Allmän hypergeometrisk funktion - Generalized hypergeometric function

I matematik är en generaliserad hypergeometrisk serie en kraftserie där förhållandet mellan på varandra följande koefficienter indexerade av n är en rationell funktion av n . Serien, om den är konvergent, definierar en generaliserad hypergeometrisk funktion , som sedan kan definieras över en bredare domän av argumentet genom analytisk fortsättning . Den generaliserade hypergeometriska serien kallas ibland bara den hypergeometriska serien, även om den här termen ibland bara hänvisar till den Gaussiska hypergeometriska serien . Allmänna hypergeometriska funktioner inkluderar den (Gaussiska) hypergeometriska funktionen och den sammanflytande hypergeometriska funktionen som specialfall, som i sin tur har många speciella specialfunktioner som specialfall, såsom elementära funktioner , Bessel-funktioner och de klassiska ortogonala polynomerna .

Notation

En hypergeometrisk serie definieras formellt som en kraftserie

${\ displaystyle \ beta _ {0} + \ beta _ {1} z + \ beta _ {2} z ^ {2} + \ dots = \ sum _ {n \ geqslant 0} \ beta _ {n} z ^ { n}}$

där förhållandet mellan på varandra följande koefficienter är en rationell funktion av n . Det är,

${\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {A (n)} {B (n)}}}$

där A ( n ) och B ( n ) är polynom i n .

Till exempel, i fallet med serien för den exponentiella funktionen ,

${\ displaystyle 1 + {\ frac {z} {1!}} + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + \ cdots,}$

vi har:

${\ displaystyle \ beta _ {n} = {\ frac {1} {n!}}, \ qquad {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {1} {n + 1}}.}$

Så detta uppfyller definitionen med A ( n ) = 1 och B ( n ) = n + 1 .

Det är vanligt att räkna ut den ledande termen, så antas β ₀ vara 1. Polynomema kan tas med i linjära faktorer av formen ( a _j  +  n ) respektive ( b _k  +  n ), där a _j och b _k är komplexa tal .

Av historiska skäl antas det att (1 +  n ) är en faktor av B . Om detta inte redan är fallet kan både A och B multipliceras med denna faktor; faktorn avbryts så att villkoren är oförändrade och det förloras ingen allmänhet.

Förhållandet mellan på varandra följande koefficienter har nu formen

${\ displaystyle {\ frac {c (a_ {1} + n) \ cdots (a_ {p} + n)} {d (b_ {1} + n) \ cdots (b_ {q} + n) (1+ n)}}}$,

där c och d är de ledande koefficienterna A och B . Serien har sedan formen

${\ displaystyle 1 + {\ frac {a_ {1} \ cdots a_ {p}} {b_ {1} \ cdots b_ {q} \ cdot 1}} {\ frac {cz} {d}} + {\ frac {a_ {1} \ cdots a_ {p}} {b_ {1} \ cdots b_ {q} \ cdot 1}} {\ frac {(a_ {1} +1) \ cdots (a_ {p} +1) } {(b_ {1} +1) \ cdots (b_ {q} +1) \ cdot 2}} \ left ({\ frac {cz} {d}} \ right) ^ {2} + \ cdots}$,

eller, genom att skala z med lämplig faktor och omorganisera,

${\ displaystyle 1 + {\ frac {a_ {1} \ cdots a_ {p}} {b_ {1} \ cdots b_ {q}}} {\ frac {z} {1!}} + {\ frac {a_ {1} (a_ {1} +1) \ cdots a_ {p} (a_ {p} +1)} {b_ {1} (b_ {1} +1) \ cdots b_ {q} (b_ {q} +1)}} {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + \ Cdots}$.

Detta har formen av en exponentiell genereringsfunktion . Denna serie betecknas vanligtvis med

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z)}$

eller

${\ displaystyle \, {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1} & a_ {2} & \ cdots & a_ {p} \\ b_ {1} & b_ {2} & \ cdots & b_ {q} \ end {matrix}}; z \ right].}$

Använda den stigande faktoria- eller Pochhammer-symbolen

${\ displaystyle {\ begin {align} (a) _ {0} & = 1, \\ (a) _ {n} & = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a + n-1 ), && n \ geq 1 \ end {align}}}$

detta kan skrivas

${\ displaystyle \, {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {1}) _ {n} \ cdots (a_ {p}) _ {n}} {(b_ {1}) _ {n} \ cdots (b_ {q}) _ {n}}} \, {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}$

(Observera att denna användning av Pochhammer-symbolen inte är standard, men det är standardanvändningen i detta sammanhang.)

Terminologi

När alla termer i serien är definierade och den har en konvergensradie som inte är noll , definierar serien en analytisk funktion . En sådan funktion och dess analytiska fortsättningar kallas hypergeometrisk funktion .

Fallet när konvergensradien är 0 ger många intressanta serier i matematik, till exempel har den ofullständiga gammafunktionen den asymptotiska expansionen

${\ displaystyle \ Gamma (a, z) \ sim z ^ {a-1} e ^ {- z} \ left (1 + {\ frac {a-1} {z}} + {\ frac {(a- 1) (a-2)} {z ^ {2}}} + \ cdots \ höger)}$

som skulle kunna skrivas z ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a , 1 ;; - z ⁻¹ ). Användningen av termen hypergeometrisk serie är dock vanligtvis begränsad till det fall där serien definierar en faktisk analytisk funktion.

Den vanliga hypergeometriska serien bör inte förväxlas med den grundläggande hypergeometriska serien , som trots sitt namn är en ganska mer komplicerad och recondite serie. Den "grundläggande" serien är q-analogen till den vanliga hypergeometriska serien. Det finns flera sådana generaliseringar av de vanliga hypergeometriska serierna, inklusive de som kommer från zonfäriska funktioner på Riemanniska symmetriska utrymmen .

Serien utan faktorn n ! i nämnaren (summerat över alla heltal n , inklusive negativt) kallas den bilaterala hypergeometriska serien .

Konvergensvillkor

Det finns vissa värden på a _j och b _k för vilka täljaren eller nämnaren för koefficienterna är 0.

• Om någon en _j är ett icke-positivt heltal (0, -1, -2, etc.) då serien har endast ett ändligt antal termer och är i själva verket ett polynom av grad - en _j .
• Om någon b _k är ett icke-positivt heltal (med undantag det tidigare fallet med - b _k < a _j ) då nämn bli 0 och serien är odefinierad.

Med undantag för dessa fall kan förhållandestestet tillämpas för att bestämma konvergensradien.

• Om p < q + 1 tenderar koefficienterna att vara noll. Detta innebär att serien konvergerar för ett ändligt värde på z och därmed definierar en hel funktion av z . Ett exempel är effektserien för den exponentiella funktionen.
• Om p = q + 1 tenderar förhållandet mellan koefficienter att vara en. Detta innebär att serien konvergerar för | z | <1 och avviker för | z | > 1. Om det konvergerar för | z | = 1 är svårare att bestämma. Analytisk fortsättning kan användas för större värden på z .
• Om p > q + 1 växer förhållandet mellan koefficienter utan bunden. Detta innebär att  serien , förutom z = 0, skiljer sig åt. Detta är då en divergerande eller asymptotisk serie, eller den kan tolkas som en symbolisk stenografi för en differentiell ekvation som summan uppfyller formellt.

Frågan om konvergens för p = q +1 när z är på enhetscirkeln är svårare. Det kan visas att serien konvergerar absolut vid z = 1 if

${\ displaystyle \ Re \ left (\ sum b_ {k} - \ sum a_ {j} \ right)> 0}$.

Vidare, om p = q +1 och z är verklig, gäller följande konvergensresultat Quigley et al. (2013) : ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} \ geq \ sum _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}$

${\ displaystyle \ lim _ {z \ rightarrow 1} (1-z) {\ frac {d \ log (_ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1 }, \ ldots, b_ {q}; z ^ {p}))} {dz}} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} a_ {i} - \ sum _ {j = 1} ^ { q} b_ {j}}$.

Grundläggande egenskaper

Det är omedelbar från definitionen att ordningen av parametrarna ett _j , eller ordningen av parametrarna b _k kan ändras utan att ändra värdet av funktionen. Dessutom, om någon av parametrarna en _j är lika med någon av parametrarna b _k , då de matchande parametrar kan "upphävas", med vissa undantag, när parametrarna är icke-positiva heltal. Till exempel,

${\ displaystyle \, {} _ {2} F_ {1} (3,1; 1; z) = \, {} _ {2} F_ {1} (1,3; 1; z) = \, { } _ {1} F_ {0} (3 ;; z)}$.

Denna annullering är ett speciellt fall av en reduceringsformel som kan tillämpas när en parameter på den översta raden skiljer sig från en på den nedre raden med ett icke-negativt heltal.

${\ displaystyle {} _ {A + 1} F_ {B + 1} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ ldots, a_ {A}, c + n \\ b_ {1 }, \ ldots, b_ {B}, c \ end {array}}; z \ right] = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ binom {n} {j}} {\ frac {1 } {(c) _ {j}}} {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {A} (a_ {i}) _ {j}} {\ prod _ {i = 1} ^ {B } (b_ {i}) _ {j}}} {} _ {A} F_ {B} \ vänster [{\ begin {array} {c} a_ {1} + j, \ ldots, a_ {A} + j \\ b_ {1} + j, \ ldots, b_ {B} + j \ end {array}}; z \ right]}$

Eulers integrerade omvandling

Följande grundläggande identitet är mycket användbar eftersom den relaterar de högre ordningens hypergeometriska funktioner när det gäller integraler över de lägre ordningens

${\ displaystyle {} _ {A + 1} F_ {B + 1} \ vänster [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ ldots, a_ {A}, c \\ b_ {1}, \ ldots, b_ {B}, d ​​\ end {array}}; z \ right] = {\ frac {\ Gamma (d)} {\ Gamma (c) \ Gamma (dc)}} \ int _ {0} ^ {1} t ^ {c-1} (1-t) _ {} ^ {dc-1} \ {} _ {A} F_ {B} \ vänster [{\ begin {array} {c} a_ { 1}, \ ldots, a_ {A} \\ b_ {1}, \ ldots, b_ {B} \ end {array}}; tz \ right] dt}$

Differentiering

Den generaliserade hypergeometriska funktionen uppfyller

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {j} \ right) {} _ {p} F_ { q} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ dots, a_ {j}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] & = a_ {j} \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ dots, a_ {j } +1, \ prickar, a_ {p} \\ b_ {1}, \ prickar, b_ {q} \ slut {array}}; z \ höger] \\\ slut {justerad}}}$

och

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + b_ {k} -1 \ höger) {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {k}, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] & = (b_ {k} -1) \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {array} {c} a_ {1}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {k} -1, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] {\ text {for}} b_ {k} \ neq 1 \ end {align}}}$

Dessutom,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \; {} _ {p} F_ {q} \ left [{\ begin {array } {c} a_ {1}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {q} \ end {array}}; z \ right] & = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {p} a_ {i}} {\ prod _ {j = 1} ^ {q} b_ {j}}} \; {} _ {p} F_ {q} \ vänster [{\ börja {array} {c} a_ {1} +1, \ dots, a_ {p} +1 \\ b_ {1} +1, \ dots, b_ {q} +1 \ end {array}}; z \ höger] \ end {align}}}$

Att kombinera dessa ger en differentiell ekvation nöjd med w = _p F _q :

${\ displaystyle z \ prod _ {n = 1} ^ {p} \ left (z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} + a_ {n} \ right) w = z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}} \ prod _ {n = 1} ^ {q} \ left (z {\ frac {\ rm {d}} { {\ rm {d}} z}} + b_ {n} -1 \ höger) w}$.

Anslutande funktion och relaterade identiteter

Ta följande operatör:

${\ displaystyle \ vartheta = z {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} z}}.}$

Från de ovan angivna differentieringsformlerna spänner det linjära utrymmet av

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z), \ vartheta \; {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z)}$

innehåller var och en av

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {j} +1, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z),}$

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {k} -1, \ dots, b_ {q}; z),}$

${\ displaystyle z \; {} _ {p} F_ {q} (a_ {1} +1, \ dots, a_ {p} +1; b_ {1} +1, \ dots, b_ {q} +1 ; z),}$

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z).}$

Eftersom utrymmet har dimension 2 är tre av dessa p + q +2-funktioner linjärt beroende. Dessa beroenden kan skrivas ut för att generera ett stort antal identiteter som involverar . ${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q}}$

Till exempel, i det enklaste icke-triviala fallet,

${\ displaystyle \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = (1) \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$,

${\ displaystyle \; {} _ {0} F_ {1} (; a-1; z) = ({\ frac {\ vartheta} {a-1}} + 1) \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$,

${\ displaystyle z \; {} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z) = (a \ vartheta) \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$,

Så

${\ displaystyle \; {} _ {0} F_ {1} (; a-1; z) - \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z) = {\ frac {z} { a (a-1)}} \; {} _ {0} F_ {1} (; a + 1; z)}$.

Detta och andra viktiga exempel,

${\ displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) - \, {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {z } {b}} \; {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$,

${\ displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) = {\ frac {az } {b (b-1)}} \; {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$,

${\ displaystyle \; {} _ {1} F_ {1} (a; b-1; z) - \, {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b; z) = {\ frac {(a-b + 1) z} {b (b-1)}} \; {} _ {1} F_ {1} (a + 1; b + 1; z)}$

${\ displaystyle \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) - \, {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = { \ frac {bz} {c}} \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z)}$,

${\ displaystyle \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) - \, {} _ {2} F_ {1} (a, b + 1; c; z) = {\ frac {(ba) z} {c}} \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z)}$,

${\ displaystyle \; {} _ {2} F_ {1} (a, b; c-1; z) - \, {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b; c; z) = {\ frac {(a-c + 1) bz} {c (c-1)}} \; {} _ {2} F_ {1} (a + 1, b + 1; c + 1; z) }$,

kan användas för att generera fortsatt fraktionsuttryck som kallas Gauss fortsatta fraktion .

På samma sätt, genom att tillämpa differentieringsformlerna två gånger, finns det sådana funktioner i ${\ displaystyle {\ binom {p + q + 3} {2}}}$

${\ displaystyle \ {1, \ vartheta, \ vartheta ^ {2} \} \; {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ prickar, b_ {q}; z),}$

som har dimension tre så att alla fyra är linjärt beroende. Detta genererar fler identiteter och processen kan fortsätta. De sålunda genererade identiteterna kan kombineras med varandra för att producera nya på ett annat sätt.

En funktion erhållen genom att lägga till ± 1 till exakt en av parametrarna a _j , b _k in

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z)}$

kallas angränsande till

${\ displaystyle {} _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ dots, a_ {p}; b_ {1}, \ dots, b_ {q}; z).}$

Med den teknik som beskrivs ovan kan en identitetsrelaterad och dess två angränsande funktioner ges, sex identiteter relaterade och två av dess fyra angränsande funktioner, och femton identitetsrelaterade och två av dess sex angränsande funktioner har hittats. (Den första härleddes i föregående stycke. De sista femton gav Gauss i sitt 1812-papper.) ${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$

Identiteter

Ett antal andra hypergeometriska funktionsidentiteter upptäcktes under 1800- och 1900-talet. Ett bidrag från 1900-talet till metoden för att bevisa dessa identiteter är Egorychev-metoden .

Saalschütz sats

Saalschütz sats ( Saalschütz 1890 ) är

${\ displaystyle {} _ {3} F_ {2} (a, b, -n; c, 1 + a + bcn; 1) = {\ frac {(ca) _ {n} (cb) _ {n} } {(c) _ {n} (hytt) _ {n}}}.}$

För en utvidgning av denna teorem, se ett forskningspapper av Rakha & Rathie.

Dixons identitet

Dixons identitet, först bevisad av Dixon (1902) , ger summan av en välberedd ₃ F ₂ vid 1:

${\ displaystyle {} _ {3} F_ {2} (a, b, c; 1 + ab, 1 + ac; 1) = {\ frac {\ Gamma (1 + {\ frac {a} {2}} ) \ Gamma (1 + {\ frac {a} {2}} - bc) \ Gamma (1 + ab) \ Gamma (1 + ac)} {\ Gamma (1 + a) \ Gamma (1 + abc) \ Gamma (1 + {\ frac {a} {2}} - b) \ Gamma (1 + {\ frac {a} {2}} - c)}}.}$

För generalisering av Dixons identitet, se en uppsats av Lavoie et al.

Dougalls formel

Dougalls formel ( Dougall  1907 ) ger summan av en mycket välskött serie som är avslutande och 2-balanserad.

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {7} F_ {6} & \ left ({\ begin {matrix} a & 1 + {\ frac {a} {2}} & b & c & d & e & -m \\ & {\ frac { a} {2}} & 1 + ab & 1 + ac & 1 + ad & 1 + ae & 1 + a + m \\\ end {matrix}}; 1 \ right) = \\ & = {\ frac {(1 + a) _ {m} (1 + abc) _ {m} (1 + acd) _ {m} (1 + abd) _ {m}} {(1 + ab) _ {m} (1 + ac) _ {m} (1+ annons) _ {m} (1 + abcd) _ {m}}}. \ slut {justerad}}}$

Att avsluta betyder att m är ett icke-negativt heltal och 2-balanserat betyder att

${\ displaystyle 1 + 2a = b + c + d + em.}$

Många av de andra formlerna för specialvärden för hypergeometriska funktioner kan härledas från detta som speciella eller begränsande fall.

Generalisering av Kummers transformationer och identiteter för ₂ F ₂

Identitet 1.

${\ displaystyle e ^ {- x} \; {} _ {2} F_ {2} (a, 1 + d; c, d; x) = {} _ {2} F_ {2} (ca-1, f + 1; c, f; -x)}$

var

${\ displaystyle f = {\ frac {d (a-c + 1)} {ad}}}$;

Identitet 2.

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x} {2}}} \, {} _ {2} F_ {2} \ left (a, 1 + b; 2a + 1, b; x \ right) = {} _ {0} F_ {1} \ left (; a + {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {x ^ {2}} {16}} \ right) - {\ frac {x \ vänster (1 - {\ tfrac {2a} {b}} \ höger)} {2 (2a + 1)}} \; {} _ {0} F_ {1} \ vänster (; a + {\ tfrac {3} {2}}; {\ tfrac {x ^ {2}} {16}} \ höger),}$

vilka länkar Bessel-funktioner till _två F ₂ ; detta minskar till Kummers andra formel för b = 2 a :

Identitet 3.

${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {x} {2}}} \, {} _ {1} F_ {1} (a, 2a, x) = {} _ {0} F_ {1} \ left (; a + {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {x ^ {2}} {16}} \ höger)}$.

Identitet 4.

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {2} F_ {2} (a, b; c, d; x) = & \ sum _ {i = 0} {\ frac {{bd \ välj i} {a + i-1 \ välj i}} {{c + i-1 \ välj i} {d + i-1 \ välj i}}} \; {} _ {1} F_ {1} (a + i ; c + i; x) {\ frac {x ^ {i}} {i!}} \\ = & e ^ {x} \ sum _ {i = 0} {\ frac {{bd \ välj i} {a + i-1 \ välj i}} {{c + i-1 \ välj i} {d + i-1 \ välj i}}} \; {} _ {1} F_ {1} (ca; c + i ; -x) {\ frac {x ^ {i}} {i!}}, \ slut {justerad}}}$

vilket är en begränsad summa om bd är ett icke-negativt heltal.

Kummer's relation

Kummers relation är

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ left (2a, 2b; a + b + {\ tfrac {1} {2}}; x \ right) = {} _ {2} F_ {1} \ vänster (a, b; a + b + {\ tfrac {1} {2}}; 4x (1-x) \ höger).}$

Clausens formel

Clausens formel

${\ displaystyle {} _ {3} F_ {2} (2c-2s-1,2s, c - {\ tfrac {1} {2}}; 2c-1, c; x) = \, {} _ { 2} F_ {1} (cs - {\ tfrac {1} {2}}, s; c; x) ^ {2}}$

användes av de Branges för att bevisa Bieberbach-antagandet .

Speciella fall

Många av specialfunktionerna i matematik är specialfall av den sammanflytande hypergeometriska funktionen eller den hypergeometriska funktionen ; se motsvarande artiklar för exempel.

Serien ₀ F ₀

Som nämnts tidigare, . Differentialekvationen för denna funktion är , som har lösningar där k är en konstant. ${\ displaystyle {} _ {0} F_ {0} (;; z) = e ^ {z}}$${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} w = w}$${\ displaystyle w = ke ^ {z}}$

Serien ₁ F ₀

Ett viktigt fall är:

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {0} (a ;; z) = (1-z) ^ {- a}.}$

Differentialekvationen för denna funktion är

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} w = \ left (z {\ frac {d} {dz}} + a \ right) w,}$

eller

${\ displaystyle (1-z) {\ frac {dw} {dz}} = aw,}$

som har lösningar

${\ displaystyle w = k (1-z) ^ {- a}}$

där k är en konstant.

${\ displaystyle {} _ {1} F_ {0} (1 ;; z) = \ sum _ {n \ geqslant 0} z ^ {n} = (1-z) ^ {- 1}}$är den geometriska serien med förhållande z och koefficient 1.

${\ displaystyle z ~ {} _ {1} F_ {0} (2 ;; z) = \ sum _ {n \ geqslant 0} nz ^ {n} = z (1-z) ^ {- 2}}$ är också användbart.

Serien ₀ F ₁

Ett speciellt fall är:

${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} \ left (; {\ frac {1} {2}}; - {\ frac {z ^ {2}} {4}} \ right) = \ cos z }$

Exempel

Vi kan få detta resultat med hjälp av formeln med stigande faktoria, enligt följande:

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {0} F_ {1} \ left (; {\ tfrac {1} {2}}; - {\ tfrac {z ^ {2}} {4}} \ höger) & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {({\ tfrac {1} {2}}) _ {k}}} \, {\ frac {(- {\ frac {z ^ {2}} {4}}) ^ {k}} {k!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ prod _ { j = 1} ^ {k} ({\ tfrac {1} {2}} + j-1)}} \, {\ frac {(- {\ frac {z ^ {2}} {4}}) ^ {k}} {k!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {k! 4 ^ {k} \ prod _ {j = 1} ^ {k} (j - {\ tfrac {1} {2}})}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {k} z ^ {2k}} {k! 2 ^ {k} 2 ^ {k} \ prod _ {j = 1} ^ {k} ({\ tfrac {2j-1} {2}} )}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {k! 2 ^ {k} 2 ^ {k} {\ tfrac {\ prod _ {j = 1} ^ {k} (2j-1)} {2 ^ {k}}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- 1) ^ {k} z ^ {2k}} {k! 2 ^ {k} \ prod _ {j = 1} ^ {k} (2j-1)}} \\ & = \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {\ prod _ {j = 1} ^ {k} (2j) \ prod _ {j = 1} ^ { k} (2j-1)}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} z ^ {2k}} {(2k)!}} = \ cos z \ end {align}}}$

Formulärets funktioner kallas sammanflytande hypergeometriska gränsfunktioner och är nära besläktade med Bessel-funktioner . ${\ displaystyle {} _ {0} F_ {1} (; a; z)}$

Förhållandet är:

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {({\ tfrac {x} {2}}) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} {} _ {0 } F_ {1} \ left (; \ alpha +1; - {\ tfrac {1} {4}} x ^ {2} \ right).}$

${\ displaystyle I _ {\ alpha} (x) = {\ frac {({\ tfrac {x} {2}}) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} {} _ {0 } F_ {1} \ left (; \ alpha +1; {\ tfrac {1} {4}} x ^ {2} \ right).}$

Differentialekvationen för denna funktion är

${\ displaystyle w = \ left (z {\ frac {d} {dz}} + a \ right) {\ frac {dw} {dz}}}$

eller

${\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + a {\ frac {dw} {dz}} - w = 0.}$

När a inte är ett positivt heltal, är ersättningen

${\ displaystyle w = z ^ {1-a} u,}$

ger en linjärt oberoende lösning

${\ displaystyle z ^ {1-a} \; {} _ {0} F_ {1} (; 2-a; z),}$

så den allmänna lösningen är

${\ displaystyle k \; {} _ {0} F_ {1} (; a; z) + lz ^ {1-a} \; {} _ {0} F_ {1} (; 2-a; z) }$

där k , l är konstanter. (Om a är ett positivt heltal ges den oberoende lösningen med lämplig Bessel-funktion av den andra typen.)

Serien ₁ F ₁

Formens funktioner kallas sammanflytande hypergeometriska funktioner av den första typen , även skrivna . Den ofullständiga gammafunktionen är ett speciellt fall. ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}$${\ displaystyle M (a; b; z)}$${\ displaystyle \ gamma (a, z)}$

Differentialekvationen för denna funktion är

${\ displaystyle \ left (z {\ frac {d} {dz}} + a \ right) w = \ left (z {\ frac {d} {dz}} + b \ right) {\ frac {dw} { dz}}}$

eller

${\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + (bz) {\ frac {dw} {dz}} - aw = 0.}$

När b inte är ett positivt heltal är substitutionen

${\ displaystyle w = z ^ {1-b} u,}$

ger en linjärt oberoende lösning

${\ displaystyle z ^ {1-b} \; {} _ {1} F_ {1} (1 + ab; 2-b; z),}$

så den allmänna lösningen är

${\ displaystyle k \; {} _ {1} F_ {1} (a; b; z) + lz ^ {1-b} \; {} _ {1} F_ {1} (1 + ab; 2- b; z)}$

där k , l är konstanter.

När en är en icke-positivt heltal, - n , är ett polynom. Upp till konstanta faktorer är dessa Laguerre-polynom . Detta innebär att Hermite-polynomer också kan uttryckas i termer av ₁ F ₁ . ${\ displaystyle {} _ {1} F_ {1} (- n; b; z)}$

Serien ₂ F ₀

Detta inträffar i samband med den exponentiella integralfunktionen Ei ( z ).

Serien ₂ F ₁

Historiskt sett är de viktigaste funktionerna i formuläret . Dessa kallas ibland Gauss hypergeometriska funktioner , klassiska standardhypergeometriska eller ofta helt enkelt hypergeometriska funktioner. Termen generaliserad hypergeometrisk funktion används för funktionerna _p F _q om det finns risk för förvirring. Denna funktion studerades först i detalj av Carl Friedrich Gauss , som undersökte förutsättningarna för dess konvergens. ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$

Differentialekvationen för denna funktion är

${\ displaystyle \ left (z {\ frac {d} {dz}} + a \ right) \ left (z {\ frac {d} {dz}} + b \ right) w = \ left (z {\ frac {d} {dz}} + c \ höger) {\ frac {dw} {dz}}}$

eller

${\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left [c- (a + b + 1) z \ right] {\ frac {dw } {dz}} - ab \, w = 0.}$

Det är känt som den hypergeometriska differentialekvationen . När c inte är ett positivt heltal är substitutionen

${\ displaystyle w = z ^ {1-c} u}$

ger en linjärt oberoende lösning

${\ displaystyle z ^ {1-c} \; {} _ {2} F_ {1} (1 + ac, 1 + bc; 2-c; z),}$

så den allmänna lösningen för | z | <1 är

${\ displaystyle k \; {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) + lz ^ {1-c} \; {} _ {2} F_ {1} (1 + ac, 1 + bc; 2-c; z)}$

där k , l är konstanter. Olika lösningar kan härledas för andra värden på z . Faktum är att det finns 24 lösningar, kända som Kummer- lösningarna, härledda med olika identiteter, giltiga i olika regioner i det komplexa planet.

När a är ett icke-positivt heltal, - n ,

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (- n, b; c; z)}$

är ett polynom. Upp till konstanta faktorer och skalning är dessa Jacobi-polynom . Flera andra klasser av ortogonala polynom, upp till konstanta faktorer, är specialfall av jacobipolynom, så dessa kan uttryckas med användning av ₂ F ₁ samt. Detta inkluderar Legendre-polynomier och Chebyshev-polynomier .

Ett brett spektrum av integraler av elementära funktioner kan uttryckas med hjälp av den hypergeometriska funktionen, t.ex.

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {x} {\ sqrt {1 + y ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} y = {\ frac {x} {2+ \ alpha}} \ vänster \ {\ alpha \; {} _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ tfrac {1} {\ alpha}}, {\ tfrac {1} {2}}; 1 + {\ tfrac {1 } {\ alpha}}; - x ^ {\ alpha} \ right) +2 {\ sqrt {x ^ {\ alpha} +1}} \ right \}, \ qquad \ alpha \ neq 0.}$

Serien ₃ F ₀

Detta inträffar i samband med Mott-polynom .

Serien ₃ F ₁

Detta inträffar i teorin om Bessel-funktioner. Det ger ett sätt att beräkna Bessel-funktioner för stora argument.

Dilogaritm

${\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (x) = \ sum _ {n> 0} \, {x ^ {n}} {n ^ {- 2}} = x \; {} _ {3 } F_ {2} (1,1,1; 2,2; x)}$är dilogaritmen

Hahn polynom

${\ displaystyle Q_ {n} (x; a, b, N) = {} _ {3} F_ {2} (- n, -x, n + a + b + 1; a + 1, -N + 1 ; 1)}$är ett Hahn-polynom .

Wilson polynom

${\ displaystyle p_ {n} (t ^ {2}) = (a + b) _ {n} (a + c) _ {n} (a + d) _ {n} \; {} _ {4} F_ {3} \ left ({\ begin {matrix} -n & a + b + c + d + n-1 & a-t & a + t \\ a + b & a + c & a + d \ end {matrix}}; 1 \ höger)}$är ett Wilson-polynom .

Generaliseringar

Den generaliserade hypergeometriska funktionen är kopplad till Meijer G-funktionen och MacRobert E-funktionen . Hypergeometriska serier generaliserades till flera variabler, till exempel av Paul Emile Appell och Joseph Kampé de Fériet ; men en jämförbar allmän teori tog lång tid att uppstå. Många identiteter hittades, några ganska anmärkningsvärda. En generalisering, q-seriens analoger, kallad den grundläggande hypergeometriska serien , gavs av Eduard Heine i slutet av 1800-talet. Här är förhållandena som betraktas som successiva termer, istället för en rationell funktion av n , en rationell funktion av q ⁿ . En annan generalisering, den elliptiska hypergeometriska serien , är de serier där termernas förhållande är en elliptisk funktion (en dubbelt periodisk meromorf funktion ) av n .

Under 1900-talet var detta ett fruktbart område för kombinatorisk matematik med många kopplingar till andra områden. Det finns ett antal nya definitioner av allmänna hypergeometriska funktioner , av Aomoto, Israel Gelfand och andra; och tillämpningar till exempel på kombinatoriken för att arrangera ett antal hyperplan i komplexa N- utrymme (se arrangemang av hyperplan ).

Speciella hypergeometriska funktionen inträffar som zonal sfäriska funktioner på Riemannian symmetriska utrymmen och semi-enkla Lie-grupper . Deras betydelse och roll kan förstås genom följande exempel: den hypergeometriska serien ₂ F ₁ har Legendre-polynomema som ett speciellt fall, och när de betraktas i form av sfäriska övertoner , återspeglar dessa polynomier i en viss mening symmetriegenskaperna hos två-sfären eller, likvärdigt, rotationerna som ges av Lie-gruppen SO (3) . I tensorprodukt uppnås sönderdelning av konkreta representationer av denna grupp Clebsch – Gordan-koefficienter , som kan skrivas som ₃ F ₂ hypergeometriska serier.

Bilaterala hypergeometriska serier är en generalisering av hypergeometriska funktioner där man summerar över alla heltal, inte bara de positiva.

Fox-Wright-funktioner är en generalisering av generaliserade hypergeometriska funktioner där Pochhammer-symbolerna i serieuttrycket generaliseras till gammafunktioner för linjära uttryck i index n .

Se även

• Appell-serien
• Humbert-serien
• Kampé de Fériet-funktionen
• Lauricella hypergeometrisk serie

Anteckningar

Referenser

• Askey, RA; Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Allmän hypergeometrisk funktion" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Andrews, George E .; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Specialfunktioner . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2. MR  1688958 .
• Bailey, WN (1935). Allmänna hypergeometriska serier . Cambridge-traktat i matematik och matematisk fysik. 32 . London: Cambridge University Press. Zbl  0011.02303 .
• Dixon, AC (1902). "Sammanfattning av en viss serie" . Proc. London matematik. Soc . 35 (1): 284–291. doi : 10.1112 / plms / s1-35.1.284 . JFM  34.0490.02 .
• Dougall, J. (1907). "Om Vandermondes teorem och några mer allmänna utvidgningar" . Proc. Edinburgh matematik. Soc . 25 : 114–132. doi : 10.1017 / S0013091500033642 .
• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955). Högre transcendentala funktioner. Vol. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London. MR  0066496 .
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Grundläggande hypergeometrisk serie . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 96 (2: a upplagan). Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83357-8. MR  2128719 . Zbl  1129.33005 .(den första upplagan har ISBN  0-521-35049-2 )
• Gauss, Carl Friedrich (1813). "Disquisitiones generales circa seriam infinitam   "${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} ~ x ~ x + {\ mbox {etc.}}}$ . Kommentarer Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (på latin). Göttingen. 2 .(en omtryck av denna uppsats finns i Carl Friedrich Gauss, Werke , s. 125)
• Grinshpan, AZ (2013), "Allmänna hypergeometriska funktioner: produktidentiteter och viktade normskillnader", The Ramanujan Journal , 31 (1–2): 53–66, doi : 10.1007 / s11139-013-9487-x , S2CID  121054930

• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonisk analys och specialfunktioner på symmetriska utrymmen . San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-336170-7. (del 1 behandlar hypergeometriska funktioner på Lie-grupper)
• Lavoie, JL; Grondin, F .; Rathie, AK; Arora, K. (1994). "Generaliseringar av Dixons teorem på summan av en 3F2". Matematik. Komp . 62 (205): 267–276. doi : 10.2307 / 2153407 . JSTOR  2153407 .
• Miller, AR; Paris, RB (2011). "Transformationer av Eulertyp för den generaliserade hypergeometriska funktionen _{r + 2} F _{r + 1} " . Z. Ångest. Matematik. Phys . 62 : 31–45. doi : 10.1007 / s00033-010-0085-0 . S2CID  30484300 .
• Quigley, J .; Wilson, KJ; Walls, L .; Bedford, T. (2013). "En Bayes linjär Bayes-metod för uppskattning av korrelerade händelser" (PDF) . Riskanalys . 33 (12): 2209–2224. doi : 10.1111 / risa.12035 . PMID  23551053 .
• Rathie, Arjun K .; Pogány, Tibor K. (2008). "Ny summeringsformel för ₃ F ₂ (1/2) och en Kummer-typ II-transformation av ₂ F ₂ ( x )" . Matematisk kommunikation . 13 : 63–66. MR  2422088 . Zbl  1146.33002 .
• Rakha, MA; Rathie, Arjun K. (2011). "Utvidgningar av Eulers typ II-transformation och Saalschutzs teorem" . Tjur. Koreansk matematik. Soc . 48 (1): 151–156. doi : 10.4134 / bkms.2011.48.1.151 .
• Saalschütz, L. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (på tyska). 35 : 186–188. JFM  22.0262.03 .
• Slater, Lucy Joan (1966). Allmänna hypergeometriska funktioner . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06483-5. MR  0201688 . Zbl  0135.28101 .(det finns en paperback från 2008 med ISBN  978-0-521-09061-2 )
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometriska funktioner, min kärlek: modulära tolkningar av konfigurationsutrymmen . Braunschweig / Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4. MR  1453580 .

externa länkar

• Boken "A = B" , den här boken kan hämtas fritt från internet.
• MathWorld
  • Weisstein, Eric W. "Allmän hypergeometrisk funktion" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Hypergeometrisk funktion" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Confluent Hypergeometric Function of the First Kind" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Confluent Hypergeometric Limit Function" . MathWorld .