Villkorligt beroende - Conditional dependence

Ett Bayesianskt nätverk som illustrerar villkorligt beroende

I sannolikhetsteori , villkor beroendet är ett förhållande mellan två eller flera händelser som är beroende när tredjedel händelse inträffar. Till exempel, om och är två händelser som individuellt ökar sannolikheten för en tredje händelse och inte direkt påverkar varandra, då initialt (när det inte har observerats om händelsen inträffar eller inte ) ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C,}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid B) = \ operatorname {P} (A) \ quad {\ text {och}} \ quad \ operatorname {P} (B \ mid A) = \ operatorname {P } (B)}

( är oberoende).

{\ displaystyle A {\ text {och}} B}

Men anta att det nu observeras att inträffa. Om händelse inträffar minskar sannolikheten för att händelsen inträffar eftersom dess positiva relation till är mindre nödvändig som en förklaring till förekomsten av (på liknande sätt minskar händelsen som inträffar ). Därför är nu de två händelserna och är villkorligt negativt beroende av varandra eftersom sannolikheten för att de ska inträffa är negativt beroende av om den andra inträffar. Vi har ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid C {\ text {och}} B) <\ operatorname {P} (A \ mid C).}

Villkorligt beroende skiljer sig från villkorligt oberoende . Vid villkorlig oberoende blir två händelser (som kan vara beroende eller inte) oberoende med tanke på förekomsten av en tredje händelse.

Exempel

I huvudsak påverkas sannolikheten av en persons information om eventuell händelse. Låt till exempel händelsen vara "Jag har en ny telefon"; händelse vara "Jag har en ny klocka"; och händelse vara "Jag är glad"; och anta att antingen en ny telefon eller en ny klocka ökar sannolikheten för att jag ska bli lycklig. Låt oss anta att händelsen har inträffat - vilket betyder 'jag är glad'. Om en annan person ser min nya klocka, kommer han/hon att resonera att min sannolikhet för att bli lyckad ökade med min nya klocka, så det är mindre behov av att tillskriva min lycka till en ny telefon. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$

För att göra exemplet mer numeriskt specifikt, anta att det finns fyra möjliga tillstånd som anges i de fyra mellersta kolumnerna i följande tabell, där händelsen förekommer med en i rad och dess icke-förekomst betecknas av en och likaså för och det är, och sannolikheten för är för varje ${\ displaystyle \ Omega = \ vänster \ {s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ höger \},}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C.}$ ${\ displaystyle A = \ left \ {s_ {2}, s_ {4} \ right \}, B = \ left \ {s_ {3}, s_ {4} \ right \},}$ ${\ displaystyle C = \ vänster \ {s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ höger \}.}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ ${\ displaystyle 1/4}$ ${\ displaystyle i.}$

Händelse	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {2}) = 1/4}$	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {3}) = 1/4}$	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {4}) = 1/4}$	Sannolikhet för händelse
${\ displaystyle A}$	1	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle B}$	0	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle C}$	1	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$

och så

Händelse	${\ displaystyle s_ {2}}$	${\ displaystyle s_ {3}}$	${\ displaystyle s_ {4}}$	Sannolikhet för händelse
${\ displaystyle A \ cap B}$	0	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$
${\ displaystyle A \ cap C}$	1	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle B \ cap C}$	0	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle A \ cap B \ cap C}$	0	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$

I det här exemplet inträffar om och endast om minst en av inträffar. Villkorslöst (det vill säga utan hänvisning till ) och är oberoende av varandra eftersom - summan av sannolikheterna associerade med en i rad - är medan ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (A)}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}},}$