Obestämd form - Indeterminate form

I kalkyl och andra grenar av matematisk analys kan gränser som innefattar en algebraisk kombination av funktioner i en oberoende variabel ofta utvärderas genom att ersätta dessa funktioner med sina gränser ; om uttrycket som erhållits efter denna substitution inte ger tillräcklig information för att bestämma den ursprungliga gränsen, kallas uttrycket för en obestämd form . Närmare bestämt är en obestämd form ett matematiskt uttryck som omfattar högst två av , eller erhållna genom att tillämpa algebraisk gränssats i processen att försöka bestämma en gräns, som inte begränsar denna gräns till ett specifikt värde eller oändlighet, och därmed fastställer inte den gräns som eftersträvas. En gräns som bekräftas vara oändlig är inte obestämbar eftersom den har fastställts att ha ett specifikt värde (oändlighet). Termen introducerades ursprungligen av Cauchys student Moigno i mitten av 1800 -talet. ${\displaystyle 0~}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \infty }$

Det finns sju obestämda former som vanligtvis beaktas i litteraturen:

${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ and }}\infty ^{0}.}$

Det vanligaste exemplet på en obestämd form sker när man bestämmer gränsen för förhållandet mellan två funktioner, där båda dessa funktioner tenderar att nollas i gränsen, och kallas "den obestämda formen ". Till exempel, såsom tillvägagångssätt , förhållandena , och gå till , och respektive. I varje fall, om täljarens och nämnarens gränser ersätts, är det resulterande uttrycket , vilket är odefinierat. I en lös sätt att tala, kan ta på värdena , eller , och det är lätt att konstruera liknande exempel för vilken gränsen är något särskilt värde. ${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle x/x^{3}}$${\displaystyle x/x}$${\displaystyle x^{2}/x}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \infty }$

Så med tanke på att två funktioner och båda närmar sig som närmar sig en viss gräns punkt , betyder det faktum i sig inte ge tillräckligt med information för att utvärdera gräns${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

Inte varje odefinierat algebraiskt uttryck motsvarar en obestämd form. Exempelvis är uttrycket odefinierat som ett reellt tal men motsvarar inte en obestämd form; varje definierad gräns som ger upphov till denna form kommer att avvika till oändlighet. ${\displaystyle 1/0}$

Ett uttryck som uppstår på andra sätt än att tillämpa den algebraiska gränssatsen kan ha samma form som en obestämd form. Det är emellertid inte lämpligt att kalla ett uttryck "obestämd form" om uttrycket görs utanför sammanhanget för att bestämma gränser. Till exempel, som uppstår från att ersätta för i ekvationen är inte en obestämd form sedan detta uttryck inte görs vid bestämning av en gräns (det är i själva verket odefinierat som division med noll ). Ett annat exempel är uttrycket . Om detta uttryck lämnas odefinierat eller definierat som lika beror på tillämpningsområdet och kan variera mellan författare. Mer information finns i artikeln Zero to the power of zero . Observera att och andra uttryck som involverar oändlighet inte är obestämda former . ${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=|x|/(|x-1|-1)}$${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0^{\infty }}$

Några exempel och icke-exempel

Obestämd form 0/0

• 

  Fig. 1: y =x/x

• 

  Fig. 2: y =x ²/x

• 

  Fig. 3: y =synd  x/x

• 

  Fig. 4: y =x - 49/√ x - 7(för x = 49)

• 

  Fig. 5: y =a x/xdär a = 2

• 

  Fig. 6: y =x/x ³

Den obestämda formen är särskilt vanlig i kalkyl , eftersom den ofta uppstår vid utvärdering av derivat med hjälp av deras definition när det gäller gräns. ${\displaystyle 0/0}$

Som nämnts ovan,

medan

Detta är tillräckligt för att visa att det är en obestämd form. Andra exempel med denna obestämda form inkluderar ${\displaystyle 0/0}$

och

Direkt substitution av antalet som närmar sig något av dessa uttryck visar att dessa är exempel motsvarar den obestämda formen , men dessa gränser kan anta många olika värden. Vilket önskat värde som helst kan erhållas för denna obestämda form enligt följande: ${\displaystyle x}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle a}$

Värdet kan också erhållas (i betydelsen av avvikelse till oändlighet): ${\displaystyle \infty }$

Obestämd form 0 ⁰

• 

  Bild 7: y = x ⁰

• 

  Fig. 8: y = 0 ^x

Följande gränser illustrerar att uttrycket är en obestämd form: ${\displaystyle 0^{0}}$

Således, i allmänhet, att veta det och är inte tillräckligt för att utvärdera gränsen ${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!}$${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0}$

Om funktionerna och är analytiska vid , och är positiva för tillräckligt nära (men inte lika med) , då kommer gränsen för att vara . Använd annars transformationen i tabellen nedan för att utvärdera gränsen. ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(x)^{g(x)}}$${\displaystyle 1}$

Uttryck som inte är obestämda former

Uttrycket anses inte allmänt som en obestämd form, för om gränsen för existerar finns det ingen oklarhet om dess värde, eftersom det alltid skiljer sig åt. Närmare bestämt, om närmar sig och närmar sig , då och kan väljas så att: ${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle f/g}$ tillvägagångssätt ${\displaystyle +\infty }$
2. ${\displaystyle f/g}$ tillvägagångssätt ${\displaystyle -\infty }$
3. Gränsen finns inte.

I varje fall närmar sig det absoluta värdet , och därför måste kvoten divergera i betydelsen av de utökade reella talen (inom ramen för den projektivt utökade reella linjen är gränsen den osignerade oändligheten i alla tre fallen). På samma sätt är varje uttryck av formen med (inklusive och ) inte en obestämd form, eftersom en kvot som ger upphov till ett sådant uttryck alltid kommer att avvika. ${\displaystyle |f/g|}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle a/0}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle a=+\infty }$${\displaystyle a=-\infty }$

Uttrycket är inte en obestämd form. Uttrycket erhölls från väger ger gränsen , förutsatt att rester nonnegative som ansatser . Uttrycket motsvarar på liknande sätt ; om när närmar sig , kommer gränsen ut som . ${\displaystyle 0^{\infty }}$${\displaystyle 0^{+\infty }}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}}$${\displaystyle 0~}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 0^{-\infty }}$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle f(x)>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle +\infty }$

För att se varför, låt var och Genom att ta den naturliga logaritmen från båda sidor och använda får vi det som betyder det${\displaystyle L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=0,}$${\displaystyle \lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .}$${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,}$${\displaystyle \ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,}$${\displaystyle L={e}^{-\infty }=0.}$

Utvärdering av obestämda former

Adjektivet obestämd innebär inte att gränsen inte existerar, vilket många av exemplen ovan visar. I många fall kan algebraisk eliminering, L'Hôpitals regel eller andra metoder användas för att manipulera uttrycket så att gränsen kan utvärderas.

Ekvivalent oändlig

När två variabler och konvergerar till noll vid samma gränspunkt och kallas de ekvivalent infinitesimal (ekv. ). ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1}$${\displaystyle \alpha \sim \beta }$

Dessutom, om variabler och är sådana att och , då: ${\displaystyle \alpha '}$${\displaystyle \beta '}$${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

Här är ett kort bevis:

Antag att det finns två likvärdiga oändliga siffror och . ${\displaystyle \alpha \sim \alpha '}$${\displaystyle \beta \sim \beta '}$

${\displaystyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=\lim {\frac {\beta \beta '\alpha '}{\beta '\alpha '\alpha }}=\lim {\frac {\beta }{\beta '}}\lim {\frac {\alpha '}{\alpha }}\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}=\lim {\frac {\beta '}{\alpha '}}}$

För utvärdering av den obestämda formen kan man använda följande fakta om ekvivalenta oändliga siffror (t.ex. om x blir närmare noll): ${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle x\sim \sin x}$

Till exempel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}}$

I 2: ^a jämlikhet, där när y blir närmare 0 används, och där används i 4: ^e jämlikhet, och används i 5: ^e jämlikhet. ${\displaystyle e^{y}-1\sim y}$${\displaystyle y=x\ln {2+\cos x \over 3}}$${\displaystyle y\sim \ln {(1+y)}}$${\displaystyle y={{\cos x-1} \over 3}}$${\displaystyle 1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}}$

L'Hotels regel

L'Hôpital regel är en allmän metod för att utvärdera de obestämda formerna och . Denna regel säger att (under lämpliga förhållanden) ${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$

var och är derivaten av och . (Observera att denna regel inte gäller uttryck , och så vidare, eftersom dessa uttryck inte är obestämda former.) Dessa derivat gör att man kan utföra algebraisk förenkling och så småningom utvärdera gränsen. ${\displaystyle f'}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \infty /0}$${\displaystyle 1/0}$

L'Hôpitals regel kan också tillämpas på andra obestämda former med först en lämplig algebraisk transformation. Till exempel för att utvärdera formuläret 0 ⁰ :

Den högra sidan har formen , så L'Hôpital regel gäller för den. Observera att denna ekvation är giltig (så länge som höger sida är definierad) eftersom den naturliga logaritmen (ln) är en kontinuerlig funktion ; det är irrelevant hur välskött och kanske (eller kanske inte) är så länge som det är asymptotiskt positivt. (logaritmernas domän är uppsättningen av alla positiva reella tal.) ${\displaystyle \infty /\infty }$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$

Även om L'Hôpitals regel gäller för båda och kan en av dessa former vara mer användbar än den andra i ett visst fall (på grund av möjligheten till algebraisk förenkling efteråt). Man kan byta mellan dessa former, om det behövs, genom att omvandla till . ${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$${\displaystyle f/g}$${\displaystyle (1/g)/(1/f)}$

Lista över obestämda former

Följande tabell listar de vanligaste obestämda formerna och transformationerna för att tillämpa l'Hotels regel.

Obestämd form	Betingelser	Transformation till ${\displaystyle 0/0}$	Transformation till ${\displaystyle \infty /\infty }$
0/0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	-	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty }$/${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	-
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

Se även

• Definierad och odefinierad
• Dividera med noll
• Utökad reell talrad
• Obestämd ekvation
• Obestämt system
• Obestämd (variabel)
• L'Hotels regel

Referenser