Meromorf funktion - Meromorphic function

I det matematiska området komplexanalys är en meromorf funktion på en öppen delmängd D av det komplexa planet en funktion som är holomorf på alla D förutom en uppsättning isolerade punkter , som är poler i funktionen. Termen kommer från det antika grekiska meros ( μέρος ), vilket betyder "del".

Varje meromorf funktion på D kan uttryckas som förhållandet mellan två holomorfa funktioner (med nämnaren inte konstant 0) definierad på D : vilken pol som helst måste sammanfalla med en noll av nämnaren.

Den gammafunktionen är meromorf i hela komplexa planet.

Heuristisk beskrivning

Intuitivt är en meromorf funktion ett förhållande mellan två välskötta (holomorfa) funktioner. En sådan funktion kommer fortfarande att vara välskött, förutom möjligen vid de punkter där nämnaren för fraktionen är noll. Om nämnaren har en nolla vid z och täljaren inte gör det, kommer funktionens värde att närma sig oändligheten; om båda delarna har en nolla vid z , måste man jämföra mångfalden av dessa nollor.

Från en algebraisk synvinkel, om funktionens domän är ansluten , är uppsättningen meromorfa funktioner fältet för fraktioner av integraldomänen för uppsättningen holomorfa funktioner. Detta är analogt med förhållandet mellan de rationella talen och heltalen .

Tidigare, alternativ användning

Både ämnesområdet där termen används och termens exakta betydelse ändrades under 1900 -talet. På 1930 -talet, i gruppteori , var en meromorf funktion (eller meromorf ) en funktion från en grupp G till sig själv som bevarade produkten på gruppen. Bilden av den här funktionen kallades en automorfism av G . På samma sätt var en homomorf funktion (eller homomorf ) en funktion mellan grupper som bevarade produkten, medan en homomorfism var bilden av en homomorf. Denna form av termen är nu föråldrad, och den relaterade termen meromorf används inte längre i gruppteori. Termen endomorfism används nu för själva funktionen, utan något särskilt namn som ges till bilden av funktionen.

En meromorf funktion är inte nödvändigtvis en endomorfism, eftersom de komplexa punkterna vid dess poler inte är i dess domän, men kan vara inom dess område.

Egenskaper

Eftersom polerna i en meromorf funktion är isolerade finns det högst otaligt många. Uppsättningen av poler kan vara oändlig, vilket exemplifieras av funktionen

{\ displaystyle f (z) = \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}.}

Genom användning av analytisk fortsättning att eliminera borttagbara singulariteter , tillsättas meromorfa funktioner, subtraheras, multipliceras, och kvoten kan bildas om inte på en ansluten komponent av D . Således, om D är ansluten, bildar de meromorfa funktionerna ett fält , i själva verket en fältförlängning av de komplexa talen . ${\ displaystyle f/g}$ ${\ displaystyle g (z) = 0}$

Högre dimensioner

I flera komplexa variabler definieras en meromorf funktion som lokalt en kvot av två holomorfa funktioner. Till exempel är en meromorf funktion på det tvådimensionella komplexa affinrummet. Här är det inte längre sant att varje meromorf funktion kan betraktas som en holomorf funktion med värden i Riemann -sfären : Det finns en uppsättning "obestämbarhet" av kodimension två (i det givna exemplet består denna uppsättning av ursprunget ). ${\ displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}) = z_ {1}/z_ {2}}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

Till skillnad från i dimension ett finns det i högre dimensioner kompakta komplexa grenrör på vilka det inte finns några icke-konstanta meromorfa funktioner, till exempel de mest komplexa tori .

Exempel

Alla rationella funktioner , till exempel ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z^{3} -2z+10} {z^{5}+3z-1}},}$ är meromorfa på hela det komplexa planet.
Funktionerna ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {e^{z}} {z}} \ quad {\ text {och}} \ quad f (z) = {\ frac {\ sin {z}} {( z-1)^{2}}}}$ såväl som gammafunktionen och Riemann zeta -funktionen är meromorfa på hela det komplexa planet.
Funktionen ${\ displaystyle f (z) = e^{\ frac {1} {z}}}$ definieras i hela det komplexa planet förutom ursprunget, 0. 0 är dock inte en pol för denna funktion, snarare en väsentlig singularitet . Denna funktion är således inte meromorf i hela det komplexa planet. Det är dock meromorft (även holomorft) på . ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
Den komplexa logaritmen funktion ${\ displaystyle f (z) = \ ln (z)}$ är inte meromorf på hela det komplexa planet, eftersom det inte kan definieras på hela det komplexa planet medan det endast exkluderar en uppsättning isolerade punkter.
Funktionen ${\ displaystyle f (z) = \ csc {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {\ sin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right)}}}}$ är inte meromorf i hela planet, eftersom punkten är en ackumuleringspunkt för poler och därmed inte är en isolerad singularitet. ${\ displaystyle z = 0}$
Funktionen ${\ displaystyle f (z) = \ sin {\ frac {1} {z}}}$ är inte heller meromorf, eftersom den har en väsentlig singularitet vid 0.

På Riemanns ytor

På en Riemann -yta medger varje punkt ett öppet grannskap som är biholomorft till en öppen delmängd av det komplexa planet. Därigenom kan begreppet en meromorf funktion definieras för varje Riemann -yta.

När D är hela Riemann -sfären är fältet för meromorfa funktioner helt enkelt fältet för rationella funktioner i en variabel över det komplexa fältet, eftersom man kan bevisa att vilken meromorf funktion som helst på sfären är rationell. (Detta är ett specialfall av den så kallade GAGA- principen.)

För varje Riemann -yta är en meromorf funktion densamma som en holomorf funktion som kartlägger till Riemann -sfären och som inte är konstant ∞. Polerna motsvarar de komplexa talen som mappas till ∞.

På en icke-kompakt Riemann-yta kan varje meromorf funktion förverkligas som en kvot av två (globalt definierade) holomorfa funktioner. Däremot är varje holomorf funktion på en kompakt Riemann-yta konstant, medan det alltid finns icke-konstanta meromorfa funktioner.

Languages

In other projects