Zależność warunkowa - Conditional dependence

W teorii prawdopodobieństwa , zależność uwarunkowane jest relacja między dwoma lub większą liczbą zdarzeń , które są zależne od kiedy występuje trzeci wydarzenie. Na przykład, jeśli i są dwoma zdarzeniami, które indywidualnie zwiększają prawdopodobieństwo trzeciego zdarzenia i nie wpływają na siebie bezpośrednio, to początkowo (gdy nie zaobserwowano, czy zdarzenie ma miejsce, czy nie ) ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$

( są niezależne). ${\displaystyle A{\tekst{i}}B}$

Ale przypuśćmy, że teraz obserwujemy. Jeżeli zdarzenie wystąpi, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia zmniejszy się, ponieważ jego pozytywny związek z jest mniej potrzebny jako wyjaśnienie zaistnienia zdarzenia (podobnie, zajście zdarzenia zmniejszy prawdopodobieństwo wystąpienia ). Stąd teraz dwa wydarzenia i są warunkowo negatywnie zależne od siebie, ponieważ prawdopodobieństwo wystąpienia każdego jest negatywnie zależne od tego, czy inne wystąpienia. Mamy ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Zależność warunkowa różni się od niezależności warunkowej . W przypadku warunkowej niezależności dwa zdarzenia (które mogą być zależne lub nie) stają się niezależne od zaistnienia trzeciego zdarzenia.

Przykład

Zasadniczo na prawdopodobieństwo wpływa informacja osoby o możliwym wystąpieniu zdarzenia. Na przykład niech zdarzenie będzie miało postać „Mam nowy telefon”; zdarzenie być „Mam nowy zegarek”; i wydarzenie być „Jestem szczęśliwy”; i przypuśćmy, że posiadanie nowego telefonu lub nowego zegarka zwiększa prawdopodobieństwo, że będę szczęśliwy. Załóżmy, że zdarzenie miało miejsce – czyli „jestem szczęśliwy”. Teraz, jeśli inna osoba zobaczy mój nowy zegarek, uzna, że ​​moje prawdopodobieństwo bycia szczęśliwym zwiększyło się dzięki nowemu zegarkowi, więc nie ma potrzeby przypisywania mojego szczęścia nowemu telefonowi. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle C}$

Aby przykład bardziej numerycznie specyficzny, załóżmy, że istnieją cztery możliwe stany podane w środku czterech kolumnach poniższej tabeli, w której wystąpienie zdarzenia jest oznaczona liczbą w rzędzie , a jego niewystąpienia jest oznaczona liczbą a także dla i to znaczy, i prawdopodobieństwo jest dla każdego${\ Displaystyle \ Omega = \ lewo \ {s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ prawo \},}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle 0,}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C.}$${\ Displaystyle A = \ lewo \ {s_ {2}, s_ {4} \ po prawej \}, B = \ po lewej \ {s_ {3}, s_ {4} \ po prawej \},}$${\ Displaystyle C = \ lewo \ {s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ po prawej \}.}$${\displaystyle s_{i}}$${\ Displaystyle 1/4}$${\displaystyle ja.}$

Wydarzenie	${\ Displaystyle \ operatorname {P} (s_ {1}) = 1/4}$	${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (s_ {2}) = 1/4}$	${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (s_ {3}) = 1/4}$	${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (s_{4}) = 1/4}$	Prawdopodobieństwo zdarzenia
${\ Displaystyle A}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\ Displaystyle B}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\ Displaystyle C}$	0	1	1	1	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

a więc

Wydarzenie	${\displaystyle s_{1}}$	${\displaystyle s_{2}}$	${\displaystyle s_{3}}$	${\displaystyle s_{4}}$	Prawdopodobieństwo zdarzenia
${\ Displaystyle A \ czapka B}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac{1}{4}}}$
${\ Displaystyle A \ czapka C}$	0	1	0	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\ Displaystyle B \ czapka C}$	0	0	1	1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$
${\ Displaystyle A \ czapka B \ czapka C}$	0	0	0	1	${\displaystyle {\tfrac{1}{4}}}$

W tym przykładzie występuje wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich występuje. Bezwarunkowo (to znaczy bez odniesienia do ) i są od siebie niezależne, ponieważ — suma prawdopodobieństw związanych z wierszem — wynosi podczas ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A, B}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle \ Operatorname {P} (A)}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},}$

Ale pod warunkiem, że wystąpiły (ostatnie trzy kolumny w tabeli), mamy ${\ Displaystyle C}$ podczas Ponieważ w obecności prawdopodobieństwo zależy od obecności lub braku i są wzajemnie zależne od${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle B,A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle C.}$

Zobacz też

• Warunkowa niezależność
• Twierdzenie de Finettiego  – Warunkowa niezależność obserwacji wymiennych
• Warunkowe oczekiwanie

Bibliografia