Gräns ​​för en funktion - Limit of a function

Del av en serie artiklar om
Beräkning
Grundläggande sats Leibniz integrerad regel Funktionsgränser Kontinuitet Medelvärdes sats Rolles sats
Differentiell Definitioner Derivat  ( generaliseringar ) Differentiell oändligt liten av en funktion total Begrepp Differentieringsnotation Andra derivatet Implicit differentiering Logaritmisk differentiering Relaterade priser Taylors sats Regler och identiteter Belopp Produkt Kedja Kraft Kvot L'Hospitalets regel Omvänd General Leibniz Faà di Brunos formel Reynolds
Väsentlig Listor över integraler Integrerad omvandling Definitioner Antiderivativ Integral  ( felaktig ) Riemann integrerad Lebesgue -integration Konturintegrering Integrerad omvända funktioner Integration av Delar Skivor Cylindriska skal Substitution  ( trigonometrisk , Weierstrass , Euler ) Eulers formel Partiella fraktioner Ändrar ordning Reduktionsformler Differentieras under det integrerade tecknet Risch algoritm
Serier Geometrisk  ( aritmetisk-geometrisk ) Harmonisk Omväxlande Kraft Binom Taylor Konvergensprov Summand limit (term test) Förhållande Rot Väsentlig Direkt jämförelse Begränsa jämförelsen Alternerande serier Cauchy kondens Dirichlet Abel
Vektor Lutning Divergens Ringla Laplacian Riktningsderivat Identiteter Satser Lutning Green's Stokes Divergens generaliserade Stokes
Multivariabel Formalism Matris Tensor Exteriör Geometrisk Definitioner Delvis derivat Flera integraler Linje integrerad Yta integrerad Volym integrerad Jacobian Hessian
Specialiserad Fraktionerad Malliavin Stokastisk Variationer
Diverse Precalculus Historia Ordlista Lista över ämnen Integrationsbi Analys
v t e

I matematik är gränsen för en funktion ett grundläggande begrepp i beräkning och analys av beteendet för den funktionen nära en viss ingång .

Formella definitioner, som först utformades i början av 1800 -talet, ges nedan. Informellt tilldelar en funktion f en utgång f ( x ) till varje ingång x . Vi säger att funktionen har en gräns L vid en ingång p, om f ( x ) kommer allt närmare L när x rör sig närmare och närmare p . Mer specifikt, när f appliceras på någon ingång tillräckligt nära p , är det utgående värdet tvingas godtyckligt nära L . Å andra sidan, om vissa ingångar mycket nära p tas till utgångar som håller ett fast avstånd från varandra, då säger vi att gränsen inte existerar .

Begreppet gräns har många tillämpningar i modern kalkyl . I synnerhet använder de många definitionerna av kontinuitet begreppet gräns: ungefär, en funktion är kontinuerlig om alla dess gränser överensstämmer med funktionens värden. Begreppet gräns visas också i definitionen av derivatet : i beräkningen av en variabel är detta gränsvärdet för lutningen av sekanta linjer till grafen för en funktion.

Historia

Även om det är implicit i utvecklingen av kalkylen från 1600- och 1700-talen, går den moderna idén om gränsen för en funktion tillbaka till Bolzano som 1817 introducerade grunderna i epsilon-delta- tekniken för att definiera kontinuerliga funktioner. Men hans arbete var inte känt under hans livstid.

I hans 1821 bok Cours d'analysera , Cauchy diskuterade variabla kvantiteter, infinitesimals och gränser, och definierad kontinuitet genom att säga att en infinitesimal förändring i x nödvändigtvis alstrar en infinitesimal förändring i y , medan ( Grabiner 1983 ) hävdar att han använde en rigorös epsilon -delta definition i bevis. Weierstrass introducerade först epsilon-delta-definitionen av gräns i den form det vanligtvis skrivs idag. Han introducerade också beteckningarna lim och lim _{x → x 0} . ${\ displaystyle y = f (x)}$

Den moderna notationen att placera pilen under gränssymbolen beror på Hardy , som introducerades i hans bok A Course of Pure Mathematics 1908.

Motivering

Föreställ dig en person som går över ett landskap representerat av grafen y = f ( x ). Deras horisontella position mäts med värdet av x , ungefär som positionen som ges av en karta över landet eller av ett globalt positioneringssystem . Deras höjd ges av koordinaten y . De går mot det horisontella läget som ges av x = p . När de blir närmare och närmare det märker de att deras höjd närmar L . Om du tillfrågas om höjd x = p , skulle de sedan svara L .

Vad betyder det då att säga att deras höjd närmar sig L? Det betyder att deras höjd blir närmare och närmare L - förutom ett eventuellt litet fel i noggrannheten. Anta till exempel att vi sätter en viss noggrannhet mål för våra resenärer: de måste få inom tio meter från L . De rapporterar tillbaka som faktiskt kan de få inom tio fallhöjdsmeter av L , eftersom de notera att när de är inom femtio horisontella meter p , är deras höjd alltid tio meter eller mindre från L .

Noggrannhetsmålet ändras sedan: kan de komma inom en vertikal meter? Ja. Om de är någonstans inom sju horisontella meter p , kommer deras höjd alltid att förbli inom en meter från målet L . Sammanfattningsvis, att säga att resenärens höjd närmar sig L när deras horisontella läge närmar sig p , är att säga att för varje målnoggrannhetsmål, hur litet det än är, finns det ett grannskap av p vars höjd uppfyller detta noggrannhetsmål.

Det första informella uttalandet kan nu förklaras:

Gränsen för en funktion f ( x ) när x närmar sig p är ett tal L med följande egenskap: givet valfritt målavstånd från L finns det ett avstånd från p inom vilket värdena för f ( x ) förblir inom målavståndet.

Faktum är att detta uttryckliga uttalande är ganska nära den formella definitionen av en funktionsgräns, med värden i ett topologiskt utrymme .

Mer specifikt att säga det

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p} f (x) = L, \,}$

är att säga att ƒ ( x ) kan göras så nära L som önskat, genom att göra x tillräckligt nära, men inte lika med  p .

Följande definitioner, kända som (ε, δ) -definitioner, är de allmänt accepterade definitionerna för gränsen för en funktion i olika sammanhang.

Funktioner för en enda variabel

(ε, δ) -definition av gräns

Antag f  : R → R är definierad på den verkliga linjen och p, L ∈ R . Man skulle säga att gränsen för f , när x närmar sig p , är L och skriven

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p} f (x) = L,}$

eller alternativt som:

${\ displaystyle f (x) \ till L}$as (läser " tenderar till som tenderar till ")${\ displaystyle x \ to p}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$

om följande egendom innehar:

• För varje verkligt ε > 0 finns det en verklig δ > 0 så att för alla verkliga x, 0 <| x - p | < δ innebär att | f ( x ) - L | < ε .

En mer allmän definition gäller för funktioner som definieras på delmängder av den verkliga linjen. Låt ( a ,  b ) vara ett öppet intervall i R , och p en punkt på ( a ,  b ). Låt f vara en verkligt värderad funktion definierad på alla ( a ,  b )-utom möjligen vid p själv. Det sägs då att gränsen för f när x närmar sig p är L, om det för varje verkligt ε > 0 finns en verklig δ > 0 så att 0 <| x - p | < δ och x ∈ ( a , b ) innebär att | f ( x ) - L | < ε .

Observera här att gränsvärdet inte beror på att f definieras vid p , inte heller värdet f ( p ) - om det är definierat.

Bokstäverna ε och δ kan förstås som "fel" och "avstånd". Faktum är att Cauchy använde ε som en förkortning för "fel" i några av hans verk, men i sin definition av kontinuitet använde han en infinitesimal snarare än antingen ε eller δ (se Cours d'Analyse ). I dessa termer kan felet ( ε ) i mätningen av värdet vid gränsen göras så litet som önskat, genom att minska avståndet ( δ ) till gränspunkten. Som diskuteras nedan fungerar denna definition också för funktioner i ett mer allmänt sammanhang. Tanken att δ och ε representerar avstånd hjälper till att föreslå dessa generaliseringar. ${\ displaystyle \ alpha}$

Existens och ensidiga gränser

Alternativt kan x närma sig p uppifrån (höger) eller under (vänster), i vilket fall gränserna kan skrivas som

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p^{+}} f (x) = L}$

eller

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p^{-}} f (x) = L}$

respektive. Om dessa gränser existerar vid p och är lika med det, då detta kan hänvisas till som den gränsen för f ( x ) vid sid . Om de ensidiga gränserna finns vid p , men är ojämlika, så finns det ingen gräns vid p (dvs gränsen vid p finns inte). Om endera ensidig gräns inte existerar vid p , så finns inte heller gränsen vid p .

En formell definition är följande. Gränsen för f ( x ) när x närmar sig p uppifrån är L om det för varje ε  > 0 finns en δ > 0 så att | f ( x ) -  L | <  ε när som helst 0 <  x  -  p  <  δ . Gränsen för f ( x ) när x närmar sig p underifrån är L om det för varje ε > 0 finns en δ > 0 så att | f ( x ) -  L | <  ε när som helst 0 <  p  -  x  <  δ .

Om gränsen inte existerar, är oscillationen av f vid p icke-noll.

Mer generella delmängder

Förutom öppna intervall kan gränser definieras för funktioner på godtyckliga delmängder av R , enligt följande ( Bartle & Sherbert 2000 ) : låt f vara en verkligt värderad funktion definierad på en delmängd S av den verkliga linjen. Låt p vara en gränspunkt för S — det vill säga, p är gränsen för någon sekvens av element i S som skiljer sig från p. Gränsen för f , när x närmar sig p från värden i S , är L, om det för varje ε > 0 finns en δ > 0 så att 0 <| x - p | < δ och x ∈ S innebär att | f ( x ) - L | < ε . harv -fel: inget mål: CITEREFBartleSherbert2000 ( hjälp )

Denna gräns skrivs ofta som:

${\ displaystyle L = \ lim _ {\ stackrel {x \ till p} {x \ i S}} f (x).}$

Villkoret att f definieras på S är att S är en delmängd av domänen f . Denna generalisering inkluderar som specialfall begränsningar för ett intervall, liksom vänsterhänta gränser för verkligt värderade funktioner (t.ex. genom att ta S som ett öppet intervall i formuläret ) och högerhandsgränser (t.ex. genom att ta S att vara ett öppet intervall i formuläret ). Det utvidgar också begreppet ensidiga gränser till de inkluderade slutpunkterna (halv) stängda intervall, så kvadratrotsfunktionen f ( x ) = √ x kan ha gräns 0 när x närmar sig 0 ovanifrån. ${\ displaystyle (-\ infty, a)}$${\ displaystyle (a, \ infty)}$

Raderade kontra icke-raderade gränser

Definitionen av gräns som ges här beror inte på hur (eller om) f definieras på sid . Bartle (1967) hänvisar till detta som en borttagen gräns , eftersom det utesluter värdet av f vid sid . Motsvarande icke-raderade gräns beror på värdet av f vid p , om p är i f- domänen :

• Ett tal L är den icke-raderade gränsen för f när x närmar sig p om det för varje ε > 0 finns en δ > 0 så att | x  -  p  | <  δ och x ∈ Dm ( f ) innebär | f ( x ) -  L  | <  ε .

Definitionen är densamma, förutom att grannskapet | x  -  p  | <  δ inkluderar nu punkten p , i motsats till det borttagna grannskapet 0 <| x  -  p  | <  δ . Detta gör definitionen av en icke-raderad gräns mindre allmän. En av fördelarna med att arbeta med icke-raderade gränser är att de gör det möjligt att ange teoremet om gränser för kompositioner utan några begränsningar i funktionerna (förutom att det finns icke-raderade gränser) ( Hubbard (2015) ).

Bartle (1967) noterar att även med "gräns" menar vissa författare denna icke-raderade gräns, men raderade gränser är de mest populära. Till exempel, Apostol (1974) , Courant (1924) , Hardy (1921) , Rudin (1964) , Whittaker & Watson (1902) tar alla "gräns" för att betyda den borttagna gränsen. harvtxt -fel: inget mål: CITEREFWhittakerWatson1902 ( hjälp )

Exempel

Icke-existens av ensidiga gränser

Funktionen

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin {\ frac {5} {x-1}} & {\ text {för}} x <1 \\ 0 & {\ text {för}} x = 1 \\ {\ frac {0.1} {x-1}} och {\ text {för}} x> 1 \ slut {fall}}}$

har ingen gräns vid (den vänstra gränsen finns inte på grund av sinusfunktionens oscillerande karaktär, och den högra gränsen finns inte på grund av den asymptotiska beteendet hos den ömsesidiga funktionen), men har en gräns vid varannan x -koordinera. ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

Funktionen

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & x {\ text {rational}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

(aka, Dirichlet -funktionen ) har ingen gräns för någon x -koordinat.

Ojämlikhet av ensidiga gränser

Funktionen

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {för}} x <0 \\ 2 & {\ text {för}} x \ geq 0 \ end {cases}}}$

har en gräns för varje icke -noll x -koordinat (gränsen är 1 för negativ x och 2 för positiv x ). Gränsen vid x = 0 existerar inte (den vänstra gränsen är 1, medan den högra gränsen är 2).

Gränser på bara en punkt

Funktionerna

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} x & x {\ text {rational}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

och

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} | x | & x {\ text {rational}} \\ 0 & x {\ text {irrational}} \ end {cases}}}$

båda har en gräns vid x = 0 och det är lika med 0.

Gränser på otaligt många punkter

Funktionen

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} \ sin x & x {\ text {irrational}} \\ 1 & x {\ text {rational}} \ end {cases}}}$

har en gräns för varje x -koordinat i formen , där n är vilket heltal som helst. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}+2n \ pi}$

Funktioner på metriska mellanslag

Antar M och N är delmängder av metriska rum A och B , respektive, och f  : M → N definieras mellan M och N , med x ∈ M, p en gränspunkt av M och L ∈ N . Det sägs att gränsen för f när x närmar sig p är L och skriv

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p} f (x) = L}$

om följande egendom innehar:

• För varje ε> 0 finns det en δ> 0 så att d _B ( f ( x ), L ) <ε när 0 <  d _A ( x ,  p ) <  δ .

Igen, notera att p behöver inte vara i området för f , inte heller L behov att vara i området av f , och även om f ( p ) definieras det behöver inte vara lika med L .

En alternativ definition med begreppet grannskap är följande:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p} f (x) = L}$

om, för varje kvarter V av L i B , föreligger ett grannskap U av p i A så att f (U ∩ M - { p }) ⊆ V .

Funktioner på topologiska utrymmen

Antag att X , Y är topologiska utrymmen med Y a Hausdorff -utrymme . Låt p vara ett gränspunkt av Ω ⊆  X , och L ∈ Y . För en funktion f  : Ω → Y sägs att gränsen för f när x närmar sig p är L (dvs f ( x ) → L som x → p ) och skriven

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till p} f (x) = L}$

om följande egendom innehar:

• För varje öppen stadsdel V av L , existerar det en öppen grannskap U av p sådan att f ( U  ∩ Ω - { p }) ⊆ V .

Denna sista del av definitionen kan också formuleras "det finns ett öppet punkterat grannskap U av p så att f ( U ∩Ω) ⊆ V ".

Observera att f -domänen inte behöver innehålla p . Om det gör det är värdet av f vid p irrelevant för definitionen av gränsen. I synnerhet om domänen för f är X  - { p } (eller hela X ), så finns gränsen för f som x → p och är lika med L om, för alla delmängder Ω av X med gränspunkten p , gränsen för begränsning av f till Ω finns och är lika med L . Ibland detta kriterium används för att fastställa den icke-existens av dubbelsidig gränsen för en funktion på R genom att visa att de ensidiga gränser antingen inte finns eller inte är överens. En sådan uppfattning är grundläggande inom allmän topologi , där gränser och kontinuitet vid en punkt definieras i termer av speciella familjer av delmängder, kallade filter eller generaliserade sekvenser som kallas nät .

Alternativt kan kravet på att Y är ett Hausdorff -utrymme avslappnas till antagandet att Y är ett allmänt topologiskt utrymme, men då är gränsen för en funktion kanske inte unik. I synnerhet kan man inte längre prata om gränsen för en funktion vid en punkt, utan snarare en gräns eller uppsättningen gränser vid en punkt.

En funktion är kontinuerlig vid en gränspunkt p av och i sin domän om och endast om f ( p ) är den (eller, i det allmänna fallet, en ) gräns på f ( x ) som x tenderar att p .

Gränser för oändlighet

Gränser i oändlighet

Låt , och . ${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ i S}$${\ displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

Gränsen för f när x närmar sig oändligheten är L , betecknad

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = L,}$

betyder att det för alla finns c så att när x  >  c . Eller symboliskt: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ existerar c \; \ forall x> c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

På samma sätt är gränsen för f när x närmar sig negativ oändlighet L , betecknad

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} f (x) = L,}$

betyder att det för alla finns c så att när x  <  c . Eller symboliskt: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle | f (x) -L | <\ varepsilon}$

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ existerar c \; \ forall x <c: \; | f (x) -L | <\ varepsilon}$.

Till exempel,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} e^{x} = 0. \,}$

Oändliga gränser

För en funktion vars värden växer utan gräns, avviker funktionen och den vanliga gränsen finns inte. Men i detta fall kan man införa gränser med oändliga värden. Låt , och . Påståendet gränsen för f när x närmar sig a är oändlighet , betecknad ${\ displaystyle S \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ i S}$${\ displaystyle f: S \ mapsto \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (x) = \ infty,}$

betyder att det för alla finns så att när som helst${\ displaystyle N> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle f (x)> N}$${\ displaystyle 0 <| xa | <\ delta.}$

Dessa idéer kan kombineras på ett naturligt sätt för att producera definitioner för olika kombinationer, t.ex.

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} f (x) = \ infty, \ lim _ {x \ to a^{+}} f (x) =-\ infty.}$

Till exempel,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till 0^{+}} \ ln x =-\ infty.}$

Gränser som involverar oändlighet är kopplade till begreppet asymptoter .

Dessa föreställningar om en gräns försöker ge en metrisk rymdtolkning till gränser i oändlighet. Faktum är att de överensstämmer med den topologiska rymddefinitionen av gräns om

• ett grannskap av −∞ definieras för att innehålla ett intervall [−∞,  c ) för några c  ∈  R ,
• ett grannskap med ∞ definieras för att innehålla ett intervall ( c , ∞] där c  ∈  R och
• ett område i en ∈ R definieras på normalt sätt metriskt rum R .

I detta fall är R ett topologiskt utrymme och alla funktioner i formen f :  X  →  Y med X ,  Y ⊆  R är föremål för den topologiska definitionen av en gräns. Observera att med denna topologiska definition är det lätt att definiera oändliga gränser vid ändliga punkter, som inte har definierats ovan i metrisk mening.

Alternativ notation

Många författare tillåter att den projektivt utökade verkliga linjen kan användas som ett sätt att inkludera oändliga värden såväl som en utökad verklig linje . Med denna notering ges den utökade verkliga linjen som R ∪ {−∞, +∞} och den projektivt utökade verkliga linjen är R  ∪ {∞} där ett grannskap med ∞ är en uppsättning av formen { x : | x | > c }. Fördelen är att man bara behöver tre definitioner för gränser (vänster, höger och centralt) för att täcka alla fall. Som presenterats ovan, för en fullständigt noggrann redovisning, skulle vi behöva överväga 15 separata fall för varje kombination av oändligheter (fem riktningar: −∞, vänster, central, höger och +∞; tre gränser: −∞, ändlig eller + ∞). Det finns också anmärkningsvärda fallgropar. Till exempel, när du arbetar med den utökade verkliga linjen, har inte en central gräns (vilket är normalt): ${\ displaystyle x^{-1}}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} {1 \ over x} =+\ infty, \ lim _ {x \ to 0^{-}} {1 \ over x} =-\ infty .}$

Däremot när du arbetar med projektiv verkliga linjen, är oändlig (ungefär som 0) osignerad så centrala gränsvärdes gör existerar i detta sammanhang:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0^{+}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0^{-}} {1 \ over x} = \ lim _ {x \ to 0} {1 \ över x} = \ infty.}$

Det finns faktiskt en uppsjö av motstridiga formella system som används. I vissa tillämpningar av numerisk differentiering och integration är det till exempel bekvämt att ha signerade nollor . En enkel anledning har att göra med det motsatta , nämligen att det är bekvämt att betraktas som sant. Sådana nollor kan ses som en approximation till oändliga siffror . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ till 0^{-}} {x^{-1}} =-\ infty}$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to-\ infty} {x^{-1}} =-0}$

Gränser i oändlighet för rationella funktioner

Det finns tre grundregler för att utvärdera gränser vid oändlighet för en rationell funktion f ( x ) = p ( x )/ q ( x ): (där p och q är polynom):

• Om graden av p är större än graden av q , är gränsen positiv eller negativ oändlighet beroende på tecknen på de ledande koefficienterna;
• Om graden av p och q är lika är gränsen den ledande koefficienten för p dividerat med den ledande koefficienten för q ;
• Om graden av p är mindre än graden av q , är gränsen 0.

Om gränsen vid oändligheten finns, representerar det en horisontell asymptot vid y = L . Polynom har inte horisontella asymptoter; sådana asymptoter kan dock förekomma med rationella funktioner.

Funktioner med mer än en variabel

Genom att notera att | x  -  p | representerar ett avstånd kan definitionen av en gräns utökas till funktioner med mer än en variabel. För en funktion f  : R ² → R ,

${\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (p, q)} f (x, y) = L}$

om

för varje ε > 0 finns det en δ> 0 så att för alla ( x , y ) med 0 <|| ( x , y ) - ( p , q ) || <δ, sedan | f ( x , y ) -  L | <ε

där || ( x , y ) - ( p , q ) || representerar det euklidiska avståndet . Detta kan utökas till valfritt antal variabler.

Sekventiella gränser

Låt f  : X → Y vara en avbildning från en topologisk utrymme X in i en hausdorffrum Y , p ∈ X en gränspunkt av X och L ∈ Y .

Den sekventiella gränsen för f som x tenderar till p är L om sekvensen f ( x _n ) konvergerar till L för varje sekvens ( x _n ) i X - { p } som konvergerar till p .

Om L är gränsen (i meningen ovan) för f när x närmar sig p , så är det också en sekventiell gräns, men det motsatta behöver inte hålla i allmänhet. Om dessutom X är metrizable , då L är den sekventiella gränsen för f som x närmar p om och endast om det är gränsen (i meningen ovan) av f som x närmar sid .

Andra karakteriseringar

När det gäller sekvenser

För funktioner på den verkliga linjen är ett sätt att definiera gränsen för en funktion i termer av sekvensgränsen. (Denna definition brukar tillskrivas Eduard Heine .) I denna inställning:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (x) = L}$

om, och bara om, för alla sekvenser (med inte lika med a för alla n ) som konvergerar till sekvensen konvergerar till . Det visades av Sierpiński 1916 att bevisa likvärdigheten mellan denna definition och definitionen ovan kräver och motsvarar en svag form av valet axiom . Observera att definiera vad det betyder för en sekvens att konvergera till kräver epsilon, delta -metoden . ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a}$

På samma sätt som det var fallet med Weierstrass definition, gäller en mer allmän Heine -definition för funktioner som definieras på delmängder av den verkliga linjen. Låt f vara en verkligt värderad funktion med domänen Dm ( f ). Låt a vara gränsen för en sekvens av element i Dm ( f ) \ { a }. Då gränsen (i denna mening) av f är L som x närmar p om för varje sekvens  ∈  Dm ( f ) \ { a } (så att för alla n , inte är lika med ett ) som konvergerar till en , de sekvens konvergerar till . Detta är samma sak som definitionen av en sekventiell gräns i föregående avsnitt erhållen genom att betrakta delmängden Dm ( f ) för R som ett metriskt utrymme med den inducerade metriska. ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle f (x_ {n})}$${\ displaystyle L}$

I icke-standardiserad kalkyl

I icke-standardberäkning definieras gränsen för en funktion av:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (x) = L}$

om och bara om för alla , är infinitesimal när som är infinitesimal. Här är de hyperrealistiska talen och är den naturliga förlängningen av f till de icke-standardiserade reella talen. Keisler bevisade att en sådan hyperrealistisk definition av gräns minskar kvantifierarens komplexitet med två kvantifierare. Å andra sidan skriver Hrbacek att för att definitionerna ska vara giltiga för alla hyperreala tal måste de implicit vara grundade i ε-δ-metoden och hävdar att ur pedagogisk synvinkel hoppas att icke-standardberäkning kan vara gjort utan ε-δ metoder kan inte realiseras i sin helhet. Bŀaszczyk et al. beskriva nyttan av mikrokontinuitet för att utveckla en transparent definition av enhetlig kontinuitet och karakterisera Hrbaceks kritik som en "tvivelaktig klagomål". ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{*}}$${\ displaystyle f^{*} (x) -L}$${\ displaystyle xa}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{*}}$${\ displaystyle f^{*}}$

När det gäller närhet

Vid den internationella matematikongressen 1908 introducerade F. Riesz ett alternativt sätt som definierar gränser och kontinuitet i begreppet som kallas "närhet". En punkt definieras till att vara nära en uppsättning om det för varje punkt finns en så . I denna inställning ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle a \ i A}$${\ displaystyle | xa | <r}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (x) = L}$

om och bara om för alla , är nära när som helst . Här är uppsättningen . Denna definition kan också utvidgas till metriska och topologiska utrymmen. ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f (A)}$${\ displaystyle \ {f (x) | x \ i A \}}$

Förhållande till kontinuitet

Begreppet gränsen för en funktion är mycket nära besläktat med begreppet kontinuitet. En funktion ƒ sägs vara kontinuerlig vid c om den både är definierad vid c och dess värde vid c är lika med gränsen för f när x närmar sig c :

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till c} f (x) = f (c).}$

(Vi har här antagit att c är en gränspunkt för domänen f .)

Egenskaper

Om en funktion f är reell, då gränsen för f vid p är L om och endast om både högerhänt gräns och vänsterhänta gränsen för f vid p existerar och är lika med L .

Funktionen f är kontinuerlig vid p om och endast om gränsen för f ( x ) när x närmar sig p existerar och är lika med f ( p ). Om f  : M → N är en funktion mellan metriska mellanslag M och N , så är det ekvivalent att f transformerar varje sekvens i M som konvergerar mot p till en sekvens i N som konvergerar mot f ( p ).

Om N är ett normerat vektorutrymme är gränsoperationen linjär i följande mening: om gränsen för f ( x ) när x närmar sig p är L och gränsen för g ( x ) när x närmar sig p är P , då är gränsen för f ( x ) + g ( x ) som x närmar p är L + P . Om en är en skalär från basen fältet , då gränsen för af ( x ) som x närmar p är aL .

Om f och g är realt värde (eller komplext värde) funktioner, sedan ta gränsen för en operation på f ( x ) och g ( x ) (t.ex. , , , , ) under vissa betingelser är kompatibel med driften av gränserna för f (x) och g (x) . Detta faktum kallas ofta algebraiska gränssatsen . Huvudvillkoret som krävs för att tillämpa följande regler är att gränserna på ekvatorns högra sida existerar (med andra ord är dessa gränser ändliga värden inklusive 0). Dessutom kräver identiteten för division att nämnaren på höger sida är icke-noll (division med 0 är inte definierad) och identiteten för exponentiering kräver att basen är positiv eller noll medan exponenten är positiv (ändlig ). ${\ displaystyle f+g}$ ${\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle f \ gånger g}$ ${\ displaystyle f/g}$ ${\ displaystyle f^{g}}$

${\ displaystyle {\ begin {matris} \ lim \ limit _ {x \ to p} & (f (x)+g (x)) & = & \ lim \ limit _ {x \ to p} f (x) +\ lim \ gränser _ {x \ till p} g (x) \\\ lim \ gränser _ {x \ till p} & (f (x) -g (x)) & = & \ lim \ gränser _ { x \ till p} f (x)-\ lim \ gränser _ {x \ till p} g (x) \\\ lim \ gränser _ {x \ till p} & (f (x) \ cdot g (x) ) & = & \ lim \ gränser _ {x \ till p} f (x) \ cdot \ lim \ gränser _ {x \ till p} g (x) \\\ lim \ gränser _ {x \ till p} & (f (x)/g (x)) & = & {\ lim \ limits _ {x \ to p} f (x)/\ lim \ limits _ {x \ to p} g (x)} \\\ lim \ gränser _ {x \ till p} & f (x)^{g (x)} & = & {\ lim \ gränser _ {x \ till p} f (x)^{\ lim \ gränser _ {x \ till p} g (x)}} \ end {matris}}}$

Dessa regler gäller även för ensidiga gränser, inklusive när p är ∞ eller −∞. I varje regel ovan, när en av gränserna till höger är ∞ eller −∞, kan gränsen till vänster ibland fortfarande bestämmas av följande regler.

• q + ∞ = ∞ om q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ om q > 0
• q × ∞ = −∞ om q <0
• q / ∞ = 0 om q ≠ ∞ och q ≠ −∞
• ∞ ^q = 0 om q <0
• ∞ ^q = ∞ om q > 0
• q ^∞ = 0 om 0 < q <1
• q ^∞ = ∞ om q > 1
• q ^−∞ = ∞ om 0 < q <1
• q ^−∞ = 0 om q > 1

(se även Utökad reell talrad ).

I andra fall kan gränsen till vänster fortfarande finnas, även om den högra sidan, kallad en obestämd form , inte tillåter en att bestämma resultatet. Detta beror på funktionerna f och g . Dessa obestämda former är:

• 0 /0
• ± ∞ / ± ∞
• 0 × ± ∞
• ∞ + −∞
• 0 ⁰
• ∞ ⁰
• 1 ^{± ∞}

Se vidare L'Hôpital regel nedan och obestämd form .

Gränser för sammansättningar av funktioner

I allmänhet, från att veta det

${\ displaystyle \ lim _ {y \ to b} f (y) = c}$och ,${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} g (x) = b}$

det följer inte det . Denna "kedjeregel" gäller dock om något av följande ytterligare villkor gäller: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (g (x)) = c}$

• f ( b ) = c (det vill säga f är kontinuerligt vid b ), eller
• g tar inte värdet b nära a (det vill säga det finns ett sådant att om då ).${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle 0 <| xa | <\ delta}$${\ displaystyle | g (x) -b |> 0}$

Som ett exempel på detta fenomen, överväga följande funktioner som bryter mot båda ytterligare begränsningar:

${\ displaystyle f (x) = g (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 1 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}} .}$

Eftersom värdet vid f (0) är en borttagbar diskontinuitet ,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (x) = 0}$för alla .${\ displaystyle a}$

Således skulle den naiva kedjeregeln föreslå att gränsen för f ( f ( x )) är 0. Det är dock så att

${\ displaystyle f (f (x)) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x \ neq 0 \\ 0 & {\ text {if}} x = 0 \ end {cases}}}$

och så

${\ displaystyle \ lim _ {x \ till a} f (f (x)) = 1}$för alla .${\ displaystyle a}$

Gränser för särskilt intresse

Rationella funktioner

För ett icke -negativt heltal och konstanter och , ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots, a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}, \ ldots, b_ {n}}$

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {a_ {1} {x}^{n}+a_ {2} {x}^{n-1}+a_ {3} {x} ^{n-2}+...+a_ {n}} {b_ {1} {x}^{n}+b_ {2} {x}^{n-1}+b_ {3} {x} ^{n-2}+...+b_ {n}}} = {\ frac {a_ {1}} {b_ {1}}}}$

Detta kan bevisas genom att dividera både täljaren och nämnaren med . Om täljaren är ett polynom av högre grad existerar inte gränsen. Om nämnaren är av högre grad är gränsen 0. ${\ displaystyle x^{n}}$

Trigonometriska funktioner

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {1- \ cos x} {x}} = 0}$

Exponentiella funktioner

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} (1+x)^{\ frac {1} {x}} = \ lim _ {r \ to \ infty} \ left (1+{\ frac {1} {r}} \ höger)^{r} = e}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e^{x} -1} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {e^{ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {c^{ax} -1} {bx}} = {\ frac {a} {b}} \ ln c}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ till 0^{+}} x^{x} = 1}$

Logaritmiska funktioner

• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ till 0} {\ frac {\ ln (1+x)} {x}} = 1}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ ln (1+ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b}}}$
• ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ log _ {c} (1+ax)} {bx}} = {\ frac {a} {b \ ln c}}}$

L'Hospitalets regel

Denna regel använder derivat för att hitta gränser för obestämda former 0/0 eller ± ∞/∞ , och gäller endast sådana fall. Andra obestämda former kan manipuleras till denna form. Med tanke på två funktioner f ( x ) och g ( x ) , definierade över ett öppet intervall I som innehåller den önskade gränspunkten c , om:

1. ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ lim _ {x \ to c} g (x) = 0,}$ eller , och${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} f (x) = \ pm \ lim _ {x \ to c} g (x) = \ pm \ infty}$
2. ${\ displaystyle f}$och är differentierbara över , och${\ displaystyle g}$${\ displaystyle I \ setminus \ {c \}}$
3. ${\ displaystyle g '(x) \ neq 0}$för alla , och${\ displaystyle x \ i I \ setminus \ {c \}}$
4. ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g' (x)}}}$ existerar,

sedan:

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = \ lim _ {x \ to c} {\ frac {f '(x)} {g '(x)}}}$

Normalt är det första villkoret det viktigaste.

Till exempel: ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (2x)} {\ sin (3x)}} = \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {2 \ cos (2x) } {3 \ cos (3x)}} = {\ frac {2 \ cdot 1} {3 \ cdot 1}} = {\ frac {2} {3}}.}$

Summationer och integraler

Att ange en oändlig gräns för en summering eller integral är en vanlig stenografi för att specificera en gräns.

Ett kort sätt att skriva gränsen är . Ett viktigt exempel på gränser för summor som dessa är serier . ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = s}^{n} f (i)}$${\ displaystyle \ sum _ {i = s}^{\ infty} f (i)}$

Ett kort sätt att skriva gränsen är . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ int _ {a}^{x} f (t) \; dt}$${\ displaystyle \ int _ {a}^{\ infty} f (t) \; dt}$

Ett kort sätt att skriva gränsen är . ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} \ int _ {x}^{b} f (t) \; dt}$${\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{b} f (t) \; dt}$

Se även

• Big O -notation  - Notation som beskriver begränsande beteende
• L'Hôpitals regel  - Matematisk regel för utvärdering av vissa gränser
• Lista över gränser  - Wikipedia lista artikel
• Gräns ​​för en sekvens  - Värde som termerna i en sekvens "tenderar att"
• Begränsa överlägsen och begränsa sämre
• Net (matematik)  - En generalisering av en sekvens av punkter
• Icke-standardiserad kalkyl
• Kläm teorem  - Vid beräkning av gränser genom att begränsa en funktion mellan två andra funktioner
• Efterföljande gräns  - Gränsen för viss undersekvens

Anteckningar

Referenser

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 utg.), Addison – Wesley, ISBN 0-201-00288-4
• Bartle, Robert (1967), Elementen i verklig analys , Wiley
• Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung , Springer Verlag
• Hardy, GH (1921), En kurs i ren matematik , Cambridge University Press
• Hubbard, John H. (2015), Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth ed.), Matrix Editions
• Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., red. (2002), "Media Highlights", College Mathematics , 33 (2): 147–154, JSTOR  2687124.
• Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis , McGraw-Hill
• Sutherland, WA (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
• Sherbert, Robert (2000), Introduktion till verklig analys , Wiley
• Whittaker ; Watson (1904), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press

externa länkar

• MacTutor History of Weierstrass.
• MacTutor History of Bolzano
• Visual Calculus av Lawrence S. Husch , University of Tennessee (2001)