Meromorfinen funktio - Meromorphic function

Matemaattinen alalla monimutkainen analyysi , joka on meromorphic funktio koskevasta avoin osajoukko D on kompleksitasossa on funktio , joka on holomorphic kaikilla D lukuun ottamatta joukolle eristetty pistettä , jotka ovat navat funktion. Termi tulee antiikin kreikan merosta ( μέρος ), joka tarkoittaa "osaa".

Jokainen meromorfifunktio D: llä voidaan ilmaista kahden holomorfisen funktion (jossa nimittäjä ei ole vakio 0) välisellä suhteella, joka on määritelty D : millä tahansa napalla on oltava sama nimittäjän nolla.

Gamma-toiminto on meromorphic koko kompleksitasossa.

Heuristinen kuvaus

Intuitiivisesti meromorfinen funktio on kahden hyvin käyttäytyvän (holomorfisen) funktion suhde. Tällainen funktio toimii edelleen hyvin, paitsi mahdollisesti kohdissa, joissa murtoluvun nimittäjä on nolla. Jos nimittäjässä on nolla z: ssä ja osoittaja ei, funktion arvo lähestyy ääretöntä; jos molemmilla osilla on nolla z: ssä , näiden nollien monikertaa on verrattava .

Kohteesta algebrallinen kannalta, jos funktion domeeni on kytketty , sitten joukko meromorfinen funktio on alalla fraktioiden n kokonaisalue on joukko holomorphic toimintoja. Tämä on analoginen järkevien lukujen ja kokonaislukujen väliselle suhteelle .

Aikaisempi, vaihtoehtoinen käyttö

Sekä oppiala, jossa termiä käytetään, että termin tarkka merkitys muuttuivat 1900 -luvulla. 1930-luvulla, on ryhmä teoria , joka on meromorphic funktio (tai meromorph ) oli funktio ryhmästä G itseensä että säilynyt tuotteen ryhmä. Kuva tämä toiminto on nimeltään automorphism on G . Samoin homomorfinen funktio (tai homomorf ) oli tuote säilöneiden ryhmien välinen toiminto, kun taas homomorfismi oli kuva homomorfista. Tämä termin muoto on nyt vanhentunut, ja siihen liittyvää termiä meromorfia ei enää käytetä ryhmäteoriassa. Termiä endomorfismi käytetään nyt itse funktiossa, eikä funktion kuvalle ole annettu erityistä nimeä.

Meromorfinen funktio ei välttämättä ole endomorfismi, koska sen napojen monimutkaiset pisteet eivät ole sen alueella, mutta voivat olla sen alueella.

Ominaisuudet

Koska meromorfisen funktion navat ovat eristettyjä, niitä on korkeintaan laskettavissa . Napojen joukko voi olla ääretön, kuten toiminto osoittaa

{\ displaystyle f (z) = \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}.}

Käyttämällä analyyttisen jatkaminen poistaa irrotettava erikoisen , meromorphic toimintoja voidaan lisätä, vähentää, kertoa, ja osamäärä voidaan muodostaa, jos on kytketty komponentti on D . Näin ollen, jos D on kytketty, meromorphic toiminnot muodostavat kenttä , itse asiassa kuntalaajennus on kompleksilukuja . ${\ displaystyle f/g}$ ${\ displaystyle g (z) = 0}$

Korkeammat mitat

On useita monimutkaisia muuttujia , eli meromorphic funktio määritellään olevan paikallisesti osamäärä kaksi holomorphic toimintoja. Esimerkiksi on meromorfinen funktio kaksiulotteisessa monimutkaisessa affiinisessa avaruudessa. Tässä ei ole enää totta, että jokaista meromorfista funktiota voidaan pitää holomorfisena funktiona, jolla on arvot Riemannin alalla : On olemassa joukko "määrittelemättömyyttä" kodimensio kaksi (tässä esimerkissä tämä joukko koostuu alkuperästä ). ${\ displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}) = z_ {1}/z_ {2}}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

Toisin kuin ulottuvuudessa yksi, korkeammissa ulottuvuuksissa on kompakteja monimutkaisia jakotukkeja , joilla ei ole vakioita meromorfisia funktioita, esimerkiksi monimutkaisin tori .

Esimerkkejä

Kaikki järkevät toiminnot , esimerkiksi ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z^{3} -2z+10} {z^{5}+3z-1}},}$ ovat meromorfisia koko kompleksitasolla.
Toiminnot ${\ displaystyle f (z) = {\ frac {e^{z}} {z}} \ quad {\ text {ja}} \ quad f (z) = {\ frac {\ sin {z}} {( z-1)^{2}}}}$ sekä gammafunktio ja Riemannin zeta -funktio ovat meromorfisia koko kompleksitasolla.
Toiminto ${\ displaystyle f (z) = e^{\ frac {1} {z}}}$ on määritelty koko kompleksitasossa alkuperää lukuun ottamatta. 0 ei kuitenkaan ole tämän funktion napa, vaan olennainen singulaarisuus . Näin ollen tämä funktio ei ole meromorfinen koko kompleksitasossa. Se on kuitenkin meromorfinen (jopa holomorfinen) päällä . ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
Monimutkainen logaritmi toiminto ${\ displaystyle f (z) = \ ln (z)}$ ei ole meromorfinen koko kompleksitasolla, koska sitä ei voida määritellä koko kompleksitasolla, mutta se sulkee pois vain joukon eristettyjä pisteitä.
Toiminto ${\ displaystyle f (z) = \ csc {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {\ sin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right)}}}$ ei ole meromorfinen koko tasossa, koska piste on napojen kertymispiste eikä siten ole eristetty singulaarisuus. ${\ displaystyle z = 0}$
Toiminto ${\ displaystyle f (z) = \ sin {\ frac {1} {z}}}$ ei myöskään ole meromorfinen, koska sen olennainen singulaarisuus on 0.

Riemannin pinnoille

On Riemannin pinta , jokainen piste myöntää avoimessa naapurustossa, joka on biholomorphic avoimelle osajoukko kompleksitasossa. Siten meromorfisen funktion käsite voidaan määritellä jokaiselle Riemannin pinnalle.

Kun D on koko Riemannin pallo , meromorfifunktioiden kenttä on yksinkertaisesti rationaalifunktioiden kenttä yhdessä muuttujassa monimutkaisen kentän päällä, koska voidaan todistaa, että mikä tahansa pallon meromorfinen funktio on järkevä. (Tämä on erityistapaus niin sanotusta GAGA- periaatteesta.)

Jokaisella Riemannin pinnalla meromorfifunktio on sama kuin holomorfinen funktio, joka kartoitetaan Riemannin palloon ja joka ei ole vakio ∞. Napat vastaavat kompleksilukuja, jotka on yhdistetty arvoon ∞.

Ei-kompaktilla Riemannin pinnalla jokainen meromorfinen funktio voidaan toteuttaa kahden (globaalisti määritellyn) holomorfisen funktion osana. Sitä vastoin kompaktilla Riemannin pinnalla jokainen holomorfinen funktio on vakio, kun taas aina on olemassa ei-vakioita meromorfisia funktioita.

Languages

In other projects