utan frågor om konvergens av summor.

Projicering på standard simplex

Särskilt i numeriska tillämpningar av sannolikhetsteori är en projektion på standard simplex av intresse. Givet med möjligen negativa poster har den närmaste punkten på simplexen koordinater ${\ displaystyle (p_ {i}) _ {i}}$${\ displaystyle \ left (t_ {i} \ right) _ {i}}$

${\ displaystyle t_ {i} = \ max \ {p_ {i}+\ Delta \ ,, 0 \},}$

var väljs så att${\ displaystyle \ Delta}$${\ textstil \ sum _ {i} \ max \ {p_ {i}+\ Delta \ ,, 0 \} = 1.}$

${\ displaystyle \ Delta}$kan enkelt beräknas från sortering . Sorteringsmetoden tar komplexitet, som kan förbättras till komplexitet via median-hitta algoritmer. Att projicera på simplex liknar beräkningsmässigt som att projicera på bollen. ${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle O (n \ log n)}$${\ displaystyle O (n)}$${\ displaystyle \ ell _ {1}}$

Kubens hörn

Slutligen är en enkel variant att ersätta "summering till 1" med "summering till högst 1"; detta höjer dimensionen med 1, så för att förenkla notationen ändras indexeringen:

${\ displaystyle \ Delta _ {c} ^{n} = \ left \ {(t_ {1}, \ ldots, t_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^{n} ~ {\ Bigg |} ~ \ sum _ {i = 1}^{n} t_ {i} \ leq 1 {\ text {och}} t_ {i} \ geq 0 {\ text {för alla}} i \ höger \}.}$

Detta ger en n -simplex som ett hörn av n -kuben och är en standard ortogonal simplex. Detta är simplex som används i simplexmetoden , som är baserad på ursprunget, och lokalt modellerar en toppunkt på en polytop med n fasetter.

Kartesiska koordinater för en vanlig n -dimensionell simplex i R ⁿ

Ett sätt att skriva ner en vanlig n -simplex i R ⁿ är att välja två punkter för att vara de två första hörnen, välja en tredje punkt för att göra en liksidig triangel, välja en fjärde punkt för att göra en vanlig tetraeder, och så vidare. Varje steg kräver tillfredsställande ekvationer som säkerställer att varje nyvalt hörn, tillsammans med de tidigare valda hörnen, bildar en vanlig simplex. Det finns flera uppsättningar ekvationer som kan skrivas ned och användas för detta ändamål. Dessa inkluderar lika alla avstånd mellan hörn; jämlikheten mellan alla avstånd från hörn till centrum av simplexen; det faktum att vinkeln som böjts genom det nya hörnet med två tidigare valda hörn är ; och det faktum att vinkeln som böjs genom simplexens mitt med två hörn är . ${\ displaystyle \ pi /3}$${\ displaystyle \ arccos (-1/n)}$

Det är också möjligt att direkt skriva ner en viss regelbunden n -simplex i R ⁿ som sedan kan översättas, roteras och skalas enligt önskemål. Ett sätt att göra detta är enligt följande. Beteckna basvektorerna för R ⁿ med e ₁ till e _n . Börja med standard ( n -1 ) -simplex som är det konvexa skrovet på basvektorerna. Genom att lägga till ytterligare en toppunkt blir dessa ett ansikte på en vanlig n -komplex. Den extra vertexen måste ligga på linjen vinkelrätt mot barycentret för standard simplexen, så den har formen ( α / n , ..., α / n ) för något reellt tal α . Eftersom kvadratavståndet mellan två basvektorer är 2, för att den extra toppunkten ska bilda en vanlig n -simplex, måste kvadratavståndet mellan den och någon av basvektorerna också vara 2. Detta ger en kvadratisk ekvation för α . Att lösa denna ekvation visar att det finns två val för den extra toppunkten:

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ vänster (1 \ pm {\ sqrt {n+1}} \ höger) \ cdot (1, \ dots, 1).}$

Endera av dessa, tillsammans med standardbasvektorerna, ger en vanlig n -komplex.

Ovanstående vanliga n -simplex är inte centrerat på ursprunget. Det kan översättas till ursprunget genom att subtrahera medelvärdet av dess hörn. Genom omskalning kan den ges enhetssidlängd. Detta resulterar i simplex vars hörn är:

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ mathbf {e} _ {i}-{\ frac {1} {n {\ sqrt {2}}}} {\ bigg (} 1 \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {n+1}}} {\ bigg)} \ cdot (1, \ dots, 1),}$

för och ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

${\ displaystyle \ mp {\ frac {1} {\ sqrt {2 (n+1)}}} \ cdot (1, \ dots, 1).}$

Observera att det finns två uppsättningar hörn som beskrivs här. En uppsättning använder i de första koordinatberäkningarna och i den sista beräkningen. Den andra uppsättningen ersätter för och vice versa. ${\ displaystyle +}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle +}$

Denna simplex är inskriven i en radie med hypersfär . ${\ displaystyle {\ sqrt {n/(2 (n+1))}}}}$

En annan omskalning ger en simplex som är inskriven i en enhetshypersfär. När detta är gjort är dess hörn

${\ displaystyle {\ sqrt {1+n^{-1}}} \ cdot \ mathbf {e} _ {i} -n^{-3/2} ({\ sqrt {n+1}} \ pm 1 ) \ cdot (1, \ dots, 1),}$

var och ${\ displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$

${\ displaystyle \ mp n^{-1/2} \ cdot (1, \ dots, 1).}$

Sidlängden på denna simplex är . ${\ textstil {\ sqrt {2 (n+1)/n}}}$

Ett mycket symmetriskt sätt att konstruera en vanlig n -simplex är att använda en representation av den cykliska gruppen Z _{n +1} med ortogonala matriser . Detta är en n × n ortogonal matris Q så att Q ^{n +1} = I är identitetsmatrisen , men ingen lägre effekt av Q är. Att tillämpa befogenheterna för denna matris på en lämplig vektor v kommer att producera hörnen för en vanlig n -simplex. För att utföra detta måste du först observera att för en ortogonal matris Q finns det ett val av grund där Q är en blockdiagonal matris

${\ displaystyle Q = \ operatorname {diag} (Q_ {1}, Q_ {2}, \ dots, Q_ {k}),}$

där varje Q _i är ortogonal och antingen 2 × 2 eller 1 ÷ 1 . För Q att ha ordning n + 1 , måste alla dessa matriser har ordning delnings n + 1 . Därför varje Q _i är antingen en 1 × 1 matris vars enda posten är en eller, om n är udda , -1 ; eller det är en 2 × 2 matris av formen

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos {\ frac {2 \ pi \ omega _ {i}} {n+1}} &-\ sin {\ frac {2 \ pi \ omega _ {i}} { n+1}} \\\ sin {\ frac {2 \ pi \ omega _ {i}} {n+1}} & \ cos {\ frac {2 \ pi \ omega _ {i}} {n+1 }} \ end {pmatrix}},}$

där varje ω _i är ett heltal mellan noll och n inklusive. Ett tillräckligt villkor för omloppet av en punkt att vara en regelbunden simplex är att matriserna Q _jag bilda en grund för de icke-triviala irreducibla verkliga representationer av Z _{n 1} , och vektorn är roterade inte stabiliseras av någon av dem.

I praktiska termer för n även Detta innebär att varje matris Q _i är 2 × 2 , finns det ett lika uppsättningar

${\ displaystyle \ {\ omega _ {1}, n+1- \ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n/2}, n+1- \ omega _ {n/2} \} = \ {1, \ dots, n \},}$

och, för varje Q _i , posterna i v på vilken Q _I handlingar är inte båda noll. Till exempel, när n = 4 , är en möjlig matris

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos (2 \ pi /5) &-\ sin (2 \ pi /5) & 0 & 0 \\\ sin (2 \ pi /5) & \ cos (2 \ pi /5 ) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ cos (4 \ pi /5) &-\ sin (4 \ pi /5) \\ 0 & 0 & \ sin (4 \ pi /5) & \ cos (4 \ pi /5) \ end { pmatrix}}.}$

Att tillämpa detta på vektorn (1, 0, 1, 0) resulterar i simplex vars hörn är

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} \ cos (2 \ pi /5) \\\ sin (2 \ pi / 5) \\\ cos (4 \ pi /5) \\\ sin (4 \ pi /5) \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} \ cos (4 \ pi /5) \\\ sin (4 \ pi /5) \\\ cos (8 \ pi /5) \\\ sin (8 \ pi /5) \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} \ cos (6 \ pi /5 ) \\\ sin (6 \ pi /5) \\\ cos (2 \ pi /5) \\\ sin (2 \ pi /5) \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} \ cos ( 8 \ pi /5) \\\ sin (8 \ pi /5) \\\ cos (6 \ pi /5) \\\ sin (6 \ pi /5) \ end {pmatrix}},}$

var och en har avstånd √5 från de andra. När n är udda betyder villkoret att exakt ett av de diagonala blocken är 1 × 1 , lika med −1 , och verkar på en icke-noll inmatning av v ; medan de återstående diagonala blocken, säg Q ₁ ,…, Q _{( n - 1) / 2} , är 2 × 2 , finns det en jämlikhet av uppsättningar

${\ displaystyle \ left \ {\ omega _ {1},-\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {(n-1)/2},-\ omega _ {n-1)/2} \ höger \} = \ vänster \ {1, \ punkter, (n-1)/2, (n+3)/2, \ punkter, n \ höger \},}$

och varje diagonalt block verkar på ett par poster av v som inte båda är noll. Så, till exempel, när n = 3 , kan matrisen vara

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\\ end {pmatrix}}.}$

För vektorn (1, 0, 1/ √ 2 ) har den resulterande simplexen hörn

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1/\ surd 2 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\-1/\ surd 2 \ end {pmatrix} }, {\ begin {pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1/\ surd 2 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} 0 \\-1 \\-1/\ surd 2 \ end {pmatrix }},}$

var och en har avstånd 2 från de andra.

Geometriska egenskaper

Volym

Den volym av ett n -simplex i n -dimensionella rymden med hörn ( v ₀ , ..., v _n ) är

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ frac {1} {n!}} \ left | \ det {\ begin {pmatrix} v_ {1} -v_ {0} && v_ {2} -v_ {0} && \ cdots && v_ {n} -v_ {0} \ end {pmatrix}} \ höger |}$

där varje kolumn i n  ×  n -determinanten är skillnaden mellan vektorerna som representerar två hörn. Denna formel är särskilt användbar när är ursprunget. ${\ displaystyle v_ {0}}$

Ett mer symmetriskt sätt att skriva det är

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {1 \ över n!} \ vänster | \ det {\ begin {pmatrix} v_ {0} & v_ {1} & \ cdots & v_ {n} \\ 1 & 1 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}} \ right | = {1 \ över n!} \ left (\ det \ left [{\ begin {pmatrix} v_ {0}^{T} & 1 \\ v_ {1}^{T} & 1 \ \\ vdots & \ vdots \\ v_ {n}^{T} & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} v_ {0} & v_ {1} & \ cdots & v_ {n} \\ 1 & 1 & \ cdots & 1 \ end {pmatrix}} \ right] \ right)^{1/2} \ ,,}$

där det sista uttrycket fungerar även när n -simplexets hörn är i ett euklidiskt utrymme med mer än n dimensioner.

Ett annat vanligt sätt att beräkna simplexvolymen är via Cayley -Menger -determinanten . Det kan också beräkna volymen för en simplex inbäddad i ett högre dimensionellt utrymme, t.ex. en triangel i . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Utan 1/ n ! det är formeln för volymen av en n - parallellotop . Detta kan förstås enligt följande: Antag att P är en n -parallelotop konstruerad på basis av . Med tanke på en permutation av , ring en lista över hörn en n -väg om ${\ displaystyle (v_ {0}, e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$${\ displaystyle v_ {0}, \ v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}$

${\ displaystyle v_ {1} = v_ {0}+e _ {\ sigma (1)}, \ v_ {2} = v_ {1}+e _ {\ sigma (2)}, \ ldots, v_ {n} = v_ {n-1}+e _ {\ sigma (n)}}$

(så det finns n !  n -banor och beror inte på permutationen). Följande påståenden håller: ${\ displaystyle v_ {n}}$

Om P är enheten n -hyperkub, är föreningen av n -komplexen som bildas av det konvexa skrovet på varje n -bana P , och dessa simplex är kongruenta och parvis överlappande. I synnerhet är volymen för en sådan simplex

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Vol} (P)} {n!}} = {\ frac {1} {n!}}.}$

Om P är en allmän parallellotop, gäller samma påståenden förutom att det inte längre är sant, i dimension> 2, att simplexen måste vara parvis kongruenta; men deras volymer förblir lika, eftersom n -parallelotopen är bilden av enheten n -hyperkub genom den linjära isomorfismen som skickar den kanoniska grunden till . Som tidigare innebär detta att volymen av en simplex som kommer från en n -väg är: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Vol} (P)} {n!}} = {\ frac {\ det (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})} {n!}}.}$

Omvänt, med tanke på en n -simplex av , kan det antas att vektorerna utgör en grund för . Med tanke på parallellotopen konstruerad från och ser man att den tidigare formeln är giltig för varje simplex. ${\ displaystyle (v_ {0}, \ v_ {1}, \ v_ {2}, \ ldots v_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^{n}}$${\ displaystyle e_ {1} = v_ {1} -v_ {0}, \ e_ {2} = v_ {2} -v_ {1}, \ ldots e_ {n} = v_ {n} -v_ {n- 1}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} ^{n}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

Slutligen erhålls formeln i början av detta avsnitt genom att observera det

${\ displaystyle \ det (v_ {1} -v_ {0}, v_ {2} -v_ {0}, \ ldots, v_ {n} -v_ {0}) = \ det (v_ {1} -v_ { 0}, v_ {2} -v_ {1}, \ ldots, v_ {n} -v_ {n-1}).}$

Av denna formel följer det omedelbart att volymen under en standard n -simplex (dvs. mellan ursprunget och simplexen i R ^{n +1} ) är

${\ displaystyle {1 \ over (n+1)!}}$

Volymen på en vanlig n -simplex med enhetens sidlängd är

${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {n+1}} {n! {\ sqrt {2^{n}}}}}}}$

som kan ses genom att multiplicera den föregående formeln med x ^{n +1} , för att få volymen under n -simplexet som en funktion av dess vertexavstånd x från ursprunget, differentierande med avseende på x , vid   (där n -simplexsidan längden är 1), och normaliseras med ökningen , längs den normala vektorn. ${\ displaystyle x = 1/{\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle dx/{\ sqrt {n+1}}}$${\ displaystyle (dx/(n+1), \ ldots, dx/(n+1))}$

Dihedrala vinklar för den vanliga n-simplexen

Alla två ( n-  1) -dimensionella ytor på en vanlig n -dimensionell simplex är själva regelbundna ( n-  1) -dimensionella enkelheter, och de har samma dihedrala vinkeln på cos ⁻¹ (1/ n ).

Detta kan ses genom att notera att centrum för standarden simplex är , och centrum för dess ansikten är koordinatpermutationer av . Sedan, genom symmetri, är vektorn som pekar från till vinkelrät mot ansiktena. Så de vektorer som är normala för ansiktena är permutationer av , från vilka de dihedrala vinklarna beräknas. ${\ textstil \ vänster ({\ frac {1} {n+1}}, \ dots, {\ frac {1} {n+1}} \ höger)}$${\ textstil \ vänster (0, {\ frac {1} {n}}, \ punkter, {\ frac {1} {n}} \ höger)}$${\ textstil \ vänster ({\ frac {1} {n+1}}, \ dots, {\ frac {1} {n+1}} \ höger)}$${\ textstil \ vänster (0, {\ frac {1} {n}}, \ punkter, {\ frac {1} {n}} \ höger)}$${\ displaystyle (-n, 1, \ dots, 1)}$

Enkelheter med ett "ortogonalt hörn"

Ett "ortogonalt hörn" betyder här att det finns en topp vid vilken alla angränsande kanter är parvis ortogonala. Det följer omedelbart att alla intilliggande ytor är parvis ortogonala. Sådana förenklingar är generaliseringar av rätt trianglar och för dem finns det en n -dimensionell version av Pythagoras sats :

Summan av de kvadratiska ( n-  1) -dimensionella volymerna för fasetterna intill det ortogonala hörnet är lika med den kvadratiska ( n-  1) -dimensionella volymen för fasetten motsatt det ortogonala hörnet.

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} | A_ {k} |^{2} = | A_ {0} |^{2}}$

var är fasetter parvis ortogonala mot varandra men inte ortogonala mot , vilket är fasetten mittemot det ortogonala hörnet. ${\ displaystyle A_ {1} \ ldots A_ {n}}$${\ displaystyle A_ {0}}$

För en 2-simplex är satsen Pythagoras sats för trianglar med en rätt vinkel och för en 3-simplex är det de Guas sats för en tetraeder med ett ortogonalt hörn.

Relation till ( n  + 1) -hyperkuben

Den Hasse diagrammet av ansiktet gitter av ett n -simplex är isomorf med grafen för den ( n  + 1) - hyperkub 's kanter, med hyperkub s vertex kartläggning till var och en av n -simplex s element, inklusive hela simplex och nollpolytop som gitterets ytterpunkter (mappas till två motsatta hörn på hyperkuben). Detta faktum kan användas för att effektivt räkna upp simplexens ansiktsgitter, eftersom mer generella algoritmer för ansiktsgitteruppräkning är dyrare.

Den n -simplex är också vertex siffran för den ( n  + 1) -hypercube. Det är också aspekten av ( n  + 1)- ortoplex .

Topologi

Topologiskt , en n -simplex är ekvivalent till en n -bolls . Varje n -simplex är ett n -dimensionellt grenrör med hörn .

Sannolikhet

I sannolikhetsteorin utgör punkterna för standard n -simplexet i ( n  + 1) -utrymmet utrymmet för möjliga sannolikhetsfördelningar på en ändlig uppsättning bestående av n  + 1 möjliga utfall. Korrespondensen är följande: För varje fördelning som beskrivs som en ordnad ( n  + 1) -dubbla sannolikheter vars summa (nödvändigtvis) är 1 associerar vi punkten för simplexen vars barycentriska koordinater är just dessa sannolikheter. Det vill säga att k th-toppunkten för simplexen har tilldelats k- sannolikheten för ( n  + 1) -tupeln som dess barycentriska koefficient. Denna korrespondens är en affin homeomorfism.

Föreningar

Eftersom alla förenklingar är självdubbla kan de bilda en serie föreningar;

• Två trianglar bildar ett hexagram {6/2}.
• Två tetraeder bildar en förening av två tetraeder eller stella octangula .
• Två 5-celler bildar en förening av två 5-celler i fyra dimensioner.

Algebraisk topologi

I algebraisk topologi används förenklingar som byggstenar för att konstruera en intressant klass av topologiska utrymmen som kallas förenklade komplex . Dessa utrymmen är byggda av enkelheter limmade ihop på ett kombinatoriskt sätt. Enkla komplex används för att definiera en viss typ av homologi som kallas förenklad homologi .

En ändlig uppsättning k -simplexes inbäddad i ett öppet delmängd av R ⁿ kallas en affin k -kedja . Simplexerna i en kedja behöver inte vara unika; de kan förekomma med mångfald . I stället för att använda standarduppsättningsnotation för att beteckna en affin kedja är det istället standardpraxis att använda plustecken för att separera varje medlem i uppsättningen. Om några av simplexen har motsatt orientering , har dessa ett prefix med ett minustecken. Om några av simplexen förekommer i uppsättningen mer än en gång, har dessa ett prefix med ett heltal. Således tar en affin kedja den symboliska formen av en summa med heltalskoefficienter.

Observera att varje aspekt av en n -simplex är en affin ( n  -1) -simplex, och därför är gränsen för en n -simplex en affin ( n  -1) -kedja. Således, om vi betecknar en positivt orienterad affin simplex som

${\ displaystyle \ sigma = [v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {n}]}$

med beteckningen av hörnen, då är gränsen för σ kedjan ${\ displaystyle v_ {j}}$${\ displaystyle \ partial \ sigma}$

${\ displaystyle \ partial \ sigma = \ sum _ {j = 0}^{n} (-1)^{j} [v_ {0}, \ ldots, v_ {j-1}, v_ {j+1} , \ ldots, v_ {n}].}$

Det följer av detta uttryck, och linjäriteten hos gränsoperatören, att gränsen för en simplex gräns är noll:

${\ displaystyle \ partial^{2} \ sigma = \ partial \ left (\ sum _ {j = 0}^{n} (-1)^{j} [v_ {0}, \ ldots, v_ {j- 1}, v_ {j+1}, \ ldots, v_ {n}] \ höger) = 0.}$

På samma sätt är gränsen för gränsen för en kedja noll : . ${\ displaystyle \ partial ^{2} \ rho = 0}$

Mer allmänt kan en simplex (och en kedja) bäddas in i ett grenrör med hjälp av en mjuk, differentierbar karta . I detta fall pendlar både summeringskonventionen för att beteckna uppsättningen och gränsoperationen med inbäddningen . Det är, ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^{n} \ till M}$

${\ displaystyle f \ left (\ sum \ nolimits _ {i} a_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum \ nolimits _ {i} a_ {i} f (\ sigma _ {i}) }$

där de är heltalen som anger orientering och mångfald. För gränsoperatören har man: ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle \ partial}$

${\ displaystyle \ partiell f (\ rho) = f (\ partiell \ rho)}$

där ρ är en kedja. Gränsoperationen pendlar med kartläggningen eftersom kedjan i slutändan definieras som en uppsättning och lite mer, och den uppsatta operationen pendlar alltid med kartoperationen (per definition av en karta).

En kontinuerlig karta till ett topologiskt utrymme X kallas ofta som en singular n -simplex . (En karta kallas i allmänhet "singular" om den inte har någon önskvärd egenskap som kontinuitet, och i detta fall är termen avsedd att reflektera över det faktum att den kontinuerliga kartan inte behöver vara en inbäddning.) ${\ displaystyle f: \ sigma \ till X}$

Algebraisk geometri

Eftersom klassisk algebraisk geometri gör det möjligt att tala om polynomekvationer, men inte ojämlikheter, definieras den algebraiska standarden n-simplex vanligtvis som delmängden av affin ( n  + 1) -dimensionellt utrymme, där alla koordinater summerar till 1 (därmed utelämnas ojämlikhetsdel). Den algebraiska beskrivningen av denna uppsättning är

${\ displaystyle \ Delta ^{n}: = \ left \ {x \ in \ mathbb {A} ^{n+1} ~ {\ Bigg |} ~ \ sum _ {i = 1} ^{n+1} x_ {i} = 1 \ höger \},}$

vilket motsvarar schemat -teoretisk beskrivning med ${\ displaystyle \ Delta _ {n} (R) = \ operatorname {Spec} (R [\ Delta ^{n}])}$

${\ displaystyle R [\ Delta ^{n}]: = R [x_ {1}, \ ldots, x_ {n+1}] \ vänster/\ vänster (1- \ summa x_ {i} \ höger) \ höger .}$

ringen av vanliga funktioner på algebraiskt n -simplex (för valfri ring ). ${\ displaystyle R}$

Genom att använda samma definitioner som för det klassiska n -simplexet samlas n -enkla för olika dimensioner n till ett förenklat objekt , medan ringarna samlas till ett kosimpliciellt objekt (i kategorin scheman resp. Ringar, eftersom ansiktet och degenerationen kartor är alla polynom). ${\ displaystyle R [\ Delta ^{n}]}$${\ displaystyle R [\ Delta ^{\ bullet}]}$

De algebraiska n -förenklingarna används i högre K -teori och i definitionen av högre Chow -grupper .

Ansökningar

• I statistik är förenklingar provutrymmen för kompositionsdata och används också för att plotta mängder som uppgår till 1, till exempel andelar av underpopulationer, som i en ternär plot .
• I industriell statistik uppstår förenklingar i problemformulering och i algoritmisk lösning. Vid utformning av bröd måste producenten kombinera jäst, mjöl, vatten, socker, etc. I sådana blandningar är det bara de relativa proportionerna av ingredienser som spelar roll: För en optimal brödblandning, om mjölet fördubblas, ska jästen fördubblas. Sådana blandningsproblem formuleras ofta med normaliserade begränsningar, så att de icke -negativa komponenterna summeras till en, i vilket fall det genomförbara området bildar ett simplex. Kvaliteten på brödblandningarna kan uppskattas med hjälp av responsytemetodik , och sedan kan ett lokalt maximum beräknas med en olinjär programmeringsmetod , såsom sekventiell kvadratisk programmering .
• Inom operationsforskning kan linjära programmeringsproblem lösas med simplexalgoritmen för George Dantzig .
• I geometrisk design och datorgrafik utför många metoder först enkla trianguleringar av domänen och passar sedan interpolerande polynom till varje simplex.
• Inom kemi kan hydriderna för de flesta elementen i p-blocket likna en simplex om man ska ansluta varje atom. Neon reagerar inte med väte och som sådan är en punkt , fluorbindningar med en väteatom och bildar ett linjesegment, syrebindningar med två väteatomer på ett böjt sätt som liknar en triangel, kväve reagerar för att bilda en tetraeder och kol bildar en struktur som liknar ett Schlegel-diagram över 5-cell. Denna trend fortsätter för de tyngre analogerna av varje element, liksom om väteatomen ersätts av en halogenatom .
• I vissa metoder för kvantgravitation , såsom Regge -kalkyl och dynamiska kausala trianguleringar , används förenklingar som byggstenar för diskretiseringar av rymdtid; det vill säga att bygga enkla grenrör .

Se även

Anteckningar

Referenser

• Rudin, Walter (1976). Principer för matematisk analys (3: e upplagan). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. (Se kapitel 10 för en enkel genomgång av topologiska egenskaper.)
• Tanenbaum, Andrew S. (2003). "§2.5.3". Datornätverk (4: e upplagan). Prentice Hall. ISBN 0-13-066102-3.
• Devroye, Luc (1986). Icke-enhetlig slumpmässig variantgenerering . ISBN 0-387-96305-7. Arkiverad från originalet 2009-05-05.
• Coxeter, HSM (1973). Regular Polytopes (3: e upplagan). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
  • s. 120–121, §7.2. se illustration 7-2 A
  • sid. 296, tabell I (iii): Vanliga polytoper, tre vanliga polytoper i n -dimensioner ( n  ≥ 5)
• Weisstein, Eric W. "Simplex" . MathWorld .
• Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Konvex optimering . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-39400-1.Som PDF

externa länkar

• Olshevsky, George. "Simplex" . Ordlista för Hyperspace . Arkiverad från originalet den 4 februari 2007.

v t e Grundläggande konvexa regelbundna och enhetliga polytoper i dimensioner 2–10
Familj	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Vanlig polygon	Triangel	Fyrkant	p-gon	Sexhörning	Pentagon
Uniform polyhedron	Tetrahedron	Octahedron • Kub	Demicube		Dodekaeder • Icosahedron
Uniform polykoron	Pentachoron	16-cell • Tesseract	Demitesseract	24-cell	120-cell • 600-cell
Uniform 5-polytop	5-simplex	5-ortoplex • 5-kub	5-demicube
Uniform 6-polytop	6-simplex	6-ortoplex • 6-kub	6-demicube	1 22 • 2 21
Uniform 7-polytop	7-simplex	7-ortoplex • 7-kub	7-demicube	1 32 • 2 31 • 3 21
Uniform 8-polytop	8-simplex	8-ortoplex • 8-kub	8-demicube	1 42 • 2 41 • 4 21
Uniform 9-polytop	9-simplex	9-ortoplex • 9-kub	9-demicube
Uniform 10-polytop	10-simplex	10-ortoplex • 10-kub	10-demicube
Uniform n - polytop	n - simplex	n - ortoplex • n - kub	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - femkantig polytop
Ämnen: Polytopfamiljer • Vanlig polytop • Lista över vanliga polytoper och föreningar