Hypergeometrisk funktion - Hypergeometric function

I matematik är den gaussiska eller vanliga hypergeometriska funktionen ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) en speciell funktion som representeras av den hypergeometriska serien , som innehåller många andra specialfunktioner som specifika eller begränsande fall . Det är en lösning av en andra ordningens linjära ordinarie differentialekvation (ODE). Varje andra ordningens linjära ODE med tre regelbundna singulära punkter kan omvandlas till denna ekvation.

För systematiska listor över några av de många tusentals publicerade identiteter som involverar den hypergeometriska funktionen, se referensverken av Erdélyi et al. (1953) och Olde Daalhuis (2010) . Det finns inget känt system för att organisera alla identiteter; det finns verkligen ingen känd algoritm som kan generera alla identiteter; ett antal olika algoritmer är kända som genererar olika serier av identiteter. Teorin om den algoritmiska upptäckten av identiteter är fortfarande ett aktivt forskningsämne. harvtxt -fel: inget mål: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( hjälp )

Historia

Termen "hypergeometrisk serie" användes först av John Wallis i hans bok från 1655 Arithmetica Infinitorum .

Hypergeometriska serier studerades av Leonhard Euler , men den första fullständiga systematiska behandlingen gavs av Carl Friedrich Gauss  ( 1813 ).

Studier under artonhundratalet omfattade de av Ernst Kummer  ( 1836 ) och Bernhard Riemanns  ( 1857 ) grundläggande karakterisering av den hypergeometriska funktionen med hjälp av den differentialekvation som den uppfyller.

Riemann visade att andra ordningens differentialekvation för ₂ F ₁ ( z ), undersökt i det komplexa planet, kunde karakteriseras (på Riemann-sfären ) av dess tre regelbundna singulariteter .

De fall där lösningarna är algebraiska funktioner hittades av Hermann Schwarz ( Schwarz lista ).

Den hypergeometriska serien

Den hypergeometriska funktionen är definierad för | z | <1 från power -serien

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z^{n}} {n!}} = 1+{\ frac {ab} {c}} {\ frac {z} { 1!}}+{\ Frac {a (a+1) b (b+1)} {c (c+1)}} {\ frac {z^{2}} {2!}}+\ Cdots. }$

Det är odefinierat (eller oändligt) om c är lika med ett icke-positivt heltal. Här ( q ) _n är (stigande) Pochhammer -symbolen , som definieras av:

${\ displaystyle (q) _ {n} = {\ begin {cases} 1 & n = 0 \\ q (q+1) \ cdots (q+n-1) & n> 0 \ end {cases}}}$

Serien avslutas om antingen a eller b är ett icke -positivt heltal, i vilket fall funktionen reduceras till ett polynom:

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (-m, b; c; z) = \ sum _ {n = 0}^{m} (-1)^{n} {\ binom {m} {n}} {\ frac {(b) _ {n}} {(c) _ {n}}} z^{n}.}$

För komplexa argument z med | z | ≥ 1 kan det analytiskt fortsättas längs alla banor i det komplexa planet som undviker grenpunkterna 1 och oändligheten.

Som c → -m , där m är ett icke-negativt heltal, har man ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . Dividerat med värdet Γ ( c ) för gammafunktionen har vi gränsen:

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to -m} {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)} {\ Gamma (c)}} = {\ frac { (a) _ {m+1} (b) _ {m+1}} {(m+1)!}} z^{m+1} {} _ {2} F_ {1} (a+m+ 1, b+m+1; m+2; z)}$

₂ F ₁ ( z ) är den vanligaste typen av generaliserade hypergeometriska serier _p F _q , och betecknas ofta helt enkelt F ( z ) .

Differentieringsformler

Med hjälp av identiteten visas det ${\ displaystyle (a) _ {n+1} = a (a+1) _ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = {\ frac {ab} {c}} \ {} _ {2 } F_ {1} (a+1, b+1; c+1; z)}$

och mer allmänt,

${\ displaystyle {\ frac {d^{n}} {dz^{n}}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} \ {} _ {2} F_ {1} (a+n, b+n; c+n; z)}$

I det speciella fallet som vi har ${\ displaystyle c = a+1}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (a, b; a+1; z) = {\ frac {d} {dz}} \ {} _ {2} F_ {1} (b, a; a+1; z) = {\ frac {a ((1-z)^{-b}-{} _ {2} F_ {1} (a, b ; 1+a; z))} {z}}}$

Speciella fall

Många av de vanliga matematiska funktionerna kan uttryckas i termer av hypergeometrisk funktion, eller som begränsande fall av den. Några typiska exempel är

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} \ left (1,1; 2; -z \ right) & = {\ frac {\ ln (1+z)} {z}} \ \ _ {2} F_ {1} (a, b; b; z) & = (1-z)^{-a}, \ quad (\ forall b) \\ _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2}}; {\ frac {3} {2}}; z^{2} \ höger) & = {\ frac {\ arcsin (z)} {z}} \\\, _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {2} {3}}; {\ frac {3 } {2}};-{\ frac {27x^{2}} {4}} \ right) & = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {\ frac {3x {\ sqrt {3}} +{\ sqrt {27x^{2} +4}}} {2}}}-{\ sqrt [{3}] {\ frac {2} {3x {\ sqrt {3}}+{\ sqrt {27x ^{2} +4}}}}}} {x {\ sqrt {3}}}} \\\ end {align}}}$

När a = 1 och b = c , reduceras serien till en vanlig geometrisk serie , dvs.

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} \ left (1, b; b; z \ right) & = 1+z+z^{2}+z^{3}+z^ {4}+\ cdots \ end {align}}}$

därför namnet hypergeometriskt . Denna funktion kan betraktas som en generalisering av de geometriska serierna .

Den sammanflytande hypergeometriska funktionen (eller Kummers funktion) kan anges som en gräns för den hypergeometriska funktionen

${\ displaystyle M (a, c, z) = \ lim _ {b \ to \ infty} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; b^{-1} z)}$

så alla funktioner som i huvudsak är speciella fall av det, till exempel Bessel -funktioner , kan uttryckas som gränser för hypergeometriska funktioner. Dessa inkluderar de flesta vanliga matematiska fysikens funktioner.

Legendre -funktioner är lösningar av en andra ordnings differentialekvation med 3 regelbundna singularpunkter så kan uttryckas i termer av hypergeometrisk funktion på många sätt, till exempel

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, 1-a; c; z) = \ Gamma (c) z^{\ tfrac {1-c} {2}} (1-z)^ {\ tfrac {c-1} {2}} P _ {-a}^{1-c} (1-2z)}$

Flera ortogonala polynom, inklusive Jacobi polynom P^{(a, p)}
_noch deras specialfall Legendre polynom , Chebyshev polynom , Gegenbauer polynom kan skrivas i termer av hypergeometriska funktioner med

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (-n, \ alfa +1+ \ beta +n; \ alfa +1; x) = {\ frac {n!} {(\ alfa +1) _ {n}}} P_ {n}^{(\ alfa, \ beta)} (1-2x)}$

Andra polynom som är specialfall inkluderar Krawtchouk -polynom , Meixner -polynom , Meixner – Pollaczek -polynom .

Elliptiska modulära funktioner kan ibland uttryckas som de inversa funktionerna för förhållanden för hypergeometriska funktioner vars argument a , b , c är 1, 1/2, 1/3, ... eller 0. Till exempel om

${\ displaystyle \ tau = {\ rm {i}} {\ frac {{} _ {2} F_ {1} {\ bigl (} {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} { 2}}; 1; 1-z {\ bigr)}} {{} _ {2} F_ {1} {\ bigl (} {\ frac {1} {2}}, {\ frac {1} {2 }}; 1; z {\ bigr)}}}}}$

sedan

${\ displaystyle z = \ kappa^{2} (\ tau) = {\ frac {\ theta _ {2} (\ tau)^{4}} {\ theta _ {3} (\ tau)^{4} }}}$

är en elliptisk modulär funktion av τ, där

${\ displaystyle \ theta _ {2} (\ tau) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} e^{\ pi i \ tau (n+1/2)^{2}}, \ quad \ theta _ {3} (\ tau) = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} e^{\ pi i \ tau n^{2}}}$.

Ofullständiga betafunktioner B _x ( p , q ) är relaterade med

${\ displaystyle B_ {x} (p, q) = {\ tfrac {x^{p}} {p}} {} _ {2} F_ {1} (p, 1-q; p+1; x) }$

De fullständiga elliptiska integralerna K och E ges av

${\ displaystyle K (k) = {\ tfrac {\ pi} {2}} \, _ {2} F_ {1} \ left ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} { 2}}; 1; k^{2} \ höger)}$

${\ displaystyle E (k) = {\ tfrac {\ pi} {2}} \, _ {2} F_ {1} \ left (-{\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}; 1; k^{2} \ höger)}$

Den hypergeometriska differentialekvationen

Den hypergeometriska funktionen är en lösning av Eulers hypergeometriska differentialekvation

${\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d^{2} w} {dz^{2}}}+\ vänster [c- (a+b+1) z \ höger] {\ frac {dw } {dz}}-ab \, w = 0.}$

som har tre vanliga singulära punkter : 0,1 och ∞. Generaliseringen av denna ekvation till tre godtyckliga regelbundna singulära punkter ges av Riemanns differentialekvation . Varje differentialekvation av andra ordningen med tre regelbundna singularpunkter kan konverteras till den hypergeometriska differentialekvationen genom en förändring av variabler.

Lösningar på singulära punkter

Lösningar till den hypergeometriska differentialekvationen är byggda av den hypergeometriska serien ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). Ekvationen har två linjärt oberoende lösningar. Vid var och en av de tre singulära punkterna 0, 1, ∞ finns det vanligtvis två speciallösningar av formen x ^s gånger en holomorf funktion av x , där s är en av de två rötterna i den indikativa ekvationen och x är en lokal variabel som försvinner vid den vanliga singularpunkten. Detta ger 3 × 2 = 6 speciallösningar, enligt följande.

Runt punkten z  = 0 är två oberoende lösningar, om c inte är ett icke-positivt heltal,

${\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$

och, förutsatt att c inte är ett heltal,

${\ displaystyle z^{1-c} \, _ {2} F_ {1} (1+ac, 1+bc; 2-c; z)}$

Om c är ett icke-positivt heltal 1− m , så existerar inte den första av dessa lösningar och måste ersättas med Den andra lösningen finns inte när c är ett heltal större än 1 och är lika med den första lösningen, eller dess ersättning, när c är något annat heltal. Så när c är ett heltal måste ett mer komplicerat uttryck användas för en andra lösning, lika med den första lösningen multiplicerad med ln ( z ), plus ytterligare en serie med effekter av z , som involverar digamma -funktionen . Se Olde Daalhuis (2010) för detaljer. ${\ displaystyle z^{m} F (a+m, b+m; 1+m; z).}$harvtxt -fel: inget mål: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( hjälp )

Runt z  = 1, om c  -  a  -  b inte är ett heltal, har en två oberoende lösningar

${\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a, b; 1+a+bc; 1-z)}$

och

${\ displaystyle (1-z)^{cab} \; _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1+cab; 1-z)}$

Runt z  = ∞, om a  -  b inte är ett heltal, har en två oberoende lösningar

${\ displaystyle z^{-a} \, _ {2} F_ {1} \ vänster (a, 1+ac; 1+ab; z^{-1} \ höger)}$

och

${\ displaystyle z^{-b} \, _ {2} F_ {1} \ vänster (b, 1+bc; 1+ba; z^{-1} \ höger).}$

Återigen, när villkoren för icke-integritet inte är uppfyllda, finns det andra lösningar som är mer komplicerade.

Varje tre av ovanstående 6 lösningar uppfyller ett linjärt förhållande eftersom lösningsutrymmet är 2-dimensionellt, vilket ger (⁶
₃) = 20 linjära relationer mellan dem som kallas anslutningsformler .

Kummers 24 lösningar

En andra ordning fuchsiansk ekvation med n singulära punkter har en grupp symmetrier som verkar (projektivt) på sina lösningar, isomorfa för Coxeter -gruppen D _n i ordning n ! 2 ^{n −1} . För den hypergeometriska ekvationen n = 3, så är gruppen av ordning 24 och är isomorf för den symmetriska gruppen på 4 punkter, och beskrevs först av Kummer . Isomorfismen med den symmetriska gruppen är oavsiktlig och har ingen analog för mer än 3 singulära punkter, och det är ibland bättre att tänka på gruppen som en förlängning av den symmetriska gruppen på 3 punkter (fungerar som permutationer av de 3 singulära punkterna) med en Klein 4-grupp (vars element förändrar tecknen på exponenternas skillnader vid ett jämnt antal singulära punkter). Kummers grupp om 24 transformationer genereras genom att de tre transformationerna tar en lösning F ( a , b ; c ; z ) till en av

${\ displaystyle (1-z)^{-a} F \ vänster (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ höger)}$

${\ displaystyle F (a, b; 1+a+bc; 1-z)}$

${\ displaystyle (1-z)^{-b} F \ vänster (ca, b; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ höger)}$

som motsvarar transpositionerna (12), (23) och (34) under en isomorfism med den symmetriska gruppen på 4 punkter 1, 2, 3, 4. (Den första och tredje av dessa är faktiskt lika med F ( a , b ; c ; z ) medan den andra är en oberoende lösning på differentialekvationen.)

Genom att tillämpa Kummers 24 = 6 × 4 -transformationer på den hypergeometriska funktionen får 6 = 2 × 3 -lösningarna ovan motsvarande var och en av de 2 möjliga exponenterna vid var och en av de tre singulära punkterna, som var och en dyker upp fyra gånger på grund av identiteterna

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{cab} \, {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c ; z) \ \ \ {\ text {Euler transformation}}}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{-a} \, {} _ {2} F_ {1} (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}}) \ \ \ {\ text {Pfaff-transformation}}}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{-b} \, {} _ {2} F_ {1} (ca, b; c; {\ tfrac {z} {z-1}}) \ \ \ {\ text {Pfaff-transformation}}}$

Q-form

Den hypergeometriska differentialekvationen kan föras in i Q-formen

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} u} {dz^{2}}}+Q (z) u (z) = 0}$

genom att göra substitutionen w = uv och eliminera den första derivattermen. Man finner det

${\ displaystyle Q = {\ frac {z^{2} [1- (ab)^{2}]+z [2c (a+b-1) -4ab]+c (2-c)} {4z^ {2} (1-z)^{2}}}}$

och v ges av lösningen till

${\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ log v (z) =-{\ frac {cz (a+b+1)} {2z (1-z)}} =-{\ frac {c } {2z}}-{\ frac {1+a+bc} {2 (z-1)}}}$

vilket är

${\ displaystyle v (z) = z^{-c/2} (1-z)^{(cab-1)/2}.}$

Q-formen är signifikant i sin relation till Schwarzian-derivatet ( Hille 1976 , s. 307–401).

Schwarz triangelkartor

Den Schwarz triangeln kartor eller Schwarz s -Funktions- är förhållanden av par av lösningar.

${\ displaystyle s_ {k} (z) = {\ frac {\ phi _ {k}^{(1)} (z)} {\ phi _ {k}^{(0)} (z)}}}}$

där k är en av punkterna 0, 1, ∞. Notationen

${\ displaystyle D_ {k} (\ lambda, \ mu, \ nu; z) = s_ {k} (z)}$

används också ibland. Observera att anslutningskoefficienterna blir Möbius -transformationer på triangelkartorna.

Observera att varje triangelkarta är regelbunden vid z ∈ {0, 1, ∞} respektive med

${\ displaystyle s_ {0} (z) = z^{\ lambda} (1+{\ mathcal {O}} (z))}$

${\ displaystyle s_ {1} (z) = (1-z)^{\ mu} (1+{\ mathcal {O}} (1-z))}$

och

${\ displaystyle s _ {\ infty} (z) = z^{\ nu} (1+{\ mathcal {O}} ({\ tfrac {1} {z}})).}$

I specialfallet λ, μ och ν real, med 0 ≤ λ, μ, ν <1 då ​​är s-kartorna konforma kartor över det övre halvplanet H till trianglar på Riemann-sfären , avgränsade av cirkelbågar. Denna kartläggning är en generalisering av Schwarz - Christoffels kartläggning till trianglar med cirkelbågar. Singularpunkterna 0,1 och ∞ skickas till triangelns hörn. Triangelns vinklar är πλ, πμ respektive πν.

Vidare, när det gäller λ = 1/ p , μ = 1/ q och ν = 1/ r för heltal p , q , r , så plattar triangeln sfären, det komplexa planet eller det övre halvplanet beroende på om λ + μ + ν - 1 är positivt, noll eller negativt; och s-kartorna är inversa funktioner för automorfiska funktioner för triangelgruppen〈p ,  q ,  r〉 = Δ ( p ,  q ,  r ).

Monodromigrupp

Monodromin för en hypergeometrisk ekvation beskriver hur grundläggande lösningar förändras när de analytiskt fortsätter runt banor i z -planet som återvänder till samma punkt. Det vill säga när vägen slingrar sig runt en singularitet på ₂ F ₁ , kommer värdet på lösningarna vid slutpunkten att skilja sig från utgångspunkten.

Två grundläggande lösningar för den hypergeometriska ekvationen är relaterade till varandra genom en linjär transformation; sålunda är monodromin en kartläggning (grupphomomorfism):

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbf {C} \ setminus \ {0,1 \}, z_ {0}) \ till {\ text {GL}} (2, \ mathbf {C})}$

där π ₁ är den grundläggande gruppen . Med andra ord är monodromin en tvådimensionell linjär representation av den grundläggande gruppen. Den monodromy grupp av ekvationen är bilden av denna karta, det vill säga den grupp som genereras av monodromy matriser. Monodromrepresentationen för den grundläggande gruppen kan beräknas uttryckligen i termer av exponenterna vid singulära punkter. Om (α, α '), (β, β') och (γ, γ ') är exponenterna vid 0, 1 och ∞, med z ₀ nära 0, har slingorna runt 0 och 1 monodromimatriser

${\ displaystyle g_ {0} = {\ begin {pmatrix} e^{2 \ pi i \ alpha} & 0 \\ 0 & e^{2 \ pi i \ alpha^{\ prime}} \ end {pmatrix}} \, \, \,}$ och ${\ displaystyle \, \, \, g_ {1} = {\ begin {pmatrix} {\ mu e^{2 \ pi i \ beta} -e^{2 \ pi i \ beta^{\ prime}} \ över \ mu -1} & {\ mu (e^{2 \ pi i \ beta} -e^{2 \ pi i \ beta^{\ prime}}) \ över (\ mu -1)^{2} } \\ e^{2 \ pi i \ beta^{\ prime}}-e^{2 \ pi i \ beta} & {\ mu e^{2 \ pi i \ beta^{\ prime}}-e ^{2 \ pi i \ beta} \ över \ mu -1} \ end {pmatrix}},}$

var

${\ displaystyle \ mu = {\ sin \ pi (\ alpha +\ beta ^{\ prime} +\ gamma ^{\ prime}) \ sin \ pi (\ alpha ^{\ prime} +\ beta +\ gamma ^ {\ prime}) \ over \ sin \ pi (\ alpha ^{\ prime} +\ beta ^{\ prime} +\ gamma ^{\ prime}) \ sin \ pi (\ alpha +\ beta +\ gamma ^ {\främsta })}.}$

Om 1- a , c - a - b , a - b är icke -heltal rationella tal med nämnare k , l , m är monodromigruppen begränsad om och bara om , se Schwarz lista eller Kovacics algoritm . ${\ displaystyle 1/k+1/l+1/m> 1}$

Integrerade formler

Euler typ

Om B är betafunktionen då

${\ displaystyle \ mathrm {B} (b, cb) \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ int _ {0}^{1} x^{b-1} (1-x)^{cb-1} (1-zx)^{-a} \, dx \ qquad \ Re (c)> \ Re (b)> 0,}$

förutsatt att z inte är ett reellt tal så att det är större än eller lika med 1. och kan bevisas genom att expandera (1 -  zx ) ^{- a} med binomial sats och sedan integrera term för term för z med ett absolut värde mindre än 1 , och genom analytisk fortsättning någon annanstans. När z är ett reellt tal större än eller lika med 1, måste analytisk fortsättning användas eftersom (1-  zx ) är noll vid någon tidpunkt i stödet för integralen, så värdet på integralen kan vara feldefinierat. Detta gavs av Euler 1748 och innebär Eulers och Pfaffs hypergeometriska transformationer.

Andra representationer, motsvarande andra grenar , ges genom att ta samma integrand, men genom att integrationsvägen är en sluten Pochhammer -cykel som omsluter singulariteterna i olika ordningar. Sådana vägar motsvarar monodromins verkan.

Barnes integrerad

Barnes använde teorin om rester för att utvärdera Barnes -integralen

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {-i \ infty}^{i \ infty} {\ frac {\ Gamma (a+s) \ Gamma (b+s) \ Gamma (-s)} {\ Gamma (c+s)}} (-z)^{s} \, ds}$

som

${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (c)}} \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z),}$

där konturen dras för att skilja polerna 0, 1, 2 ... från polerna - a , - a  - 1, ..., - b , - b  - 1, .... Detta är giltigt så länge z inte är ett icke -negativt reellt tal.

John transformerar

Gauss hypergeometriska funktion kan skrivas som en John -transform ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2).

Gauss sammanhängande relationer

De sex funktionerna

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a \ pm 1, b; c; z), \ quad {} _ {2} F_ {1} (a, b \ pm 1; c; z) , \ quad {} _ {2} F_ {1} (a, b; c \ pm 1; z)}$

kallas angränsande till ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Gauss visade att ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) kan skrivas som en linjär kombination av två av dess sammanhängande funktioner, med rationella koefficienter i termer av a , b , c och z . Detta ger

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 6 \\ 2 \ end {pmatrix}} = 15}$

relationer, ges genom att identifiera två rader på höger sida av

${\ displaystyle {\ begin {align} z {\ frac {dF} {dz}} & = z {\ frac {ab} {c}} F (a+, b+, c+) \\ & = a (F (a+ ) -F) \\ & = b (F (b+)-F) \\ & = (c-1) (F (c-)-F) \\ & = {\ frac {(ca) F (a- )+(a-c+bz) F} {1-z}} \\ & = {\ frac {(cb) F (b-)+(b-c+az) F} {1-z}} \ \ & = z {\ frac {(ca) (cb) F (c+)+c (a+bc) F} {c (1-z)}} \ end {align}}}$

där F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) , och så vidare. Upprepad tillämpning av dessa relationer ger en linjär relation över C (z) mellan tre funktioner i formen

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a+m, b+n; c+l; z),}$

där m , n och l är heltal.

Gauss fortsatta fraktion

Gauss använde de sammanhängande relationerna för att ge flera sätt att skriva en kvot av två hypergeometriska funktioner som en fortsatt fraktion, till exempel:

${\ displaystyle {\ frac {{} _ {2} F_ {1} (a+1, b; c+1; z)} {{} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z )}} = {\ cfrac {1} {1+{\ cfrac {{\ frac {(ac) b} {c (c+1)}} z} {1+{\ cfrac {{\ frac {(bc -1) (a+1)} {(c+1) (c+2)}} z} {1+{\ cfrac {{\ frac {(ac-1) (b+1)} {(c+ 2) (c+3)}} z} {1+{\ cfrac {{\ frac {(bc-2) (a+2)} {(c+3) (c+4)}} z} {1 +{} \ ddots}}}}}}}}}}}$

Transformationsformler

Transformationsformler relaterar två hypergeometriska funktioner vid olika värden för argumentet z .

Fraktionerade linjära transformationer

Eulers transformation är

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; c; z ).}$

Det följer genom att kombinera de två Pfaff -transformationerna

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{-b} {} _ {2} F_ {1} \ vänster (b, ca; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ höger)}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = (1-z)^{-a} {} _ {2} F_ {1} \ left (a, cb; c; {\ tfrac {z} {z-1}} \ höger)}$

som i sin tur följer av Eulers integrerade representation. För förlängning av Eulers första och andra transformationer, se Rathie & Paris (2007) och Rakha & Rathie (2011) . Det kan också skrivas som en linjär kombination

${\ displaystyle {\ begin {align} {} _ {2} F_ {1} (a, b; c, z) = {} & {\ frac {\ Gamma (c) \ Gamma (cab)} {\ Gamma (ca) \ Gamma (cb)}} {} _ {2} F_ {1} (a, b; a+b+1-c; 1-z) \\ [6pt] & {}+{\ frac { \ Gamma (c) \ Gamma (a+bc)} {\ Gamma (a) \ Gamma (b)}} (1-z)^{cab} {} _ {2} F_ {1} (ca, cb; 1+hytt; 1-z). \ End {align}}}$

Kvadratiska transformationer

Om två av siffrorna 1 -  c , c  - 1, a  -  b , b  -  a , a  +  b  -  c , c  -  a  -  b är lika eller en av dem är 1/2 så sker en kvadratisk transformation av hypergeometrisk funktion, kopplar den till ett annat värde av z relaterat till en kvadratisk ekvation. De första exemplen gavs av Kummer (1836) , och en fullständig lista gavs av Goursat (1881) . Ett typiskt exempel är

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 2b; z) = (1-z)^{-{\ frac {a} {2}}} {} _ {2} F_ { 1} \ vänster ({\ tfrac {1} {2}} a, b-{\ tfrac {1} {2}} a; b+{\ tfrac {1} {2}}; {\ frac {z^{ 2}} {4z-4}} \ höger)}$

Högre orderomvandlingar

Om 1− c , a - b , a + b - c skiljer sig genom tecken eller två av dem är 1/3 eller −1/3 så sker det en kubisk transformation av den hypergeometriska funktionen, som ansluter den till ett annat värde av z -relaterat med en kubisk ekvation. De första exemplen gavs av Goursat (1881) . Ett typiskt exempel är

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ tfrac {3} {2}} a, {\ tfrac {1} {2}} (3a-1); a+{\ tfrac {1 } {2}};-{\ tfrac {z^{2}} {3}} \ höger) = (1+z)^{1-3a} \, {} _ {2} F_ {1} \ vänster (a-{\ tfrac {1} {3}}, a; 2a; 2z (3+z^{2}) (1+z)^{-3} \ höger)}$

Det finns också några transformationer av grad 4 och 6. Transformationer av andra grader finns bara om a , b och c är vissa rationella tal ( Vidunas 2005 ). Till exempel,

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ tfrac {1} {4}}, {\ tfrac {3} {8}}; {\ tfrac {7} {8}}; z \ höger) (z^{4} -60z^{3}+134z^{2} -60z+1)^{1/16} = {} _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ tfrac { 1} {48}}, {\ tfrac {17} {48}}; {\ tfrac {7} {8}}; {\ tfrac {-432z (z-1)^{2} (z+1)^ {8}} {(z^{4} -60z^{3}+134z^{2} -60z+1)^{3}}} \ höger).}$

Värden vid speciella punkter z

Se Slater (1966 , bilaga III) för en lista över summeringsformler på speciella punkter, varav de flesta också visas i Bailey (1935) . Gessel & Stanton (1982) ger ytterligare utvärderingar på fler punkter. Koepf (1995) visar hur de flesta av dessa identiteter kan verifieras med datoralgoritmer.

Specialvärden vid z  = 1

Gauss summeringssats, uppkallad efter Carl Friedrich Gauss , är identiteten

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; 1) = {\ frac {\ Gamma (c) \ Gamma (cab)} {\ Gamma (ca) \ Gamma (cb)} }, \ qquad \ Re (c)> \ Re (a+b)}$

som följer av Eulers integrala formel genom att sätta z  = 1. Den inkluderar Vandermonde -identiteten som ett specialfall.

För specialfallet där , ${\ displaystyle a = -m}$

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (-m, b; c; 1) = {\ frac {(cb) _ {m}} {(c) _ {m}}}}$

Dougalls formel generaliserar detta till den bilaterala hypergeometriska serien vid z  = 1.

Kummers sats ( z  = −1)

Det finns många fall där hypergeometriska funktioner kan utvärderas till z  = −1 genom att använda en kvadratisk transformation för att ändra z  = −1 till z  = 1 och sedan använda Gauss sats för att utvärdera resultatet. Ett typiskt exempel är Kummers sats, uppkallad efter Ernst Kummer :

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; 1+ab; -1) = {\ frac {\ Gamma (1+ab) \ Gamma (1+{\ tfrac {1} {2 }} a)} {\ Gamma (1+a) \ Gamma (1+{\ tfrac {1} {2}} ab)}}}$

som följer av Kummers kvadratiska transformationer

${\ displaystyle {\ begin {align} _ {2} F_ {1} (a, b; 1+ab; z) & = (1-z)^{-a} \; _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ frac {a} {2}}, {\ frac {1+a} {2}}-b; 1+ab;-{\ frac {4z} {(1-z)^{2} }} \ höger) \\ & = (1+z)^{-a} \, _ {2} F_ {1} \ vänster ({\ frac {a} {2}}, {\ frac {a+1 } {2}}; 1+ab; {\ frac {4z} {(1+z)^{2}}} \ right) \ end {align}}}$

och Gauss sats genom att sätta z  = −1 i den första identiteten. För generalisering av Kummers summering, se Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Värden vid z  = 1/2

Gauss andra summeringssats är

${\ displaystyle _ {2} F_ {1} \ left (a, b; {\ tfrac {1} {2}} \ left (1+a+b \ right); {\ tfrac {1} {2}} \ höger) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}}) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1+a+b \ höger))} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1+a) \ höger) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1+b \ höger))}}}.}$

Baileys sats är

${\ displaystyle _ {2} F_ {1} \ left (a, 1-a; c; {\ tfrac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ Gamma ({\ tfrac {1} { 2}} c) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1+c \ höger))} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (c+a \ höger)) \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} \ vänster (1+ca \ höger))}}.}$

För generaliseringar av Gauss andra summeringssats och Baileys summeringssats, se Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Andra punkter

Det finns många andra formler som ger den hypergeometriska funktionen som ett algebraiskt tal med speciella rationella värden för parametrarna, varav några är listade i Gessel & Stanton (1982) och Koepf (1995) . Några typiska exempel ges av

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} \ vänster (a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {x^{2}} {4 (x-1)} } \ höger) = {\ frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}} {2}},}$

som kan räknas om som

${\ displaystyle T_ {a} (\ cos x) = {} _ {2} F_ {1} \ left (a, -a; {\ tfrac {1} {2}}; {\ tfrac {1} {2 }} (1- \ cos x) \ höger) = \ cos (ax)}$

när −π < x <π och T är (generaliserat) Chebyshev -polynomet .

Se även

• Appell-serien , en 2-variabel generalisering av hypergeometriska serier
• Grundläggande hypergeometriska serier där förhållandet mellan termer är en periodisk funktion av indexet
• Bilaterala hypergeometriska serier _p H _p liknar generaliserade hypergeometriska serier, men summeras över alla heltal
• Binomial serie ₁ F ₀
• Konfluenta hypergeometriska serier ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Elliptiska hypergeometriska serier där förhållandet mellan termer är en elliptisk funktion av indexet
• Euler hypergeometrisk integral , en integrerad representation av ₂ F ₁
• Fox H-funktion , en förlängning av Meijer G-funktionen
• Fox – Wright -funktion , en generalisering av den generaliserade hypergeometriska funktionen
• Frobenius -lösning till den hypergeometriska ekvationen
• Allmän hypergeometrisk funktion introducerad av IM Gelfand .
• Generaliserad hypergeometrisk serie _p F _q där förhållandet mellan termer är en rationell funktion av indexet
• Geometriska serier , där förhållandet mellan termer är en konstant
• Heun -funktion , lösningar av andra ordningens ODE: er med fyra vanliga singulära punkter
• Hornfunktion , 34 distinkta konvergenta hypergeometriska serier i två variabler
• Humbert serie 7 hypergeometriska funktioner med 2 variabler
• Hypergeometrisk fördelning , en diskret sannolikhetsfördelning
• Hypergeometrisk funktion av ett matrisargument , den multivariata generaliseringen av den hypergeometriska serien
• Kampé de Fériet -funktionen , hypergeometriska serier med två variabler
• Lauricella hypergeometriska serier , hypergeometriska serier med tre variabler
• MacRobert E-funktion , en förlängning av den generaliserade hypergeometriska serien _p F _q till fallet p > q +1.
• Meijer G-funktion , en förlängning av den generaliserade hypergeometriska serien _p F _q till fallet p > q +1.
• Modulära hypergeometriska serier , en avslutande form av den elliptiska hypergeometriska serien
• Theta hypergeometriska serier , en speciell sorts elliptiska hypergeometriska serier.
• Virasoro-konforma block , specialfunktioner inom tvådimensionell konformfältteori som i vissa fall reduceras till hypergeometriska funktioner.

Referenser

• Andrews, George E .; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999). Särskilda funktioner . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 71 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62321-6. MR  1688958 .
• Bailey, WN (1935). Generaliserad hypergeometrisk serie (PDF) . Cambridge University Press. Arkiverad från originalet (PDF) 2017-06-24 . Hämtad 2016-07-23 .
• Beukers, Frits (2002), Gauss hypergeometriska funktion . (föreläsningsanteckningar som granskar grunderna, liksom triangelkartor och monodromi)
• Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometrisk funktion" , i Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. (1953). Högre transcendentala funktioner (PDF) . Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw – Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR  0058756 . |volume=har extra text ( hjälp )
• Gasper, George & Rahman, Mizan (2004). Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN  0-521-83357-4 .
• Gauss, Carl Friedrich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam   "${\ displaystyle 1 +{\ tfrac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x +{\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} ~ x ~ x +{\ mbox {etc.}}}$ . Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (på latin). Göttingen. 2 .
• Gelfand, IM; Gindikin, SG & Graev, MI (2003) [2000]. Utvalda ämnen i integrerad geometri . Översättningar av matematiska monografier. 220 . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-2932-5. MR  2000133 .
• Gessel, Ira & Stanton, Dennis (1982). "Konstiga utvärderingar av hypergeometriska serier". SIAM Journal on Mathematical Analysis . 13 (2): 295–308. doi : 10.1137/0513021 . ISSN  0036-1410 . MR  0647127 .
• Goursat, Édouard (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (på franska). 10 : 3–142 . Hämtad 2008-10-16 .
• Heckman, Gerrit & Schlichtkrull, Henrik (1994). Harmonisk analys och specialfunktioner på symmetriska utrymmen . San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (del 1 behandlar hypergeometriska funktioner på Lie -grupper)
• Hille, Einar (1976). Vanliga differentialekvationer inom den komplexa domänen . Dover. ISBN 0-486-69620-0.
• Ince, EL (1944). Vanliga differentialekvationer . Dover Publications.
• Klein, Felix (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (på tyska). 39 . Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. MR  0668700 .
• Koepf, Wolfram (1995). "Algoritmer för m-faldig hypergeometrisk summering" . Journal of Symbolic Computation . 20 (4): 399–417. doi : 10.1006/jsco.1995.1056 . ISSN  0747-7171 . MR  1384455 .
• Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe  "${\ displaystyle 1 +{\ tfrac {\ alpha \ cdot \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x +{\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} x^{2} +{\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) (\ alpha +2) \ beta (\ beta +1) (\ beta + 2)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ gamma (\ gamma +1) (\ gamma +2)}} x^{3} +\ cdots}$ . Journal für die reine und angewandte Mathematik (på tyska). 15 : 39–83, 127–172. ISSN  0075-4102 .
• Lavoie, JL; Grondin, F .; Rathie, AK (1996). "Generaliseringar av Whipples sats på summan av en ₃ F ₂ ". J. Comput. Appl. Matematik . 72 : 293–300.
• Tryck, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT & Flannery, BP (2007). "Avsnitt 6.13. Hypergeometriska funktioner" . Numeriska recept: The Art of Scientific Computing (3: e upplagan). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rakha, MA; Rathie, Arjun K. (2011). "Förlängningar av Eulers typ II-transformation och Saalschutz sats". Tjur. Koreansk matematik. Soc . 48 (1): 151–156.
• Rathie, Arjun K .; Paris, RB (2007). "En förlängning av Eulers typ-transformation för 3F2-serien". Fjärran Östern J. Math. Sci . 27 (1): 43–48.
• Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Functionen" . Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (på tyska). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7 : 3–22.(en ny upplaga av detta dokument finns i "Alla publikationer av Riemann" (PDF) .)
• Slater, Lucy Joan (1960). Konfluenta hypergeometriska funktioner . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. MR  0107026 .
• Slater, Lucy Joan (1966). Generaliserade hypergeometriska funktioner . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR  0201688 .(det finns en pocketbok från 2008 med ISBN  978-0-521-09061-2 )
• Vidunas, Raimundas (2005). "Transformationer av några Gauss hypergeometriska funktioner". Journal of Symbolic Computation . 178 : 473–487. arXiv : matte/0310436 . doi : 10.1016/j.cam.2004.09.053 .
• Wall, HS (1948). Analytisk teori om fortsatta fraktioner . D. Van Nostrand Company, Inc.
• Whittaker, ET & Watson, GN (1927). En kurs i modern analys . Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press.
• Yoshida, Masaaki (1997). Hypergeometriska funktioner, min kärlek: modulära tolkningar av konfigurationsutrymmen . Braunschweig - Wiesbaden: Friedr. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. MR  1453580 .

externa länkar

• "Hypergeometrisk funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• John Pearson, beräkning av hypergeometriska funktioner ( University of Oxford , MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf och Doron Zeilberger, Boken "A = B" (fritt nedladdningsbar)
• Weisstein, Eric W. "Hypergeometrisk funktion" . MathWorld .