Dependența condiționată - Conditional dependence

O rețea bayesiană care ilustrează dependența condițională

În teoria probabilității , dependența condițională este o relație între două sau mai multe evenimente care sunt dependente atunci când apare un al treilea eveniment. De exemplu, dacă și sunt două evenimente care cresc individual probabilitatea unui al treilea eveniment și nu se afectează în mod direct reciproc, atunci inițial (atunci când nu s-a observat dacă evenimentul are loc sau nu ) ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C,}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid B) = \ operatorname {P} (A) \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {P} (B \ mid A) = \ operatorname {P } (B)}

( sunt independenți).

{\ displaystyle A {\ text {și}} B}

Dar să presupunem că acum se observă că are loc. Dacă apare evenimentul, atunci probabilitatea apariției evenimentului va scădea, deoarece relația sa pozitivă cu este mai puțin necesară ca explicație pentru apariția (în mod similar, evenimentul care va avea loc va reduce probabilitatea apariției ). Prin urmare, acum cele două evenimente și sunt condiționate în mod negativ dependente una de cealaltă, deoarece probabilitatea apariției fiecăruia este negativ dependentă de faptul dacă celălalt apare. Avem ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle \ operatorname {P} (A \ mid C {\ text {and}} B) <\ operatorname {P} (A \ mid C).}

Dependența condiționată este diferită de independența condiționată . În independența condiționată, două evenimente (care pot fi dependente sau nu) devin independente având în vedere apariția unui al treilea eveniment.

Exemplu

În esență, probabilitatea este influențată de informațiile unei persoane despre posibila apariție a unui eveniment. De exemplu, să fie evenimentul „Am un telefon nou”; evenimentul „Am un ceas nou”; și evenimentul să fie „Sunt fericit”; și să presupunem că a avea fie un telefon nou, fie un ceas nou mărește probabilitatea de a fi fericit. Să presupunem că evenimentul a avut loc - adică „sunt fericit”. Acum, dacă o altă persoană vede noul meu ceas, el / ea va considera că probabilitatea mea de a fi fericit a fost crescută de noul meu ceas, deci este mai puțin necesar să-mi atribuiesc fericirea unui nou telefon. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$

Pentru a face exemplul mai specific din punct de vedere numeric, să presupunem că există patru stări posibile date în mijlocul celor patru coloane ale tabelului următor, în care apariția evenimentului este semnificată de un în rând și ne-apariția acestuia este semnificată de un și la fel pentru și Adică, și Probabilitatea este pentru fiecare ${\ displaystyle \ Omega = \ left \ {s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ right \},}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C.}$ ${\ displaystyle A = \ left \ {s_ {2}, s_ {4} \ right \}, B = \ left \ {s_ {3}, s_ {4} \ right \},}$ ${\ displaystyle C = \ left \ {s_ {2}, s_ {3}, s_ {4} \ right \}.}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$ ${\ displaystyle 1/4}$ ${\ displaystyle i.}$

Eveniment	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {2}) = 1/4}$	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {3}) = 1/4}$	${\ displaystyle \ operatorname {P} (s_ {4}) = 1/4}$	Probabilitatea evenimentului
${\ displaystyle A}$	1	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle B}$	0	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle C}$	1	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}}$

Așadar

Eveniment	${\ displaystyle s_ {2}}$	${\ displaystyle s_ {3}}$	${\ displaystyle s_ {4}}$	Probabilitatea evenimentului
${\ displaystyle A \ cap B}$	0	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$
${\ displaystyle A \ cap C}$	1	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle B \ cap C}$	0	1	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
${\ displaystyle A \ cap B \ cap C}$	0	0	1	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$

În acest exemplu, apare dacă și numai dacă apare cel puțin una . În mod necondiționat (adică fără referire la ) și sunt independenți unul de celălalt deoarece - suma probabilităților asociate cu un în rând - este în timp ce ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (A)}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}},}$